книги из ГПНТБ / Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие]

к а ж д о й

из них

равна У6 , что подтверждается

при

подсчете

час­

тоты

событий.

П р и м е р из

квантовой механики. Согласно гипотезе М. Б о р -

на, вероятность

попадания

микрочастицы в з а д а н н ы й

элемент

пространства

dW

=

i|np* dV,

где

і|з — функция

Шрёдингера,

вы­

численная д л я

точки, л е ж а щ е й

в этом

элементе. С р а в н и в а я

вы­

р а ж е н и е

Б о р н а

с

формулой (233), приходим к выводу: плот­

ность

вероятности

пребывания

квантовомеханических

частиц

равна

к в а д р а т у

м о д у л я -ф-функции.

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Н и ж е

будут

сформулированы некоторые из основных зако ­

нов математической теории

вероятностей, которые

справедливы

д л я независимых событий,

т. е. таких, когда появление или

не­

появление к а ж д о г о

из них

не связано

с поведением

остальных .

Пусть в некоторой физической системе в о з м о ж н ы

случайные

события

А ,

В,

С ,

... с вероятностями

W A , W B , W &

....

З а к о н

вующей вероятности, если N стремится

к

бесконечности. Когда

вероятности событий удается вычислить заранее, этот

закон

имеет в а ж н о е

практическое

значение

в

том смысле, что

при

большом числе

испытаний

мы имеем

возможность более

или

менее

н а д е ж н о

предсказать их

исход.

ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ

Эта теорема сформулируется здесь л и ш ь

д л я

несовместных

событий, т. е. таких, когда появление одного из них

исключает

появление другого и наоборот. Простейшие примеры

несовмест­

ных событий мы н а б л ю д а е м ,

п о д б р а с ы в а я

монету:

появление

герба исключает появление решки.

Рассмотрим

группу

несовместимых

случайных

событий.

Пусть

нас интересуют

события А , В, С.

Н а й д е м

вероятность

того, что произошло хотя бы

одно (неважно

какое)

из

интере­

сующих нас событий. Если проведено N испытаний,

из

которых

в

п А

случаях

появилось

событие А , в Пв

случаях — событие В,

в

пс случаях — событие

С,

то

частота всех

событий

равна

п А f n R 4- ne

а искомая

вероятность

N

W A B C — l i m

= l i m M + l i m - B B - l - . . . 4 -

N-*oo

N-*oo N

N

1

(237)

бытий

равна сумме

вероятностей отдельных событий

(теорема

с л о ж е н и я ) . Следствие: вероятность появления хотя

бы одного

из всех

в о з м о ж н ы х

в данных условиях несовместимых событий,

равна

произведению

вероятностей

к а ж д о г о из событий. В самом

деле, пусть в

какой-то системе

в о з м о ж н ы

независимые

события

А и

В,

причем

п ~ — ч а с т о т а

события А, но

к а ж д о м у

событию А

соответствует

д о л я событий

В,

р а в н а я —

. Следовательно,

час-

тота совместного

появления

обоих

событии —

• — , после

чего, пе-

реходя

к пределу, получаем

N

N

W A B = lim

. 55- =

lim ^

• lim ^

=

W A - W B .

(238)

N-+ oo N

N

N-i-oo N N->-°° N

Справедливо и обратное: если вероятность

сложного

собы­

тия р а в н а произведению вероятностей отдельных событий,

то

последние независимы . В формулировке

теоремы у м н о ж е н и я

термин «совместные события» в одних случаях

понимается

к а к

«одновременные

события»,

а в

других — к а к

события,

следую ­

щие друг за другом . Поясним это замечание

на

простейших

примерах . П р е д п о л о ж и м , п о д б р а с ы в а ю т с я

две

одинаковые

мо­

неты. С п р а ш и в а е т с я ,

какова вероятность

одновременного

выпа­

дения монет кверху решками? Вероятность того, что

к а ж д а я

монета упадет решкой, по ф о р м у л е

(236)

равна

Ѵг, следователь ­

но,

вероятность

одновременного

выпадения р е ш к а м и

равна

'Д.

Н о

такой ж е ответ получится, если мы поставим

другой

вопрос:

какова вероятноть того, что при двухкратном

подбрасывании

одной монеты оба р а з а выпадет

р е ш к а ?

В

обоих случаях

собы­

тия совместные, хотя в одном из

них они

были

одновременны­

ми,

а в другом •— нет.

M в ni

случаях имеет

числовое

значение М ь

в п 2 случаях — М 2 >

в п 3 случаях — М 3

и т. д., тогда

среднее

M =

М і П і

+ M 2 n 2 -f M 3 n 3

+ • • • _ м

I м

_ n o _

,

N ^ o o

1 N 00

' N ->- 00

+ . . . 4 -

=

2 M , W , .

(239)

Таким образом, среднее значение случайной величины

M

равно сумме произведений различных числовых значений этой

величины на их соответствующие вероятности. Если

случайная

величина M имеет непрерывный спектр значений, то сумма в

правой части (239)

о б р а щ а е т с я

в

интеграл

М = j ' M d W .

(240)

Н а п о м н и м : в квантовой механике теорема о

среднем,

вообще

говоря,

формулируется

иначе: M =

| 4 r *M4 r dV .

Приводим

не­

сколько

правил вычисления

среднего. Среднее

постоянного

чис­

л а — с а м о

это

постоянное. В частности, среднее

от

среднего

M

снова равно среднему М. Среднее суммы величин

А 4- В 4- С

•

равно

сумме средних

А +

В +

С. Среднее произведение

незави­

симых

величин

А •

В • С

равно

произведению

средних

значений

'

сомножителей

Ä • В • С. Д о к а з а т е л ь с т в а этих

правил

очевидны,

и мы

их

опускаем.

ПОНЯТИЕ О ФЛЮКТУАЦИЯХ

Н а с к о л ь к о

в а ж н о

знать

среднее

значение

величины

М,

на­

столько

в а ж н о

знать,

как

сильно

отклоняется

то или иное конк­

ретное значение этой величины от среднего.

В

качестве

меры

отклонения,

к а з а л о с ь

бы,

проще

всего взять

среднюю

разницу

м е ж д у данным

значением

величины

и ее средним: M — М =

А М .

О д н а к о

эта

мера неудобна. Д е л о

в

том, что

при

большом

числе

измерений случайной величины отклонения с завышением

всегда

приблизительно равны отклонениям с занижением, но поскольку

первые положительны, а вторые отрицательны, то среднее от­

клонение

M — М =

0

д л я любой случайной величины независимо

от ее

природы . Эту нивелировку

м о ж н о устранить,

если

вычис­

л и т ь - л и ш ь

абсолютное значение

отклонения

| М — М | . Иногда

так и

поступают.

Н о

гораздо

удобне о к а з а л а с ь

д р у г а я

мера

отклонения:

Ѵ^(М

— M ) 2

=

8.

Н о в а я м е р а

всегда

положительна и зависит от М. Н а з ы в а е т ­

ся она абсолютной флюктуацией . Пользуяс ь

п р а в и л а м и вычис­

ления среднего,

получаем

8 = К ( М -

M)" 2

К м 2 - 2 М М + М 2 =

] / м 2 — (М) а . ( 2 4 1 )

положим, что

некоторая

физическая величина,

характеризую ­

щ а я систему,

состоящую

из взаимодействующих

частей, обла ­

ние дл я

системы

в

целом

M = M i -f- М 2 +

.... Таки м свойством

о б л а д а е т

масса,

в

ряде

случаев энергия

и т. д. Пр и оценке

наковыми, поэтому п о л о ж и м

M ^ NMo. З д е с ь

N — число

частей,

М 0 — значение M дл я одной

части.

Отсюда абсолютная ф л ю к т у а ц и я

аддитивной

величины M

8 = V т г + М 2 - \ - . . . + M N

) - ( M 1

+ M 2 + . . . + М ^ ) ] 2 =

= Ѵ / " [ ( М 7 : : : М 1 ) + ( М 2

- М 2

) + . . . + ( M N - M N ) ] 2

=

= Ѵшх2

+ Д М 2 2 + . . . + Д М П 2

+ 2 Д М 1 Л М 1 + . . . +

2 Ä M N _ i Ä M N

но

в силу

предполагаемой

независимости величин

М ь

М 2 ,

M N ,

A M I = Д М 2 = 0 все перекрестные

сомножители

под

корнем

пропадут .

Поэтому

S = | / N A M 0

2 .

М ы

видим, что Mc/oN, а О С Л І / N , следовательно, - [ = —

физических

систем. Б л а г о д а р я

слабому

взаимодействию и при­

надлежности

к огромному коллективу,

поведение к а ж д о й

систе­

мы в а н с а м б л е носит случайный характер и подчиняется

зако ­

нам теории

вероятностей. И з

условия

квазинезависимости

сле­

энергия

а н с а м б л я

Е = Е 1

+ Е я + Е а + . . . + Л Е 1 2

+ Л Е 1 8 + . . . .

Н о поскольку системы почти независимы, энергией

взаимодей­

ствия м о ж н о пренебречь,

поэтому

Е =

Еі + Е 2

+ ... +

Е п .

Следо ­

вательно,

а н с а м б л ь

м о ж н о определить

к а к

конгломерат

огром­

ного

числа

объектов,

полная

энергия

которого

подчинена

условию аддитивности. П р и та ­

ком

определении

понимание

а н с а м б л я

весьма

гибко.

П р о ­

стейший

а н с а м б л ь — идеаль ­

ный

газ

из

одноатомных

моле­

кул или свободных электронов .

Н о за а н с а м б л ь м о ж н о

принять

любое

тело, д а ж е

в

ж и д к о й и

твердой фазе, если

представить

его в виде совокупности

систем,

внутренняя

энергия

которых

Рис. 31

больше

энергии

взаимодейст­

вия. Такое представление воз­

можно . В самом деле,

внутренняя

энергия

системы

з а к л ю ­

чена в ее объеме, поэтому

она

пропорциональна кубу

линейного

р а з м е р а

системы /

(рис.

31),

а

энергия

взаимодействия — это

поверхностный

эффект,

следовательно,

она

пропорциональна

к в а д р а т у

/. Отсюда

вытекает,

что

при

н а д л е ж а щ е м

подборе

энергия

систем превосходила

энергию взаимодействия, и тем

с а м ы м

р а с с м а т р и в а т ь тело

к а к а н с а м б л ь квазинезависимых

самбль, составленный

из

«копий»

одного

единственного

тела,

где

к а ж д а я копия

и з о б р а ж а е т

физическое

состояние тела

в тот

или

иной

момент

времени. Д л я

иллюстрации этой мысли

снова

привлечем

игральную

кость. Если мы будем подбрасывать, ска­

ж е м , тысячу

кубиков,

то

о б н а р у ж и м все

закономерности

данно ­

го

ансамбля,

но,

если

взять одну

кость

и

представить

тысячу

СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ

П о с к о л ь ку поведение систем

в

а н с а м б л е носит

случайный

характер, физические параметры,

их

описывающие,

испытывают

тотой порядка

V ^

105 ,

и

приборы не могут

их

регистрировать.

Это объясняется тем, что вся измерительная

техника

выполнена

из

макродеталей,

которые б л а г о д а р я

большой

инерции,

не

в

состоянии «следить» за мелкими и частыми

изменениями

пара ­

метров. Стрелки, «зайчики» и другие индикаторы прибороз

ука­

зывают л и ш ь средние значения измеряемых

величин,

однако

и

они

с течением

времени

т а к ж е

могут

изменяться . Если

таких

изменений нет или они очень малы, говорят,

системы

а н с а м б л я

находятся

в состоянии

статистического

равновесия.

П р а к т и к а

у к а з ы в а е т

две

возможности реализации равновесного состоя­

ния. В первом

случае

система

д о л ж н а

быть

теплоизолирована,

втором

случае

она

д о л ж н а находиться

в контакте с телом,

име­

ющим

огромную

теплоемкость. Такое

тело

образно н а з ы в а ю т

термостатом,

так

к а к б л а г о д а р я большой

теплоемкости

оно,

тата м о ж н о принять всю

совокупность систем, за

исключением

данной . Теплоемкость этой совокупности очень велика,

потому

что велика

и сама

совокупность.

М е х а н и з м установления равновесия заключается

в

следую­

щем . Пусть в некоторый момент времени системы

характери ­

зуются

различными п а р а м е т р а м и

равновесия.

Т а к

н а з ы в а ю т с я

величины,

которые

при

равновесии о к а з ы в а ю т с я

одинаковыми

д л я всех систем. Типичный

пример

величины такого

рода — тем­

пература . М е ж д у

системами имеется

слабое,

но все ж е

реальное

взаимодействие.

Впрочем

случайный

характер

процессов

не

исключает в отдельные редкие моменты и сильных

взаимодей ­

ствий. Т а к

или

иначе

б л а г о д а р я

взаимодействию

в ы ш е у к а з а н ­

ные п а р а м е т р ы

систем

постепенно

выравниваются

и

становятся

равными

п а р а м е т р а м и

термостата . У

последнего из-за

большой

теплоемкости п а р а м е т р ы равновесия

остаются

практически

не­

изменными . И з

приведенных рассуждений нетрудно

заключить:

Ц е л ь статистической

физики м о ж н о

определить

следующим

образом: описать поведение физических

систем

а н с а м б л я в сос­

тоянии равновесия .

М ы

будем р а с с м а т р

и в а т ь

л и ш ь

системы в

термостате . Такой

выбор

оправдывается

не только

ограничен-

(242)

и определяет смысл

понятия ортогональности

пространства,

т а к ка к при косоугольных

координатах оно имело бы другой вид.

В обычном

пространстве

ds — длина отрезка траектории, в ф а з о ­

вом

пространстве

ds

и з о б р а ж а е т из­

менения

состояния системы

м е ж д у

н а ч а л ь н ы м

состоянием

I

и

конеч­

н ы м — I I (рис. 32). В конфигураци ­

онном пространстве

dV = dxdydz —

элемент

объема, а

[ J J* dxdydz = V

у z

'•—полный

объем .

В ф а з о в о м

про­

странстве

в ы р а ж е н и е '

d r

= dg 1 dg 2 dg 3 dp 1 dp 2 dp 3

(243)

Рис. 32

н а з ы в а ю т

элементом

фазового

объема,

причем

здесь

а Г ѵ =

= dgidg2dg3 — элемент обычного

объема, а Г р — сіріаргарз — эле ­

мент

импульсного

объема .

Ш е с т и к р а т н ы й

интеграл

от

аГ по

всем

координатам

и

импульсам

имеет смысл н а з в а т ь

ф а з о в ы м

объемом

Г. Очевидно,

Г = Ѵ J J j d P l d p 2 d p 3 ,

где V — конфигурационный

объем . С физической точки зрения

ф а з о в ы й объем определяет

диапазон, или

спектр

всех

в о з м о ж ­

ных

координат и

импульсов,

х а р а к т е р и з у ю щ и х

состояние вы­

бранной

системы. Шестимерное

ф а з о в о е пространство

состояний

нологии

ученого

Эренфеста

н а з ы в а ю т

(х-пространством,

более

с л о ж н о — G-пространством.

В

этом

случае

системой

является

макроскопический участок газа, состоящий из огромного

числа

частиц. А н с а м б л ь

в свою очередь — совокупность

большого

чис­

л а

участков, т. е. ка к говорят,

газ из газов . G-пространство

име­

ет

6N измерений,

N — число

частиц

в

системе.

П р и н ц и п ы

по­

строения

элементов

G-пространства те ж е самые,

что и

р-прост-

ранства . В частности, элемент фазового

объема

d r

= d V N d r N ,

dV =

d g l d g 2 d g 3 ,

d r p =

d P l d p 2 d p 3 .

(244)

З д е с ь дл я простоты

элементы объемов одной

частицы

взяты

одинаковыми .

Очевидно, при N = 1 в ы р а ж е н и е (244) совпадает

с в ы р а ж е н и е м

(243).