книги из ГПНТБ / Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие]

Б а л ь м е р а

(m

=

2), П а ш е н а

(m = 3), Б р э к к е т а (m = 4),

П ф у н -

да (m =

5), Хэмфри

(m =

6) .

П о л ь з у я с ь

введенным

спектрографистами

понятием

«терма»

д л я в ы р а ж е н и я

--

• = Г п

и

волнового

числа

—, принцип Рит-

ца — Р и д б е р г а

м о ж н о с ф о р м у л и р о в а т ь

так:

л ю б о е волновое

Ясно,

что открытые

спектрографистами термы имели

какой -

то физический смысл,

а спектральные

закономерности

имели

прямое

отношение к

свойствам атомов,

поскольку последние

я в л я ю т с я источниками

излучения. М ы д о л ж н ы

констатировать,

что классическая физика не могла совместить

свойства

атомов,

как она их понимала, с з а к о н а м и линейчатых спектров.

Таким образом, кризис классической физики во втором де­

сятилетии нашего века

углубился: не поняв происхождения

све­

товых

квантов,

она

не

могла

понять

ни свойств, ни д а ж е

суще­

ствования устойчивых

атомов.

Первую попытку найти выход из этого тупика

предпринял в

1914 г. датский

физик

Нильс

Б о р . О п и р а я с ь на

твердо

установ­

ленные

факты,

он

выдвинул

три

постулата .

П е р в ы й

из

них

у т в е р ж д а е т : в изолированных атомах электроны

д в и ж у т с я

по

стационарным круговым орбитам, и при этом их энергия

остает­

ся постоянной,

так

что

атом

не излучает и не

поглощает

ника­

момент количества

движения

электрона в атоме м о ж е т

принять

л и ш ь дискретные

значения:

m0 vr = n h-<n

= 1, 2, 3 , . . . , о о ) .

(13)

К , п

=

Е п — Е ш .

(14)

Сопоставляя третий постулат с принципом Ритца, Бор

получил

первый в а ж н ы й

результат:

Т п

= -

^ h.

(15)

В ы р а ж е н и е

(15)

у к а з ы в а е т

физический

смысл терма, а

именно:

h

с точностью

до знака и сомножителя

- термы равны

энергии

состоянии в хорошем согласии с опытными

данными . Н о

теория

Б о р а не

могла

объяснить

всех

свойств

атома водорода

и его

спектра.

Н а п р и м е р , Бор

не

мог

вычислить

интенсивности

спект­

ральных

линий

и

других

деталей, а попытки как-то объяснить

спектры

более

с л

о ж н ы х

атомов

вообще

не

увенчались успехом.

гично о б ъ я с н я л а

все свойства

атомов и многое другое.

ГИПОТЕЗА ДЕ БРОЙЛЯ.

ВОЗНИКНОВЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Р а з м ы ш л я я о

д у а л и з м е

свойств света, французский

физик

де

Б р о й л ь в

1923

г. в ы с к а з а л предположение:

не распространя ­

ется ли этот

д у а л и з м на

все

м а т е р и а л ь н ы е объекты . Ведь

исто­

рия

науки

показывает,

что

наиболее общие

закономерности,

домо

я в л я ю щ и м с я частицами, по

классическим

представлениям,

те ж е

ф о р м у л ы отобразят д у а л и з м

свойств

и

этих

последних.

Д л я

свободных

частиц

гипотеза

де Б р о й л я

была

сформули ­

рована

так: с к а ж д о й свободно

д в и ж у щ е й с я

частицей

связана

монохроматическая

волна

(16)

п а р а м е т р ы

которой

определяются

соответственно энергией

час­

тицы

и ее

импульсом:

Если

в ы р а ж е н и я

(17)

верны,

то

частицам

присущи

не

толь ­

ко корпускулярные

свойства, проявляющиеся,

с к а ж е м ,

в соуда­

рениях,

но

к волновые, о б н а р у ж и в а ю щ и е с я в

явлениях

д и ф р а к -

ции

и интерференции.

Этот

вывод

о к а з а л с я

п р а в и л ь н ы м .

В

1927—28 гг. Дэвисон и

Д ж е р м е р ,

а

несколько

п о з ж е

Томсон

открыли д и ф р а к ц и ю электронов . Это явление хорошо

н а б л ю д а ­

ется, если X сравнима с периодом

решетки

d. Учитывая

извест­

ную

массу покоя

электрона

( т 0 =

9,1 • Ю - 3

1

кг)

и его

скорость

по ф о р м у л е де Б р о й д я , м о ж ­

но оценить длину электрон ­

ных волн. Величина К о к а з а ­

л а с ь

равной приблизительно

о

1 А. Следовательно,

н а б л ю ­

дение д и ф р а к ц и и

электронов

можно осуществить с по­

мощью

кристаллических

ре­

шеток

с

периодом

того

ж е

порядка . Н а рис. 3 представ ­

Рис. 3

лена

принципиальная

схема

опыта Томсона. Из электрон ­

ной

пушки

вылетает

поток

электронов, ускоряемый

электростатическим

полем

с

н а п р я ж е ­

нием U . Серия д и а ф р а г м

вырезает из этого потока узкий луч, на­

п р а в л я е м ы й на поликристаллическую

пленку. З а пленкой

распо­

лагается индикатор, им может быть цилиндр

Ф а р а д е я (так было

в оригинальных

опытах

Д э в и с с о н а — Д ж е р м е р а ) ,

фотопленка

или

сцинцилляционный экран . П р о ш е д ш и е

электроны

о б р а з у ю т

ческих

колец, угловые радиусы которых равны 2 -fr, где Ѳ опреде­

ляется

законом

В у л ь ф а — Бреггов:

2d sin & = nX(n =

1,2,3,...).

(18)

Д л я

проверки гипотезы де Б р о й л я вначале

необходимо най-

ти

значение К из

в ы р а ж е н и я (18),

а затем по

ф о р м у л е

Я = _

Р '

В этом опыте импульс р легко определить из

закона

сохране -

ния

энергии: eU =•2 т 0

, где eU — работа электростатического по-

л я :

2 т п

кинетическая энергия электрона . Таким образом,

(19)

Значения К, вычисленные по ф о р м у л а м (18) и

(19), совпадают .

микрочастиц проводились много раз, и все они д а л и

положи ­

тельной

результат .

Следовательно,

в ы ш е у к а з а н н ы е

закономер ­

ности м о ж н о считать

справедливыми д л я л ю б ы х

частиц.

СМЫСЛ ^-ФУНКЦИИ.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТРАКТОВКА БОРНОМ ВОЛН ДЕ

БРОЙЛЯ

В классической

физике волновой процесс — это

распростра ­

нение колебаний частиц среды, например воздуха.

Естественно,

возникает вопрос о том, какой

ж е смысл волны де

Б р о й л я .

В н а ч а л е было высказано предположение, что

к а ж д а я

части­

ца суть

суперпозиция

волн де

Б р о й л я с различными

гро и

к, так

н а з ы в а е м ы й волновой

пакет:

f ( U ) =

j

Ф о к в - ч - * - ^ d k ;

" = y E ]

k

= l T -

( 2 0 )

k0 -4k0

Поводом д л я такой

трактовки

послужили д в а

обстоятельства:

во-первых,

согласно

ф о р м у л е

(20),

варьируя

-фок

и

к,

м о ж н о

подобрать

пакет,

по

форме и р а з м е р а м с о в п а д а ю щ и й

с таковы -

Рис. 4

Рис. 5

ми д л я заданной частицы

(рис. 4) . Во-вторых, оказалось, что

центр группы д в и ж е т с я со

скоростью, равной скорости частицы.

тір2

h

. ,

do)

hk

p

ш =

— v -

=

k~, так что —

=

• — —

=

— = V,

hm0

4rcm0

dk

2rcm0

m 0

где V —-скорость частицы.

И т а к , пакет

м о ж е т

иметь

р а з м е р ы ,

форму

и

скорость соот­

ветствующей

частицы.

Если

бы частица

была

тождественна

пакету, то легко было бы понять, почему

она о б л а д а е т

волно­

выми свойствами. И все

ж е эта

гипотеза

о к а з а л а с ь

несостоя­

тельной

по

ряду очень

в а ж н ы х

соображений . Волны

де

Б р о й л я ,

оказывается,

о б л а д а ю т

дисперсией

д а ж е

в

пустом

пространстве,

т. е. ф а з о в а я

скорость

волн

де

Б р о й л я

зависит от

К или . от к:

ѵ{ = — ;

ш =

—

к 2

;

Vf =

— — к. Отсюда следует, что волновой

к

4 л т

0

4л т „

со временем

р а с п л ы в а т ь ­

пакет, и з о б р а ж а ю щ и й

частицу, д о л ж е н

ся,

ибо

его компоненты, т. е. волны де

Б р о й л я ,

д в и ж у т с я с

р а з н ы м и

скоростями. Н и ж е

приводится

ф о р м у л а д л я промежут ­

ка времени, в течение которого волновой

пакет

увеличивается

вдвое:

т =

2 т 7 | / 3 ^ - ° .

(21)

h

Здесь bo — первоначальная

длина

пакета,

т о — масса

частицы*

пакета .

Если

применить

эту

ф о р м у л у

к

электрону,

д л я

которого

b £ £ l 0 - 1 4

м,

m 0 =

9,l

• 10~3 1

кг,

то т = 1 0 - 2

6 сек,

но

в

действи­

тельности

свободные

электроны

остаются

неизменными

прак ­

тически

вечно.

Есть

еще

одно

очень

веское

в о з р а ж е н и е

против

отождествле ­

ния

частиц

с

пакетом .

Если группа волн

проходит

через

д и ф ­

хроматические пучки, идущие в разных направлениях

(рис. 5),

что означало

бы

расщепление и частицы на отдельные «оскол­

ки». О д н а к о

во

всех опытах электроны, протоны и другие эле ­

ментарные частицы ведут себя к а к целые о б р а з о в а н и я ,

не р а с ­

п а д а ю щ и е с я

на

части

вследствие

д и ф р а к ц и и . И т а к ,

частица —

не волновой

пакет.

Тогда было выдвинуто предположение, что отдельные кор ­

пускулы

вообще

не о б л а д а ю т никакими волновыми

свойствами

и что последние

проявляются только в

коллективе взаимодейст ­

вующих

м е ж д у

собой

объектов .

Это

допущение

фактически

ученые

Фабрикант,

Сушкин и Б и б е р м а и проделали

такой опыт.

Р а з р е ж е н н ы й

поток электронов

пропускался через

кристалличе ­

скую решетку,

а затем

н а б л ю д а л о с ь появление электронов

на

сцинцилляционном

экране . Если бы волновые свойства

были

присущи только плотной

массе

взаимодействующих

электронов,

то в р а з р е ж е н н о м

потоке

волновых свойств не д о л ж н о было

бы

быть,

ибо к а ж д ы й

электрон, пролетавший через решетку, не

«зная»

судьбы

остальных, летел

д а л е е подобно обычной

класси ­

ческой

частице, не

подчиняясь

ф о р м у л а м де Б р о й л я ; на

э к р а н е

с л е д о в а ло о ж и д а т ь распределение

электронов такое, с к а ж е м ,

какое получается

д л я

зерна, пропущенного

сквозь

решето. В

действительности

все

о к а з а л о с ь не

так. Н а

э к р а н е

появилась

нимумов

н а б л ю д а л о с ь л и ш ь при

достаточно длительной

экспо­

зиции, но

это обстоятельство не имело принципиального

значе­

ния. Если

бы волновые свойства

не были присущи отдельным

частицам,

картина д и ф р а к ц и и и

интерференции

в слабом

пото­

ке частиц

не возникла бы никогда. С т а л о быть,

версия о

прояв ­

лении

волновых

свойств л и ш ь

в потоке взаимодействующих кор ­

пускул

отпала .

а)

'

б)

Рис.

6

П р а в и л ь н о е толкование волн

де

Б р о й л я д а л

немецкий уче­

ный М а к с Борн . Он" обратил внимание

на

то,

что

при

короткой

экспозиции

д и ф р а к ц и я

электронов

будто

бы

не

н а б л ю д а е т с я :

электроны попадают на э к р а н в случайные места

(рис.

6 а ) . С

увеличением

времени

экспозиции

она

появляется

на

э к р а н е

(рис. 66). Следовательно, волновая

картина н а б л ю д а е т с я

л и ш ь

при попадании на э к р а н огромного

числа

частиц,

но

это

озна­

тистический характер, ибо

статистическая закономерность

к а к

р а з

и з а к л ю ч а е т с я в том, что на практике она

проявляется

л и ш ь

д л я

огромной

массы

однотипных объектов

и незаметна,

если

ее применять

к объектам, число которых

невелико.

Т а к и м образом, волны

де Б р о й л я ,

по мнению Борна,—-это

волны вероятности,

или

информации .

Они

у к а з ы в а ю т

л и ш ь

соответствующей

точке. Применительно

к д и ф р а к ц и и

микрочас ­

тиц, описываемых

волновой функцией

гр, интенсивность

полос

означает попросту

густоту попадания частиц в то или

иное

мес­

элемент объема как р а з и пропорциональна

по

Борну

к в а д р а т у

модуля

волны

де Б р о й л я

|і|)І2

и элементу

объема

dv:

d W

= l - i f d V

=

•V*-4>dV.

(22)

Поскольку i|) часто бывает комплексной, то

ее к в а д р а т

нужно

записать как произведение г|? на, комплексно сопряженную

ей

функцию

г|з*.

В настоящее время трактовка М. Б о р н а

считается

общепри ­

нятой; ее последовательное применение еще

никогда

не

входи­

ло в противоречие с

опытом.

СООТНОШЕНИЕ

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

ГЕЙЗЕНБЕРГА.

ПРИНЦИП ДОПОЛНИТЕЛЬНОСТИ Н. БОРА

В свете толкования М. Б о р н о м г|з-функции мы

м о ж е м

пере­

осмыслить суть волнового паке.та. Его

п р е ж н е е

представление

как

структуры самой частицы неверно,

но

понятие пакета

все

ж е

оказывается н у ж н ы м

и полезным,

ибо

к в а д р а т амплитуды

волн пакета у к а з ы в а е т вероятность

местонахождения

связанной

с ним частицы. Учитывая эту интерпретацию,

Гейзенберг,

один

из основателей - квантовой механики, сделал

исключительно

в а ж ­

ный

вывод.

Согласно теории волновых пакетов его ширина

Д г

и

диапа ­

зон А к представленных в нем

воли

с в я з а н ы

соотношением

Д г - Д к > 1 ,

(23)

или

в скалярной форме

Д х Д к х > 1 ;

А у Д к у > 1 ;

Д г Д к 2 > 1 .

(24)

Д о к а ж е м

это

соотношение

на

частном

примере.

Р а с с м о т р и м

простейший пакет волн

р

sin

Дкх х

.

% = ) a e - ' ^ - ^ d k x = 2 а ( е - ' * ш 4 - к л )

к0-Дк„

Здесь а — предполагается

постоянной,

а

о — независимой

от

к;

ко — средняя

величина волнового

числа;

Д к 0 — п о л о в и н а

интер­

в а л а р а з б р о с а значений

к. Мгновенное

и з о б р а ж е н и е этого

паке­

та дано

на рис. 7. П а к е т

имеет м а к с и м а л ь н у ю

амплитуду

в

точ­

ке

X =

0.

С

увеличением

х

пакет

постепенно

и

периодически

исчезает,

поэтому д л я оценки

его р а з м е р о в целесообразно

взять

удвоенный интервал от

центра пакета

до первого минимума ам-

Дх

плитуды,

определяемого

из условия А к х — = ~ ,

о т к у д а

Дк х Ах —

— 2г.. Если учесть, что в действительности пакет имеет

большие

р а з м е р ы ,

то

равенство

Д к х

Д х = 2 я

следует

заменить

более

общим в ы р а ж е н и е м Д к х

Д х ^

2л.

Согласно

ф о р м у л а м

де Б р о й л я .

2г .. Д Р х

2 л . Д р у

Ак7

2t-.-AP z

Д к х

=

А к у

=

П о д с т а в л я я

эти значения

в в ы р а ж е н и я

(24),

получаем

соотно­

шение

Гейзенберга

A x A p x > h ;

A y A p y > h ;

AzApz >

h*.

(25)

Это означает, что у микрочастиц нельзя

одновременно

сколько

угодно точно измерить координаты и проекции импульса:

чем

точнее измерена координата, т. е. чем меньше, например,

Д х ,

тем больше

Д р х ,

значит,

р х становится

все более

неопределен­

ной, и наоборот. Описанная неопределенность обусловлена

не

несовершенством

техники

измерения,

а

внутренней природой

самих

микрообъектов . Поскольку координаты

и

импульсы

не

тиц,

то понятие траектории

д л я них теряет

смысл, ибо

траекто ­

р и я — это линия,

в к а ж д о й

точке

которой

одновременное . и точ­

ное

у к а з а н и е координат и импульсов принципиально

возможно .

*

Более строгие

расчеты

показывают:

коэффициент перед h

в

соотноше­

ниях

(25) заключен

в пределах от

0,1

до

1.

Обычно его берут равным

1/2 л, и,

h

,

>

h

AzApz

h

таким образом, ДхДрх > —- ,

ДуДру

— ,

> ——.

ется л и ш ь ограничениями д л я

координат и импульсов; такие ж е

ограничения н а к л а д ы в а ю т с я

на погрешности измерения энер ­

ства.

Рассмотрим

конкретный

пример . Свободная

частица

дви­

ж е т с я

по

оси

X с

энергией Е = р х - ,

о т к у д а Д р х

=

— т 0 .

И л и ,

. 2 т 0

р х

учтя,

что

рх == m 0 v x === т о

—,

Ар х =

— - — .

У м н о ж и м

обе

части

последнего равенства

на

Д х

и, сопоставив

его с

неравенством

(25),

получим

A E - A t > - h .

(26)

Итак, если в данной точке пространства одновременно изме­

ряется энергия частицы Е и момент ее появления

(или

исчез­

новения)

t, то чем точнее определяется

первая величина

( Д Е - > -

- > 0 ) ,

тем

все

неопределеннее

становится

вторая

( Ä t - > o o ) , и

обратно .

Соотношение . (26) может иметь

и

т а к у ю

интерпрета­

цию: пусть A t — время

жизни

возбужденной

системы,

например

излучающего атома или радиоактивного ядра, тогда

ДЕ — не­

определенность энергии системы. Принцип

неопределенностей

справедлив и д л я других сопряженных

координат . Н и л ь с

Б о р

выдвинул

положение, согласно

которому

в ы р а ж е н и я

(25)

и

(26)

становится невоспринимаемым

другое.

Это

утверждение

Б о р а

получило

название

принципа дополнительности, частным

случаем

которого

является

соотношение

неопределенности

Гейзенберга .

Соотношение

неопределенностей

нередко

толкуют

преврат ­

но:

оно,

якобы,

у к а з ы в а е т на

непознаваемость

микрообъектов

или

их ограниченную познаваемость .

В

действительности

ника­

уравнения (25)

и

(26) открывают новые, неведомые свойства,

з а к л ю ч а ю щ и е с я

в

проявлении дополнительных, в смысле Бора,

черт материального

мира.

вероятности

местопребывания частицы, но

и

д л я

н а х о ж д е н и я

остальных

п а р а м е т р о в : энергии, импульса

и

т. д.

С т а л о быть,

опираясь на умозаключения, а главное,

на

опыт.

Д л я

свободной

частицы

\|з-функция

известна:

это

плоская

монохроматическая

волна

де

Б р о й л я

- 2 л і \ _kt-

_

L

I .

О =

ф0 е

\ h

h

(27)

Н а й д е м дифференциальное

уравнение,

решением

которого

яв­

ляется

волна

(27).

П р о д и ф ф е р е н ц и р у е м

уравнение (27) по х,

у, z и получим

соотношения:

t = T » * >

ь

= I * ' * -

( 2 8 )

Вторые

производные по х, у, z:

4 я 2

2 ,

4*

2 ,

дѢ

4*

2 ,

й = ~ Ѵ * Ь

w =

- ь т Р у

' ;

І 5 =

- ьг P«2 *-

( 2 9 )

С л о ж и м

почленно левые и правые части уравнения

(29):

^ + é +

^

=

~ ^ ( р * " + Р у

+

P z i

• в

~ » р

*•

m

или

короче

h 2

А^ =

Ек ф,

(31)

07С"ГП0

где

А — о п е р а т о р

Л а п л а с а ;

Eh =

~

кинетическая энергия свободной

частицы.

2 т 0

первую

производную

по

времени

от

уравнения

(27)

Возьмем

^ _

=

_ * L l E k

* .

(32)

dt

h

'

Н а й д е м

Ek из

уравнения

(32)

и подставим

найденное

в ы р а ж е ­

ние

в уравнение

(31)

_ ^ д , ^ = _ А д _ І

.

(33)

Это

д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е

уравнение

и

определяет

^ - ф у н к ц и ю

сво­

частица находится во внешнем силовом поле,

тогда ее п о л н а я

энергия Е будет р а в н а сумме

кинетической

Е^

и

потенциальной

U . Шрёдингер предположил,

что уравнение

(32)

сохраняет силу