книги из ГПНТБ / Шишков А.А. Газодинамика пороховых ракетных двигателей. Инженерные методы расчета

29

Введя между линиями Маха угол ф= и + (я/2) — arcsin 1/М и приведенную скорость Х=ѵ/а1(р, получим после преобразования

<р= arcsln ] / (Х2 “ 1 )• (5 3 )

Зная зависимость ср (Л,) или А,(ср), можно с помощью газоди­ намических функций определить изменение всех параметров при изменении ф. Из уравнения неразрывности следует уравнение линии тока при внешнем обтекании тупого угла (Ä,i=l):

Предельные значения угла поворота потока со и угла между линиями Маха ф соответствуют расширению в пустоту:

При таком режиме истечения граничная характеристика (ли­ ния Маха) совпадает с направлением линии тока отклонивше­ гося течения, так как

arcsin ( — ) = 0 .

V Mo !

Следовательно, С0т ах= фтах — (я/2) = (я/2) (/Vox — 1) ■

Формулы (53) и (54) применимы и для значений Л-і> 1, но при этом начальный угол отсчета определяется по формуле*

*1=V arcsin]/ ^ Іг 1)’

и линия отсчета располагается не перпендикулярно направлениюневозмущенного потока, а под углом фі + arcsin (1/Mi) к нему.

Приведенные примеры иллюстрируют эффективность аппа­ рата газодинамических функций как при теоретическом анали­ зе, так и при конкретном расчете газовых течений. Разложения газодинамических функций в ряд по малому параметру [(k — l)/.(k+ 1)]Х2 (при Я <1) с точностью до членов порядка X2' включительно дают приближенные решения, соответствующие те­ чению несжимаемой жидкости; и в этом также заключается одно из достоинств представления параметров газа с помощью газо­ динамических функций.

30

1.7. ТУРБУЛЕНТНЫЙ ОТРЫВ ПОТОКА

Подробнее рассмотрим процессы, происходящие в случае внезапного расширения канала. При внезапном увеличении пло­ щади сечения струя, выходящая из узкой части, вначале не за­ нимает всего сечения канала и как бы протекает через застой­ ную зону. Одиако строгую границу между движущимися и по­ коящимися слоями жидкости установить не удается, так как скорость течения по всей граничной зоне меняется плавно, без скачков.

Это объясняется тем, что движение жидкости, при котором два слоя двигались бы друг относительно друга, «скользя» один по другому, является абсолютно неустойчивым [52]. Другими словами, поверхность раздела между этими двумя слоями жид­ кости не может быть поверхностью «тангенциального разрыва», на которой скорость жидкости (направленная по касательной к поверхности) испытывала бы скачок. Дело заключается в том, что при малейшем возмущении поверхности раздела давление над гребнями уменьшается, а внутри впадин — увеличивается, что приводит к дальнейшему нарастанию возмущений и, в ко­ нечном счете, к разрушению поверхности раздела и к перемеши­ ванию газовых частиц струи и застойной зоны.

Течение газа в области смешения потоков будет вихревым. Вследствие того, что диссипация энергии при турбулентном дви­ жении связана с наиболее мелкомасштабными пульсациями, рас­

энергии в мелкомасштабных пульсациях — звенья единого про­ цесса, приводящего к потерям полного давления при течении га­ за по местным сопротивлениям.

Турбулентная область ограничена с какой-либо стороны ча­ стью поверхности обтекаемого газом тела. Линию пересечения границы между вихревым и потенциальным течением с поверх­ ностью тела называют л и н и е й о т р ы в а , так как именно с этой линии начинается «проникновение» ротора скорости в ос­ новной поток, а в силу закона сохранения циркуляции такое «проникновение» может произойти только путем непосредствен­ ного перемещения движущейся вблизи поверхности жидкости в глубь основного потока.

В случае обтекания выпуклого угла (рис. 8) линия отрыва совпадает с линией края угла (вместо линии отрыва можно го­ ворить о т о ч к е о т р ыв а , подразумевая пересечение линии от­ рыва с плоскостью, перпендикулярной ребру угла). Из сообра­ жений подобия следует, что границы турбулентной области, отходящей от вершины обтекаемого угла (от линии отрыва), пря­ молинейны. Значения углов, образуемых этими границами с

31

направлением скорости набегающего потока, зависят только от величины обтекаемого угла и не зависят, например, от скорости набегающего потока.

В случае обтекания прямого угла экспериментальные данные дают следующие значения углов: со= 5°, (Х2=10о.

Разность давлений по обе стороны турбулентной области очень мала; при обтекании прямого угла она составляет р1 — 0,006(qüi2/2). Это значит, что давление в начальном се­ чении широкой части канала при внезапном расширении практи­ чески одинаково.

ко для анализа течений газа в местных сопротивлениях. Резуль­ таты теории свободных турбулентных струй оказываются суще­ ственными для исследования таких сложных явлений, как отрыв потока от стенок сопла при противодавлении (гл. Ill), как «поро­ говая» скорость потока при горении твердых топлив. Сводка используемых в книге данных о турбулентной зоне при обтека­ нии прямого угла приведена в табл. 8.

Таблица 8

Детальная теория турбулентных течений приведена, напри­ мер, в монографиях [2, 8].

32

1.8.ОБ ИНТЕГРАЛЬНЫХ МЕТОДАХ ТЕОРИИ СТРУЙ

Сцелью исследования влияния сжимаемости и смешения на распространение газовой струи в канале рассмотрим истечение че­ рез удлиненную (ср. с рис. 5) трубку Борда (рис. 9, а, LmlOd).

Во входном участке канала 1—2 струя сжимается до FCiK<iF‘, в сжатом сечении 2—2 скорость имеет только осевую составля­ ющую. В задаче об истечении из относительно короткой трубки (выходное отверстие вблизи сечения 2 — 2) предполагается, что смешения нет, давление торможения в струе постоянно (Роі=Ро2),

£|£ -

Из уравнения сохранения полного импульса газового потока в цилиндрическом канале (А,і~0, ro = const; Fсж — площадь сжа­ того сечения в плоскости 2—2)2

— взаимосвязи между приведенными скоростями в сжатом Яг и выходном Яз сечениях

1 р-2

Роі/ (Хг)

z (Х3)— z (^2)

Р01

— коэффициента восстановления полного давления в выход­ ном сечении (5—3)

Роз 1 Рз

р (Х3)-

Р01 / (Хз) Роі

До тех пор пока р2/Роі> яКр, давление одинаково по всему поперечному сечению канала в плоскости 2—2 и приведенная скорость Я2 в сжатом сечении определяется по я (Яг) =Р2ІРоі- С помощью соотношения для потерь полного давления при вне­ запном расширении (42)

можно получить новую формулу для коэффициента ц:

•где приведенная скорость в выходном сечении Я3 определяется іпо газодинамической функции л(Я3) = Рз/Роі=Рв/Роі (давление в выходном сечении 3—3 равно давлению окружающей среды, т. е.

■Ра=рж).

При рг/^оі^Якр (рис. 9, б) скорость потока в сжатом сечении іравна критической (Яг=1; /(Яг)=/кр), а давление неоднородно

34

по сечению 2—2: давление в струе больше (или равно при р2= = ЛкрРоі). чем давление вне ее. Критический режим течения в сжатом сечении устанавливается при относительном давлении в

При №/Роі<Яіф газовая струя расширяется после сжатого сечения (Ä2= l) и появляется участок со сверхзвуковыми скоростя­ ми. При некотором относительном недорасширении в сжатом сечении (роіЯІф>-/?2) границы сверхзвукового участка коснутся стенок трубки (например, в сечении 2'—2' рис. 9, е), область око­ ло сечения 2—2 изолируется от внешнего давления и трубка за­

нием относительного давления ро/роі, связанным с изменением давления окружающей среды pjpoi (Рп/р<н= Рз/Рм):

На рис. 9, г представлено изменение давления у стенки канала в сечении 2—2 в зависимости от давления окружающей среды

рассчитана без знания возвратных потоков. Уменьшению относи­ тельного давления р2ІРоі от 1 до 0, обусловленному уменьше­ нием противодавления окружающей среды ри/Рои соответствует:

—увеличение коэффициента сжатия от 0,5 до 0,789;

—уменьшение коэффициента восстановления полного дав­ ления от 1до 0,789 (при Х3= 1);

— переход от дозвукового течения по всему каналу до сверх­ звукового і(вниз по течению от сжатого сечения).

В результате рассмотрения газовой струи в длинной трубке Борда выявляется логическая связь различных частных случаев движения газа по каналам с местными стеснениями потока на докритических и сверхкритических режимах. При этом важные характеристики струи (коэффициент расхода, неоднородность статического и полного давления) определяются с помощью ин­ тегральных законов сохранения в широкой области изменения противодавления и геометрических соотношений.

1.9. ПЕРЕМЕШИВАНИЕ СТРУЙ В КАНАЛЕ ЗАРЯДА ТВЕРДОГО ТОПЛИВА

Рассмотрение двухмерного течения газов в канале порохово­ го заряда необходимо для обоснования одномерной модели, ис­ пользуемой при газодинамическом расчете РДТТ, и анализа эрозионного горения твердого топлива.

п

- 1

Рис. 10. Схема течения газов в канале заряда

В приближенной, квазистационарной, постановке двухмерное течение в канале порохового заряда рассматривается как тече­ ние в канале с неподвижными стенками при отсутствии термо­ химических процессов на боковых стенках [65]. Газы оттекают от стенок со скоростью v+= q-iu/q. Канал предполагается круглым, цилиндрическим. Вследствие симметрии течения относительно оси характеристики потока зависят только от л: и г. Течение в та­ ком проницаемом канале можно схематически разделить на три

36

скорость потока возрастает. На участке, непосредственно примы­ кающем к начальному сечению канала, интенсивность массопро­ вода через стенки j = Q V + = QTu велика по сравнению с осевым течением, и линии тока оттесняются так, что у стенок находится только газ, поступающий в данном сечении. Из рассмотрения такого струйного течения на начальном участке Ln~20 duan сле­ дует:

— распределение скорости по поперечному сечению канала имеет косинусоидальный вид:

ѵ { х , г) = — ѵ ср cos ■

2гк а н

— зависимость давления от расстояния х является парабо­ лической:

р( х ) = р ( 0 ) - — ех;2р;

—двухмерным уточнением инженерных методов газодинами­ ческого расчета РДТТ, основанных на одномерной модели, на начальном участке можно пренебречь.

Вдальнейшем интенсивность осевого течения возрастает. Вследствие неустойчивости тангенциального разрыва границы между отдельными струйками размываются в турбулентные об­ ласти, возникают турбулентное перемешивание и перенос массы

впоперечном направлении. Как только количество движения, переносимое турбулентными пульсациями тТр ~ 0,025(qd2/2) ста­ нет по порядку величины равным осевой составляющей количе­ ства движения, переносимого оттекающим от стенок газом j v , частицы газа из основного потока начнут проникать к стенке и тормозиться около нее. При этом возникает пограничный слой (сечение я — я). Оценки показывают, что пограничные слои бы­ стро утолщаются и заполняют все поперечное сечение канала [3], и на следующем, третьем, участке вязкое взаимодействие газа со стенками распространяется по всему сечению. Для ко­ личественной оценки влияния подвода массы на распределение скорости по поперечному сечению канала используем метод ма­ лых возмущений (разлагая касательные напряжения в погра­ ничном слое в ряд по параметру ѵ) и соображения теории подо­ бия [91]. Получим (при малых параметрах вдува на третьем

участке &= 2/7(е<хШсоС,„) < 1 [51])

37

В табл. 9 приведено сравнение расчетных значений Ѵо°/ѵср по формуле (55) с опытными по работе [61] в зависимости от b при д=1/7, откуда видно, что неоднородность скорости на треть­ ем участке меньше, чем па первом (где й = 6,ф= 4 ). Следователь­ но, поправками на двухмерность потока можно пренебречь и на третьем участке канала заряда.

Схема рис. 10 предусматривает разграничение областей тече­ ния как в осевом, так и радиальном направлениях. В соответ­ ствии с этой схемой закон конвективного теплообмена изменя­ ется по длине канала, а именно:

—па начальном участке L = Ln поток находится в условиях изоляции от конвективного теплоподвода вследствие инжекции продуктов сгорания;

—на втором участке длиной Ls, на котором нарастает по­ граничный слой, начинается увеличение теплового потока к

стенке;

— на третьем — закон конвективного теплообмена близок к соответствующим соотношениям теории турбулентного течения на основном участке трубы; влияние инжекции является относи­ тельно слабым и может быть учтено.

Вследствие изменения теплового потока по длине канала из­ меняется скорость горения твердого топлива — возникает «эро­ зионное» увеличение скорости горения [14].

Однородность газового потока в канале заряда твердого топ­ лива существенно нарушается там, где газы втекают с больши­ ми поперечными скоростями — на входе в канал или в районе поперечной щели (§ 2. 4). Поперечная струя отрывается от кром­ ки (вниз по потоку), образуется застойная зона А и поток сжи­ мается (рис. 11). На некотором расстоянии от щели (сечение 3—3) площадь сжатия потока Fcm минимальна, скорость не име­ ет поперечной составляющей, а статическое давление одинаково по всему поперечному сечению канала.

38