книги из ГПНТБ / Шишков А.А. Газодинамика пороховых ракетных двигателей. Инженерные методы расчета
.pdfОпыты показывают также, что заряды, выгорающие со сторо ны сопла, погасить легче (необходимая скорость спада давления меньше на — 50%, чем заряды с внутренним горением [84]). Определим зависимость скорости спада давления от конструк тивных параметров двигателя, в частности, от площади открывае мых дополнительных сопел 2 - F 0 t c - Используя для этого формулу (118), получим, что производная dp[dt минимальна при /= 0 и равна
dp |
Ap0f 0% F occ |
dt ~ |
W |
Подставляя это значение в формулу для (dp/dt)IiV, получим следующее условие гашения заряда:
Из этого соотношения следует, что для исследованного заряда смесевого твердого топлива необходимо открыть дополнительные сопла площадью, большей чем
W
Afo
Если изменение давления в период гашения заряда в резуль тате открывания дополнительных сопел аппроксимировать зави симостью
|
Л / о Е/^отс і |
|
— = е |
" |
, |
Po
то время уменьшения давления в е раз равно:
A f 0 У ^отс
Приближенное теоретическое условие гашения твердого топли ва h<LU, записанное с использованием конструктивных и термо динамических характеристик двигателя, имеет вид
Wii°-
A f 0a '
Практически площадь окон, требуемая для гашения, примерно равна площади камеры.
После гашения заряда происходит истечение оставшихся газов из ракетной камеры. Процесс опорожнения ракетной каме
ры определяется уравнением газового баланса при ф = 0:
( ~ ~ ) = — ш/о 1 = — тк? | / |
[119) |
где f = R T v,
129
и одним из следующих решений уравнения энергии:
— истечение изотермическое [9] dx/dt=0\ 7'= 7’0 = const;
—истечение адиабатическое (теплообмен со стенками отсут ствует) [55] TjT0 = (q/Qo)* 1= (pi/'о)(
—истечение из баллона при теплообмене в силу свободной конвекции [91] 7’/Г0 = ^[(р/р0)(й- 1)(1+с//?)-|-С/Л)]/(^?-]-С). Это соот
ношение при |
С= 0 сводится |
к уравнению адиабаты, а |
при |
|||
C^>R |
(С— >-оо) |
равносильно уравнению изотермического про |
||||
цесса. |
Решение |
уравнения |
(119) при |
T= const имеет |
вид |
|
( W = const): |
|
|
Af0FKVt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— = е |
w |
|
(120) |
|
|
|
Рк |
|
|
|
|
|
t |
|
-*/°FKV |
|
|
при этом — =Д |
p{t)dt———— (1 —е |
"7 *). |
|
|||
|
Рк |
J |
л /tA-iJ |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
В случае адиабатического истечения изменение давления оп ределяется следующим интегралом уравнения газового баланса:
|
|
Рк |
- Ww |
кр |
|
— I |
2k |
|
|
|
_Р_ |
|
|
и |
Т~ |
k—1 |
( 121), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при этом |
|
|
|
|
|
|
|
fc+i |
t |
|
W |
|
|
|
|
AUFк,, |
|
\ |
p{t)dt |
|
|
|
|
'ft-i |
||
-4/оИср |
|
|
|
|
«7 |
|
||
Рк о" |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Зависимость p(t) при истечении из баллона в случае теплообме на (в силу свободной конвекции) такова [91]:
Рк |
R |
[[]/ |.h(M+.rth/^ |
2R |
|
(Я + С )( й - 1) ^ |
||||
|
|
|
X t h ^ M + arth p / ^
|
R |
|
где N - |
(fc— 1 ) / С ( С + R ) A f üFKV |
|
W |
||
|
В этой формуле, а также в соотношениях (120) и (121) время отсчитывается от момента начала опорожнения камеры при дав лении рк и температуре Т0\ коэффициент истечения А и f0=RT<, соответствуют начальной температуре. Формулы (120) и (121) используются иногда для расчета падения давления не только после гашения заряда, но и после его полного сгорания [9]. По зависимости р(і) и уравнению состояния Т(р) могут быть вы числены изменения температуры, плотности и расхода в процес се опорожнения камеры.
130
4.3. ВОЛНОВОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА
Анализ волновых движений газа необходим для оценки точ ности квазистационарного приближения и для расчета высоко частотных колебаний сосуда при нестационарном истечении.
Сначала рассмотрим одномерное движение газа в цилиндриче ском сосуде с площадью поперечного сечения F при критическом
истечении через отверстие в заднем дне |
(сечение k — /г, рис. 50). |
|||||||
После открывания отверстия пло |
|
|||||||
щадью Ацр у заднего дна возникает |
|
|||||||
разрежение. Передний фронт волны |
|
|||||||
разрежения |
|
распространяется |
со |
|
||||
скоростью звука в покоящемся газе; |
|
|||||||
задний фронт — со скоростью |
звука |
|
||||||
в движущемся к отверстию |
газовом |
|
||||||
потоке. В момент прихода |
фронта |
|
||||||
волны к переднему |
дну |
начинается |
|
|||||
падение давления в |
головной |
части |
|
|||||
сосуда. Процесс монотонного умень |
|
|||||||
шения давления у переднего дна про |
|
|||||||
должается |
в течение периода |
отра |
|
|||||
жения волны. |
Затем |
отраженная |
|
|||||
волна возвращается к заднему дну, |
|
|||||||
вновь отражается, и процесс распро |
|
|||||||
странения |
и |
взаимодействия |
|
волн |
|
|||
повторяется. |
|
|
неустановив |
|
||||
Рассматриваемое |
|
|
||||||
шееся движение определяется систе |
Рис. 50. Движение волны в |
|||||||
мой уравнений і(9) |
при и=0 |
и |
F = |
цилиндрическом сосуде |
— const. В случае достаточно малых
возмущений давления р'=Ар/ро и скорости ѵ'=Аѵ/а0, соответст вующих малой относительной площади отверстия FuvjF, исход ную систему уравнений можно линеаризовать. Решение линеари зованной системы уравнений представляет собой линейную супер позицию прямой и обратной волн [87, 88]:
т / = F , ( x ’ - n + F * ( x ' + П = - ■ * ' ) + ( / ' + * ' ) ;
р< = k [Fi (jc' - 1') - F2(jc’ + O] = k [4J\ {t' - x ' ) - W2(t' + *')],
где x' — x/L-, i' = la0/L; Fi и A2; ЧА и Чг2 — произвольные функции, определяемые гранич ными условиями;
aQ— скорость звука в невоз мущенном потоке.
Движение волн в сосуде представлено на рис. 50 в плоско сти x't'.
Возмущения температуры газа Т'=АТ/Т0 определяются по известным возмущениям давления р' с помощью уравнения адиа баты T' = p '(k — l)/k.
131
Движение газа в сосуде начинается в момент открывания от верстия площадью /Д-р в заднем дне (при / ^ 0 будет p' —О и п '= о = 0). Расстояние от сечения k — k до сечения'/.— L пре небрежимо мало по сравнению с длиной сосуда L, и течение на этом участке предполагается квазистационарным. Из квазистационарного уравнения непрерывности на участке L — k q(ML) = = /'кр/Д после линеаризации получаем (х'= 1):
На переднем дне сосуда скорость газа всегда равна нулю, при х' = 0 ѵ' = ѵ = 0. С помощью этого граничного условия из первого уравнения системы (122) получаем
Ф'1 ( Г ) + ¥ 2 ( ^ ) = 0 и л и iF1 ( r ) = - W 2 ( r ' ) - = W ( f ) .
Таким образом, неустановившееся движение газа в цилинд рическом баллоне в линейном приближении описывается соотно шениями:
ѵ' = W(t' - х ' ) — W (t' + x'); p’ = k |
- х') + W (t' + jc'J], |
где вид функции Д1определяется граничным условием на задней стенке с отверстием: ѵ'=т. Решение задачи имеет такой вид [91]:
— в сечении x = L (у дна с отверстием)
ѵ= та0\ /?=ро[1— km(\+2n)]\ |
(123) |
— в сечении .ѵ = 0 (у переднего дна)
о= 0; р = р 0[1 — 2kmn\,
где п = іа0/2Ь — число прохождений волны туда и обратно.
В промежуточных сечениях происходит периодическое (с пе риодом f'= ta 0/L=2) изменение скорости в пределах от 0 до та0. В моменты t'— 2n газ покоится почти во всем баллоне (за исключением пренебрежимо малого участка L — k), в моменты времени t'= 2 n + \ газ движется со скоростью ѵ = ѵ 'а ~ т а на всем участке баллона длины L.
Задача о неустановившемся процессе истечения газа из ци линдрического баллона в точной постановке решена В. Г. Дуло вым [24]; графический метод расчета волновых движений газа при истечении из цилиндрического сосуда дан в работе [95]. Для момента времени, когда отраженная от переднего дна волна разрежения достигает соплового дна, получена приближенная формула
tnO’ü |
k — т |
k — |
|
2 |
|
L |
{k — 1) (1 + m) m |
k - 1 |
|
|
2 |
132
При этом скорость движения газа почти во всем баллоне рав на нулю, а среднее давление практически равно
После п-го отражения волны разрежения от соплового дна возникает равномерное движение со скоростью
Давление в равномерном движении
Из сравнения точных формул с результатами линейной тео рии (123) следует, что последние справедливы при /7і<СІ. В са мом деле, разлагая точные выражения в ряд по т и ограничи ваясь членами первого порядка, получим
V= та0\ рп+1= [ 1— km (1 + 2п)\ р0.
Эти соотношения совпадают с линейными (123).
Результаты расчета p(t) по формуле квазистационарной тео рии (121) близки к точным значениям и совпадают с линейными при /7г<с1. При сравнении точных и квазистационарных зависи мостей необходимо учесть, что
- W kp |
V */ о (/г + і)* 1 / Ѵ |
— —= mt'. |
W |
FL |
L |
Тяга двигателя (так же, как и перепад давления) при неуста новившемся истечении отличается от квазистационарного зна чения (90) на величину [62]
J dt |
J Й |
0 |
№ |
Для оценки в первом приближении поправки ДД рассмотрим одномерное течение газа в цилиндрическом сосуде, неустановив шееся истечение из которого происходит лишь через строго ра диальные отверстия возле заднего дна (угол между осью сосуда
133
и плоскостью, проходящей через оси истекающих струй, равен 90°). Осевая реактивная сила такого сосуда при установившем ся истечении равна нулю. Нестационарная составляющая осе вой тяги согласно волновой теории в промежутке времени 0 <L/ ö0 равна
|
----- (1 |
km2)= 1— ( 1 |
*2ft |
|
|
|
|
-'( 1-|-knP'pzkm. |
|
В момент t= L /a 0 нестационарная составляющая меняет знак |
||||
и при обратном движении волны |
(LJa0^.t^2L/ao) |
она равна |
||
|
|
|
/ |
2k |
AR |
_ р ( 0) |
PiQ (1 -(-krnP |
k - 1 |
|
|
|
|||
PoF |
Po |
|
|
|
Po |
|
|
||
|
|
|
2k |
|
|
— (1 + km2)(\ |
k~l ä ; — km. |
|
Как количество движения газа, так и количество движения сосуда будет в этом случае изменяться периодически. Изменение относительного количества движения F = AFL/(p0Fa0) в зависи мости от времени l' = tao/L представлено на рис. 51 в линейном приближении для случая /г = 1,25; /гг = 0,08 (FKp/ F = 0,135). Под действием волновых импульсов сосуд совершает продольные ко лебания. Положение сосуда после истечения всего газа совпа дает с первоначальным, так как исходное и конечное количества движения газа равны нулю.
Волновые движения газа в камере РДТТ с пороховым заря дом торцового горения, возникающие при малых изменениях ДК1(р площади критического сечения сопла, аналогичны рассмот ренным нестационарным течениям в сосуде. В линейном прибли жении они представляют собой также суперпозицию прямой и обратной волн и волны энтропии [87]. Но левое граничное усло вие— х=0, а горящий торец отличается от рассмотренного (о = 0). На горящем торце происходит подвод массы, и относи тельные возмущения расхода равны относительным возмущениям скорости горения твердого топлива:
, |
AG |
Ди |
Ар |
---- = -----= ѵ —— . |
|||
|
G |
u |
p |
С учетом этого условия вместо соотношения (123) получают ся в изотермическом приближении следующие формулы:
для давления у соплового дна
1 _ ( 1 — у) Mp п
Pl — Po
( І - ѵ ) М о
Ш
д л я д а в л е н и я у гор я щ его т о р ц а
Р= Ро |
1- |
(1 —ѵ)М0 |
( 1 - |
|
|
|
|
|
|
где М0 — число М в невозмущенном течении; |
|
|||
т -■ АДф M « |
1; |
0 = 1—(І-ѵ)Мр , |
г_ |
|
Лер |
|
1 + (1 — V) М0 |
2 |
Рис. 51. Изменение давления и ко |
Рис. |
52. |
Изменение давления в |
личества движения сосуда с ради |
РДТТ при открывании дополни |
||
альными отверстиями: |
тельных сопел у заднего дна: |
||
/—относительное давление у переднего |
/—относительное давление у переднего |
||
дна; 2—относительное давление у зад |
дна; 2—относительное давление у зад |
||
него дна; «?—относительное количество |
него |
дна; |
3— квазнстацнонарнан теория |
движения |
|
|
|
Сравним полученное линеаризованное решение с квазистационарным. Для получения квазистационарного решения при ма лых AFVp/F1(p разложим формулу (118) в ряд и ограничимся пер вым членом:
|
|
А/^кр |
(1—v ) A f 0F кр |
|
Р Ро |
|
\Ѵ |
|
|
|
кр (1 |
|
||
|
|
|
||
= Ро |
— |
і--------— ( 1 _ е - ( і - ѵ ) м 0 г \ 1 |
|
|
l —V м |
|
|
||
Результаты расчета изменения давления по формулам волно |
||||
вой (линеаризованной) |
и |
квазистационарной теорий |
представ |
|
0 |
|
М0=0,2; |
||
лены на рис. 52 в зависимости от t'= ta 0/L для ѵ = 0,5; |
||||
т = 0,08, откуда видно, |
что ступенчатые (скачкообразные) изме |
нения давления у переднего дна и у сопла камеры при неустаиовившемся истечении описываются только волновой теорией. Однако общий характер спада давления при увеличении площа ди критического сечения «квазистационарная» формула описы-
135
вает правильно, и ее отклонения от результатов волновой тео рии убывают с уменьшением AFKP (при этом уменьшается вы сота «ступенек»). Асимптотические значения давления при ,ѵ = 0 и x = L одинаковы и равны асимптотическому значению, полу чаемому по квазистационарной теории; при t'= 2n—
т |
Л^кр I |
Р |
(1 — ѵ )Д Кр J ' |
( І - ѵ ) М о |
Рассмотрим волновое движение газа в цилиндрическом кана ле порохового заряда ракетного двигателя, возникающее при ма лом изменении площади критического сечения сопла. Скачкооб разное увеличение FKр до Акр+ААКр приводит к появлению вол ны разрежения у сопловой крышки. Передний фронт этой вол ны распространяется со скоростью звука относительно невозму щенного потока газа а0; задний фронт •— со скоростью звука в возмущенном потоке а. По мере распространения волны разре жения происходит изменение скорости горения топлива. Пред положим, что это изменение можно аппроксимировать линейной зависимостью Аи/и=ѵАр/р. В момент прихода фронта волны к переднему дну начинается падение давления в передней части камеры. Это падение продолжается в течение периода отраже ния волны. Затем отраженная волна возвращается, и процесс распространения и взаимодействия волн повторяется.
Рассматриваемое неустановившееся движение определяется системой уравнений (9) при F = const. В случае достаточно ма лых возмущений давления Ар/р и скорости Аѵ/а0, соответствую щих малому AFKp/F, исходную систему уравнений можно линеа ризовать (М2<сІ; Др = Др/а2; a02=kRT0=kp/Q).
Введем безразмерные переменные Іг=Ар/р\ i=A(Qv)/(Qa0). Так как
|
|
|
ft+i |
•^кр |
AaaFup |
|
|
|||
|
|
|
2(й—1) |
§lhP'~m L = A F y.p, |
||||||
а0 |
\к+ 1 |
~ІГ |
kF |
|||||||
|
|
|
||||||||
to J - - J A + i L |
= J ^ _ A; |
|
JL |
iL_|__!^L = o. |
(124) |
|||||
ka0 dt |
dt |
|
L |
|
a0 |
dt |
dx |
|
|
|
При |
|
|
A=0 |
h = 0; |
/ —0; |
|
|
|||
|
|
|
t^> 0 |
jc= 0; |
i = 0; |
|
|
|||
|
|
x = L \ ^ = М , ( Н ^ ) . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
' |
*Kp |
|
Система уравнений (124) относится к известным в математиче ской физике телеграфным уравнениям. Для ее решения приме ним интегральное преобразование Лапласа. При этом система уравнений (124) преобразуется так:
\k{x,s)—»h-(x,t)\ i{ x ,s) —*i{x,t))\
136
s H x , S) + Ü i M L = ^ |
|
i № S ); |
|
|
dx |
|
L |
s k ~ , |
4 i d h ( x , s ) |
- |
|
— l ( x ,s H ------ v |
’ |
= 0 |
|
«o |
dx |
|
|
или — |
—/ — — l^M /7= = 0 . |
dx2 |
\ a\ «oL j |
Необходимо найти решение этого уравнения при преобразован
ных граничных условиях |
Is > 0; i — — ^~ |
dx |
: |
|
||||||
|
|
|
|
\ |
|
|
ks |
j |
|
|
|
|
|
|
л |
d li |
л |
|
|
|
|
|
|
|
x = 0 |
----= 0; |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
x = L |
dh |
__ |
ksМ,- |
( z |
I |
A/?M> |
) |
|
|
|
dx |
|
|
||||||
|
|
|
|
До |
' |
' |
sF Kf |
> |
|
|
Искомое решение в пространстве изображений h(x, s) |
и i(x, s) |
|||||||||
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eil |
q - x |
|
|
|
|
|
|
|
^кр |
в-оЧ |
sh q- L + |
c.bq-L |
|
|
||
|
|
|
|
ks ML |
|
|
|
|
|
(125) |
|
|
0-ü4^Fкр |
|
sh 0 |
-je |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
s-A/^kp |
Др? |
sh q ■L + |
chq-L |
|
|
|||
|
~V |
|
|
ks MI |
|
|
|
|
|
|
где q |
aVL |
|
ний. |
|
|
|
|
|
возмуще- |
|
|
^ ^ —коэффициент распространения |
Возмущения давления Aр(х, t) и расхода Aqv(x, t) получают ся в результате обратного преобразования Лапласа, применен
ного к h(x, s) и і(х, s). Общий случай обратного преобразова ния сравнительно труден, поэтому выполним его для. двух прак тически интересных случаев:
а) движение первых волн (t— *-0; s— >-оо) и
б) многократное взаимодействие волн (t— voo; s— >-0).
С этой целью разложим функции h(x, s) и L(x, s) в сходящие ся ряды по степеням е- «* (при s— >-оо) или q (при s— >-0) [54]. Одновременно введем соответствующие разложения для коэффи-
|
, f |
s2 |
sAvM/ |
|
циента распространения q= |
1V/ |
-------------- Дд |
a0L |
При вычислении ко- |
эффициентов разложения учитывается исходное положение о ма лости М2 по сравнению с единицей.
137
Решение для первых волн (t— >-0, s— >-оо). Учитывая, что
sh q - x = |
— {e!>x — |
■ ( 1 + е - 2'Ц Х ) |
c h q x = |
— (e?-r-{-e- |7-v) = -^ — (1 -J-e-2»-1"); |
|
s |
|
|
УДрА-М/, |
s |
|
ѵя0ЛМі |
|||
|
aQ |
|
|
sL |
|
aa |
|
2s L |
||
получим ^7—*öo; |
<£ |
|
vftM, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
/ |
|
||||
|
Д^кр |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
h = - |
|
|
Др9 |
|
|
|
|
-W |
|
|
S^KP |
|
M- |
anq |
||||||
|
^кр/’Мл |
|
•s/eMi |
Sk^L |
|
|||||
|
|
Vg()M£jfe |
■ - k M L[ 1 |
~ |
||||||
|
S^K|) |
|
|
2s L |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
X |
vk^L _£_\ g- |
s(,L—x ) |
|
|
|
|
|
|||
a„ -I ( ' + X f ) e - ^ ] X |
||||||||||
2 |
Z. |
|
||||||||
|
X{' |
|
|
|
|
|
|
2sL |
|
|
|
|
1—2*Mi ( 1— 1-)| e |
"• + |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
AsL |
|
|
|
|
|
Akh\, ( 1 -----— I |
e |
c° |
|
|
||||
Применяя формулу обратного преобразования Лапласа |
||||||||||
|
e -* V (s ) - .f° |
при *< а ; |
|
|
||||||
|
|
|
|
\ f { t ) |
при 7 > a > О, |
|
||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h = ДР |
^к-р |
|
|
|
|
|
|
1 |
) £[г — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ^ *') s [? - (3 + *')]-+ [ 1 - 4/гМ, (1 - Y j ] (l “ X T Х ') X
X е[/'_(5 —JC')]+ L — 4 k M L (1 |
—■ |
ѵйМI |
|
X ’ j e [Z' + |
|||
_|_(5 + x')] + .. . |
ѵД^кр^М* |
— (1 —x')\ -{-Л [t ' — ( 1+ x ' ) ] 4~ |
|
( л [f |
- F кр
138