книги из ГПНТБ / Шишков А.А. Газодинамика пороховых ракетных двигателей. Инженерные методы расчета

^(M ~(i>75—o, i25a)x ^ 1— ^"y2;

Таким образом, газодинамические функции определяют вза­ имнооднозначное соответствие между характеристиками течения газа с приведенной скоростью К и местными параметрами тормо-

19

жения ро, go, То, а также плотностью полного импульса p + QV2 в рассматриваемом сечении. Использование тех или иных газо­ динамических функций при решении конкретных задач зависит от того, какие параметры потока остаются постоянными во всей области течения.

1.6. ПРИМЕНЕНИЕ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ФУНКЦИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПРИКЛАДНОЙ ГАЗОДИНАМИКИ

1.6.1. Изменение скорости вдоль линии тока

Вслучае адиабатического стационарного движения сжимае­ мого газа вдоль линии тока остаются постоянными расход, тем­

пература торможения и давление торможения, т. е.

Уравнение (34) устанавливает однозначную связь между приве­ денной скоростью X и площадью проходного сечения канала F (подобно тому, как соотношением Fu = const полностью опреде­ ляется течение несжимаемой жидкости в канале). Непосредст­ венная связь между q и л устанавливается формулой Сен-Вена- на — Ванцеля

(35)

В целях приближенного анализа вместо формулы (35) мо­ жет быть использована ее аппроксимация кривой второго поряд­ ка (дугой эллипса) [30], а именно, при nH= Pu/po^nI<p:

(Ян Якр)2

(36)

(1 Я,;,,)“

Если приближенно заменить якр = 0,5, то для ян>0,5 получим простую формулу

Важным частным случаем течения газа в канале с перемен­ ной площадью проходного сечения является движение газа в соплах (гл. Ill).

1. 6. 2. Течение газа в цилиндрической трубе при наличии подогрева

20

трения можно пренебречь) определяется уравнениями неразрыв­ ности и количества движения

- 7к^-GaKpz (X)= p0f (X) F = г (X) = const.

При k = const II заданных параметрах в начальном сечении 1— 1 имеем

г ( Ц = г (Хх)K |U/aK1>) = г (XJ ѴттіТп = z { \ ) Ѳ“1.

Лі. = /(Хі)_< it так как / ( л . Х / ^ . ) .

Аналогичные явления происходят в случае течения газа в цилиндрическом канале при подводе массы (гл. II).

1.6.3. Внезапное расширение канала

Вслучае внезапного увеличения площади проходного сечения струя, выходящая из узкой части канала диаметром du не за­ полняет вначале всего поперечного сечения канала, а растекает­ ся постепенно. В углах между

участке. Следует подчеркнуть, что действительная длина участ­ ка, необходимого для выравнивания потока после внезапного расширения, (6~lQ)di [1, 93].

Закон сохранения полного импульса на рассматриваемом уча­

21

Используя газодинамические функции z(X) и у (Л) в уравне­ нии (30), получим

веденная скорость Л-2 в сечении 2—2, в котором поток выравни­

рость после внезапного расширения, не прибегая к использова­ нию газодинамических функций; она проще формулы (39) и об­ ладает высокой степенью точности. Значения Ло, вычисленные по

Из уравнения неразрывности, используя выражение (24) для расхода, получим формулу для определения коэффициента вос­ становления полного давления при внезапном расширении

22

Используя формулу (40), окончательно имеем с точностью до членов порядка А,і2 включительно

формула (42) проста, она позволяет рассчитать коэффициент восстановления давления при внезапном расширении непосред­ ственно по Хі и F2/F), минуя решение уравнения импульсов (39), и обладает высокой степенью точности вплоть до значений А,і, близких к единице (табл. 4).

1. 6. 4. Истечение из насадки Борда

Одномерное свободное истечение газа из насадки Борда (диаметр цилиндрического насадка мал по сравнению с разме­ рами сосуда, рис. 5) определяется уравне­ ниями Бернулли и количества движения.

Выпишем эти уравнения, пренебрегая ско­ ростью потока во входном сечении 1— 1

(т. е. роі = Рі):

23

Следовательно, при Л2= я„— И величина коэффициента рас­ хода стремится к значению ‘/г, что и следовало ожидать [28].

Если Яп^Якр, то в сжатом сечении устанавливаются скорость звука и критическое давление (которое может отличаться от на­ ружного, т. е. в одномерной модели при сверхкрнтическом исте­ чении допускается скачок давления па границе струн {!]), и тогда

/ к р Я „

Таким образом, одномерная модель течения не только точно отражает зависимость ц от сжимаемого газа в случае истечения из насадка Борда при докритическом истечении (я2= яп> я Кр), но и дает оценку ц при сверхкритическом (я2= я Іф ^ я п) . Отсюда

Рассмотрим адиабатическое течение в цилиндрическом кана­ ле при наличии внутри канала области неравновесного режима и проведем контрольные сечения вне этой области. Размеры вы­ деляемой диссипативной области произвольны. Область может быть очень тонкой и в пределе представлять собой поверхность разрыва, так называемый прямой скачок уплотнения или удар­ ную волну. Длина области может быть и значительной по срав­ нению с диаметром канала — порядка (6ч-10)Д как, например, в сверхзвуковом диффузоре с постоянной площадью сечения. Важно только, чтобы в диссипативной области силы трения и теплообмен со стенками были пренебрежимо малы. Тогда из законов сохранения массы, полного импульса и энергии следует [см. также уравнение (32)], что

F, G, акр, z(X) постоянны, т. е.

предполагаем наличие диссипативной области, получим из урав­ нения (44) соотношение Прандтля— Майера:

а2 = 1//.j или VjV2=а~К[).

24

Из закона сохранения полного импульса, записанного с по­ мощью газодинамической функции f(X), вытекает следующая формула для коэффициента восстановления полного давления в скачке:

Согласно второму закону термодинамики энтропия потока не

Следовательно, должно быть /(АД ^ /(ІД і). Из графика функции f(k) (см. рис. 3) видно, что условие f(Xi) </(1 /АД выполняется только при Я.1^1. Таким образом, в скачке уплотнения скорость

Из уравнения импульса Ц02/Д 2) = Pi/r(Xi) получаем формулу Рэлея, записанную с помощью газодинамических функций:

По результатам измерения статического давления рі и полного давления после скачка р02 (трубкой Пито) по формуле (47) оп­ ределяется приведенная скорость потока Аі. Для обеспечения точности измерения в пределах 1% Рі необходимо, чтобы угол скоса потока не превышал 5°; для обеспечения такой точности по Ро2 допускаются большие углы (но не более 20°).

Значения коэффициента восстановления полного давления в прямом скачке Poz/Poi и соотношение Рэлея приведены в табл. 5.

Косой скачок уплотнения сводится к прямому, который сно­ сится вместе с потоком газа вбок (вдоль фронта) со скоростью vt (рис. 6). Таким образом, в подвижной системе координат рас­ четная схема косого скачка уплотнения аналогична расчетной схеме ударной волны с начальной приведенной скоростью Аіп= = ѵіп/акрп, где аКр п — частичная критическая скорость, соответ­ ствующая частичному торможению потока, связанная с акр и vt уравнением Бернулли:

25

Рис. 6. Косой скачок уплотнения:

26

27

После преобразования получаем (см., например, [88])

Изменения параметров газа при переходе через косой скачок в зависимости от числа Мі набегающего потока и угла ю откло­ нения скорости в косом скачке приведены в табл. 6 для /г=1,4; 1,25 и 1,15.

Из формулы (50) видно, что при бесконечно малых углах от­ клонения потока (coä^O)

т. е. косой скачок совпадает с линией Маха. При этом из тре­ угольников, показанных на рис. 6, с точностью до бесконечно ма­ лых первого порядка следует (с/щ<0)

1.6.6. Расширение сверхзвукового потока

Расширение сверхзвукового потока (в противоположность сжатию) происходит изэнтропически. Наиболее простым случаем

28