книги из ГПНТБ / Шишков А.А. Газодинамика пороховых ракетных двигателей. Инженерные методы расчета

нии оси X, работой сил давления на элементе (dS/dx)Ах, излу­ чением, теплообменом, трением и массовыми силами прене­ брегаем).

Вследствие конвективного переноса через левую границу внутрь рассматриваемого объема за промежуток времени At бу­ дет вноситься:

—масса qvFÂI-,

—количество движения QVzFAt\

Элементарный импульс и элементарная работа сил давления в этом сечении представляются в виде

pF At и pvFAt.

Рассмотрение конвективного переноса, элементарного импуль­ са и работы сил давления на правой границе F(x+Ax, t) приво­ дит к аналогичным формулам, содержащим функции аргумента х + Ах. Разности соответствующих выражений определяют мас­ су, количество движения и полную энергию, задержавшиеся внутри объема; с точностью до членов первого порядка малости они равны

----— {QvF) AxAt',

дх

~ ^ - { qv2F) ах At-,

дх

АхAt------(jovF) АхAt.

дх

Приток массы и полной энергии в рассматриваемый объем вследствие сгорания топлива на элементе поверхности площади (dS/dx) Ax определяется соотношениями

где Ят — энтальпия топлива.

Импульс сил давления в направлении оси х элемента горя-

щей поверхности равен р dF дхдt.

дх

Группируя приведенные выражения в соответствии с закона­ ми сохранения и проводя преобразования, получим следующие

9

дифференциальные уравнения движения газов в канале порохо­ вого заряда:

ек— 1

Куравнениям (9) нужно еще присоединить следующие:

P= qRT (уравнение состояния);

- ^ - = и ( р , ѵ) — (уравнение горящей поверхности).

Число уравнений (пять) равно числу неизвестных и при со­ ответствующих граничцых и начальных условиях, геометриче­ ских характеристиках (связи между F и S) и конкретной зави­ симости и(р, V) течение газа определяется однозначно (в обла­ сти непрерывного движения). Уравнения (9) являются частным случаем уравнений движения идеального газа в каналах с про­ ницаемыми стенками, полученных Г. Г. Черным [87], и совпада­ ют с ними при следующих предположениях:

—полное теплосодержание единицы массы газа, притекаю­ щего от стенок канала, равно энтальпии торможения осевого те­ чения;

—проекция на ось канала скорости притока газов от стенки равна нулю;

—давление одинаково по всему поперечному сечению кана­ ла, включая периметр.

Системой уравнений (9) определяются, в частности:

—течение идеального газа в канале порохового заряда;

—течение газа в каналах с непроницаемыми стенками (на­

пример, течение газа в соплах, газопроводах); при этом п= 0. В процессе работы ракетного двигателя на твердом топливе

происходит изменение всех газодинамических характеристик, а также площади проходного сечения канала порохового заряда. Поэтому, строго говоря, все частные производные по времени, входящие в систему (9), отличны от нуля. Решение системы в общем виде возможно только численными методами. В некото­ рых случаях уравнения (9) усложняются за счет учета теплооб­ мена, химических реакций и гетерофазности потока. Наиболее сложные неустановившиеся газодинамические процессы в РДТТ развиваются в период воспламенения заряда твердого топлива.

Ю

1.3.КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ

Вбольшинстве практически важных случаев уравнения газо­ динамики РДТТ упрощаются на основе гипотезы квазистацио­ нарности, т. е. предположения о том, что неоднородности, обу­

словленные неустановившимися течениями газа, пренебрежимо малы.

Для простоты исследуем условия применимости гипотезы ква­ зистационарности к решению газодинамических задач при w = 0 и F = const [52]. Аналогичным образом формулируются условия квазистационарного приближения и в других, более сложных случаях.

Пусть t и L — величины порядка промежутков времени и рас­ стояний, на которых скорость газа испытывает заметные измене­

~qvL/ta2. Сравнивая теперь члены dq/dt и q(dv/dx) в уравнении непрерывности, найдем, что производной dq/dt можно пренебречь

время, в течение которого звуковой сигнал пройдет расстояние L, существенно мало по сравнению со временем £, в течение ко­ торого заметно изменится движение газа. Таким образом, дви­ жение газа в РДТТ является квазистационарным, если время

Из сравнения соответствующих членов в уравнении непре­ рывности и импульса получаем формулировку условий, при ко­ торых можно пренебречь величиной dF/dt=uTL = u(dS/dx)\

Последнее неравенство имеет простой смысл: за время про­ текания газа вдоль всего канала і2 площадь проходного сечения практически неизменна.

Последовательное применение идей квазистационарности да­ ет возможность рассматривать более быстрые процессы как

* Релаксация газового объема — процесс установления стационарного те­ чения в этом объеме.

11

мгновенные, например, процесс распространения возмущений в пределах камеры можно считать мгновенным по сравнению с U (или временем релаксации газового объема), а последнее — весьма мало по сравнению с временем tn. Аналогично процесс релаксации теплового слоя в твердом топливе, определяющий согласно теории Я. Б. Зельдовича изменение скорости горения при изменении внешних условий, в квазистационарном прибли­ жении считается мгновенным по сравнению с процессом релакса­ ции газового объема 4- Времена тепловой релаксации газа и ре­ лаксации химических процессов на несколько порядков меньше U [60] и в дальнейшем считаются пренебрежимо малыми.

Таким образом, в квазистационарном приближении распре­ деление параметров газа вдоль двигателя в любой момент вре­ мени определяется геометрическими характеристиками в этоі же момент времени и системой уравнений (9) при пренебрежении всеми частными производными по времени:

P = qRT.

Решение системы уравнений (11) приводится в § 1.4—1.6 при и = 0 II в гл. II при ыфО для установившегося режима ра­ боты РДТТ.

Если систему уравнений (9) проинтегрировать по длине ка­ нала (пли объему камеры), то, пренебрегая членами порядка Мг как бесконечно малыми по сравнению с единицей, получим си­ стему обыкновенных дифференциальных уравнений для измене­ ния осредненных по объему параметров газа во времени:

dt

Методика определения коэффициента средней скорости горе­ ния ер и коэффициента восстановления полного давления в РДТТ г] изложена в гл. II.

Уравнения (12) могут быть получены непосредственно из уравнений газового и энергетического баланса ракетной камеры

12

для осредненных по объему параметров газа. Они исследуются в гл. IV с целью расчета в квазистацнонарном приближении изменений газодинамических параметров в РДТТ при неустановнвшихся режимах работы, например — при выходе на рабочий режим или при отсечке тяги.

Из сравнения систем уравнений (11) и (12) с исходной (9) видно, что квазистационарные процессы описываются уравнения­ ми в полных производных, в то время как процессы, не удовле­ творяющие условию квазистационарности, — уравнениями в ча­ стных производных. Такая замена уравнений в частных произ­ водных «квазистационарными» уравнениями в полных производных существенно упрощает математическую формули­ ровку задачи при незначительном уменьшении точности, вполне допустимом с точки зрения инженерной практики.

Гипотеза квазистационарности используется также в модели одномерного движения, так как последняя предполагает, что лю­ бое воздействие (например, подвод вещества через стенки) мгно­ венно равномерно распределяется по всей ограниченной массе газа, протекающей по каналу, при математическом описании за­ дач прикладной газодинамики и при экспериментальном модели­ ровании газовых потоков, например, при определении структуры течения в предсопловом объеме РДТТ (гл. II).

1.4. ПАРАМЕТРЫ ТОРМОЖЕНИЯ

Установившееся движение совершенного газа по каналам с непроницаемыми стенками имеет место в различных конструк­ тивных элементах двигателя: сопловом аппарате, предсопловом объеме, удлинительных газоводных трубах и газопроводах огне­ вой связи. На примере установившихся течений обнаруживается ряд общих газодинамических закономерностей, знание которых необходимо для понимания более сложных случаев движения газа.

Уравнения, определяющие установившееся движение газа в теплоизолированном канале, получаются из системы уравнений

(9) при пренебрежении всеми частными производными по вре­ мени (включая dF/dt = u(dS/dx) =0):

2

Постоянную, фигурирующую в уравнении (16), удобнее все­ го вычислить в предположении, что жидкость переводится в со­ стояние покоя (у= 0). Тогда получим

В результате полного торможения потока вся кинетическая энер­ гия газа переходит в тепловую.

X — = ----- г , получим другие возможные формы уравнения энергии

бА — 1

для установившегося движения:

где ро, до, Т0 и а0— давление, плотность, температура затормо­ женного потока и скорость звука в нем, или п а р а м е т р ы тор- п о ж е н и я.

При решении газодинамических задач наряду с параметрами торможения используются критические параметры, которые оп­ ределяются не условием и —0, а условием о= а = а кр:

Таким образом, энтальпия торможения может быть выраже­ на через критическую скорость аІф и другие критические пара­ метры:

Теоретически переход к параметрам торможения или крити­ ческим параметрам возможен всегда, независимо от того, реа­ лизуются они в каком-либо конкретном течении или нет. Каж­ дому сечению потока однозначно соответствуют вполне опреде­ ленные параметры торможения и критические параметры.

14

При установившемся течении совершенного (идеального) га­ за в теплоизолированном канале с непроницаемыми стенками все параметры торможения остаются постоянными во всей обла­ сти течения. При этом интеграл уравнения количества движения [второе уравнение системы (14)] совпадает с интегралом энер­ гии (18). В самом деле, используя уравнение непрерывности, уравнение количества движения можно привести к виду

6

Теплоизолированное течение газа без трения является изэнтропическим, и для него справедливо уравнение изэнтропы.

6ft

После подстановки равенства (21) в выражение (20) и инте­ грирования получим

Уравнение (22) совпадает с уравнение (18); его называют также уравнением Бернулли для сжимаемой жидкости.

1.5.ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Рассмотрим приведенную скорость X, равную отношению ско­ рости потока к критической скорости [1, 86]:

f l Kj)

Приведенная скорость X играет важную роль в прикладной газодинамике в качестве безразмерной переменной, особенно удобной при расчете газовых течений в случае постоянной тем­ пературы торможения (и, следовательно, критической скорости), В частности, температура торможения не изменяется при уста­ новившемся течении газа в ракетном двигателе на твердом топ­ ливе и использование приведенной скорости для газодинамиче­ ского расчета РДТТ является весьма целесообразным.

Из уравнения Бернулли (22) получаем после подстановки

= х% - ^ д а ѵ

15

Соотношения (23) являются определением газодинамиче­ ских функций т(А), е(£) и л (А.) и выражением этих функций через приведенную скорость А. Газодинамические функции т(А), е(А) и л. (А) называются приведенные температура, плотность и давление соответственно и служат для расчета параметров тече­ нии по известным параметрам торможения и приведенной ско­ рости, а также для решения обратных задач. С помощью газо­ динамических функций, определяемых соотношениями (23), вводятся другие газодинамические функции, позволяющие использовать в расчете непосредственно уравнения непрерывно­ сти и полного импульса.

Уравнение расхода газа через сечение F

G — qvF

с помощью соотношений (23) приводится к виду

yr To

где

Величина mKP равна 0,6386; 0,6581 и 0,6848 при £=1,15; 1,25

и 1,4 соответственно; коэффициент истечения А = т кРУ 1 /(RT)0 зависит только от свойств топлива (см. табл. 1).

Приведенный расход <7(А) определяется так:

Если в некотором сечении достигается критическая скорость и, следовательно, А=1, то <7(1) = 1, и расход через это сечение оп­ ределяется формулой

При решении ряда задач требуется связать расход газа не с полным давлением, а со статическим в данном сечении. Тогда

16

Рассмотренные газодинамические функции т(А), it (А.), е(А), <7(А), у (A), z( А), /(А), г(А) и /о(А) табулируются, как правило, одновременно. В таблицу помещаются также значения

Газодинамические функции могут быть выражены также че­ рез число М, однако использование таких выражений нецелесо­ образно при расчете потоков с постоянной температурой тормо­ жения. Определения и математиче­ ские выражения газодинамических функций приведенной скорости А

даны в табл. 2.

Соотношения между газодинами­ ческими функциями:

я(Х) = £(Х)т(Х); л(А) = /(А)г(А); ?(Х) = */(Х)я(А); 2у„(Х) = /(А)— я (А).

Если обозначить/ Kp=2[2/(ft-(-1

то

Таблицы газодинамических функций вышли несколькими из­ даниями, краткая их аннотация приведена в книге [91].

Ряд отечественных изданий включают таблицы газодинами­ ческих функций в сокращенной форме [1, 30, 86].

При вычислениях с помощью таблиц в области околозвуко­

близких к единице, изменяются слабо и небольшая погрешность в их определении ведет к значительной ошибке в А. При А« 1 функцию q (А) можно разложить в ряд Тейлора в окрестности А= 1:

< 7 (А )^ 1 -* ± і(л - П*.

Для расчета А по функции z(А) может оказаться полезным сле­ дующее соотношение:

),= г + У Z2— 1.

Оценка газодинамических параметров может быть получена с помощью приближенных аналитических выражений для функ­ ций [11]:

18