книги из ГПНТБ / Мельникова И.И. Динамическая метеорология учеб. пособие для океанологов

Главной причиной воз­ никновения силы бариче­ ского градиента в атмосфере является неравномерность нагре­

вания подстилающей поверхности.

*

Сила трения

Рассмотрим поток жидкости, в котором скорость растет с высотой (рис. 6). За счет теплового движения молекулы с уров­ ня 1 могут попадать на уровень 2 и переносить сюда некоторое

движения, т. е. будут затормаживать движение на этом уровне. Таким образом, иод влиянием молекулярного перемешивания, возникает поток количества движения, приводящий к постепен­ ному выравниванию скоростей. Из общих физических соображе­

20

где коэффициент пропорциональности р называется динамиче­

ским коэффициентом вязкости и зависит от свойств жидкости;

Iл]=ЛЬ/г‘-Г 2, [uj = ЛЬ/ / 1• Г 1

где А г — коэффициент турбулентной вязкости или турбулентно­ го обмена вдоль оси z. Обычно А г на много порядков величин

Физический смысл Аг и к г будет пояснен позже. Сначала полу­ чим выражение для проекции силы турбулентного трения. Для этого рассмотрим элементарный объем dx-dy-dz, расположен­ ный в потоке, скорость которого растет с высотой. Обозначим че­ рез ті и Т2 касательные напряжения (рис. 7), действующие на

21

В таком случае силу трения, действующую "на объем вдоль оси •V, за счет касательных напряжений т2 и п можно представить как

f-..x=(~2—’ i ) d x ’dy

(Здесь и в дальнейшем нижний индекс указывает проекцию си­

ный градиент скорости. Тогда можно получить выражения для остальных составляющих

22

Воспользовавшись полученными выражениями для сил, дей­ ствующих в атмосфере, (2.2.3), (2.2.6), (2.2.7), (2.2.11), перепи­ шем теперь уравнения движения (2.1.5) в развернутом виде

Поскольку в (2.2.12) содержится новая неизвестная харак­ теристика — коэффициент турбулентности, то необходимо более подробно познакомиться с явлением турбулентности и найти спо­ соб замыкания системы уравнении.

§ 3. Понятие оо атмосферной туроулентности. Выражения для турбулентных потоков тепла, влаги и количества

движения

Если построить график зависимости скорости ветра, впрочем как и любой другой характеристики атмосферы, от времени ѵ поверхности земли (рис. 8), то будет видно, что скорость движеиия пульсирует, т. е. и резко изменяет свою ве­ личину и направление в течение коротких проме­ жутков времени. Режим движения, при котором отдельные частицы жид­ кости или газа имеют не­ правильные-, хаотические

23

движению) перемещениями, называется турбулентным. Из гид­ ромеханики известно, что характер движения жидкости или газа зависит от безразмерного числа Рейнолыса

ный характер (частицы перемещаются параллельно друг другу по плавным траекториям), при больших Re движение имеет тур­ булентный характер.

За исключением движения в очець тонком слое воздуха (тол­ щиной в несколько миллиметров), так называемом ламинарном подслое, прилегающем к земной поверхности, все атмосферные движения имеют турбулентный характер.

Из рис. 8 видно, что мгновенную скорость ветра (скорость в

где и — средняя за некоторый.период времени скорость; и' — от­ клонение От средней. Так как средняя кинетическая энергия по­

тока пропорциональна и2, то с учетом того, что

из кинетической энергии оередненного, сглаженного движения и кинетической энергии пульсаций, называемой энергией турбу­ лентности (Ь).

При получении этого вывода мы исподьзовали один из посту­

латов статистической теории турбулентности /•/' = () (считается, / = /+ /'). Напомним и другие постулаты:

fi+f2=f+l2; j=f,

(если /1 и /2 независимы, то / 'і ■/^ = 0),

0 .

Все постулаты довольно легко доказываются. Например, справедливость последнего можно показать так:

24

По аналогии с процессами молекулярного перемешивания, когда переносчиками свойства являются отдельные молекулы; в теории турбулентности вводится понятие турбулентного моля— отдельной частицы жидкости или газа, которая отрывается от общего потока в одной его точке и смешивается с ним в другой (перенося таким образом его свойства из одной точки в другую).

Хотя практически смешение идет непрерывно, вводится по­ нятие пути смешения (аналог пути свободного пробега в моле­ кулярной теории) как расстояния /, которое проходит турбулент­ ный моль от момента зарождения до полного смешения с окру­ жающей средой. Турбулентный моль представляет вихрь, воз­ никающий за счет гидродинамической неустойчивости основного потока. Прохождение через данную точку пространства вихрей разных размеров, несущих свойства из различных частей основ­ ного потока, и создает ту сложную картину изменения метеоро­ логического элемента, которая показана на рис. 8.

В дальнейшем мы будем рассматривать только вихри с го­ ризонтальной осью, определяющие перенос свойства в верти­ кальном направлении.

Получим общее выражение для турбулентного потока любой субстанции S. Если понимать под S количество субстанции в единице массы воздуха, то для потока тепла S = c BQ (Ѳ — потен­ циальная температура), для потока водяного пара S = g (удель­ ная влажность), для потока количества движения S = c (с—ско­ рость потока).

Так как под потоком субстанций Q обычно понимают ее ко­ личество, переносимое за единицу времени через единичную площадку в направлении нормали к ней, то'

w — w + w'; S = S + S'. Тогда (2.3.5) примет вид

25

Первый член этого соотношения определяет поток субстан­ ций, обусловленный средним движением, остальные три члена дают поправку за счет турбулентности. На основании ранее рас­ смотренных постулатов вторым и третьим членами можно пре­ небречь. Четвертый член обычно не равен нулю (так как а / и S' взаимосвязаны). Таким образом, поток свойства 5 складывается

из потока, обусловленного средней скоростью Qi = pSw, и тур-

Пульсацию свойства на уровне z можно представить как разность между свойством вихря и среды. Если вихрь пришел с уровня z — / и из пути сохранил свои начальные качества, то

он принес свойство S = S(z — I) и тогда S' = S(z — / ) — S(z), при условии, что на исходном уровне вихрь обладает свойством этого уровня.

Для достаточно малого / —пути смешения S ( 2 — I) можно разложить в ряд

S ( z - l ) = S ( z ) - ^ z i

Втаком случае

Вобщем случае следует считать, что / может быть различной для разных субстанций, ибо оно само зависит от градиента суб­ станции (действительно, вихрь, первоначально обладающий ко­ личеством субстанции S, должен пройти различное расстояние, чтобы смешаться с окружающей средой по содержанию количе­ ства движения, тепла или влаги, в зависимости от градиента этих субстанций). С учетом этого формулу для турбулентного потока субстанции S следует записать в виде

(2.3.8)

26

Из физических соображений можно считать, что w'-l, явля­ ется характеристикой турбулентного перемешивания, ее обоз­ начают через к, и называют коэффициентом турбулентности для потока субстанции S

В таком случае турбулентные потоки количества движения, тепла и влаги можно выразить так:

§ 4. Факторы, определяющие интенсивность турбулентности. Уравнение баланса энергии турбулентности

Обозначим через Е\ энергию турбулентности, возникающую за счет кинетической энергии основного потока. Вихри, образо­ вавшиеся либо из-за обтекания неровностей поверхности, либо благодаря резкому изменению скорости с высотой, перемещают­ ся из слоя в слой. Если плотность окружающей среды отлича­ ется от плотности вихря, то на него начинает действовать сила Архимеда. Обусловленное ею ускорение либо совпадает с на­ правлением движения вихря, увеличивает скорость и запас его энергии, либо направлено в сторону, противоположную движе­

27

перепишем (2.4.2) в виде

W = -J—[c(z) -(z)] dz-dx-dy

или, подставив выражения для векторов скорости и касательно­ го напряжения, получим

При выводе (2.4.3) использовано свойство скалярного произве­

дения двух векторов: і-і = 1 и і • / = О и т. д. Для единицы массы (2.4.3) примет вид

Работа, совершаемая турбулентными напряжениями частич­ но идет на изменение кинетической энергии среднего движения, а частично переходит в кинетическую энергию турбулентных пульсаций.

Определим интересующую нас энергию турбулентности, воз­ никающую за счет кинетической энергии среднего потока, как разность между работой, совершаемой турбулентными напряже­ ниями, и той ее частью, которая идет на изменение кинетиче­ ской энергии среднего движения. Последнюю выразим из урав­ нения баланса кинетической энергии среднего движения, кото­ рое получается, если уравнения движения

29