книги из ГПНТБ / Мельникова И.И. Динамическая метеорология учеб. пособие для океанологов

Уравнение состояния

Атмосферу можно рассматривать как термодинамическую систему, внутреннее состояние которой однозначно определяется только'двумя параметрами. Следовательно, в общем виде урав­ нение состояния можно записать как

Бойля-Мариотта и Гей-Люссака, которые достаточно хорошо вы­ полняются в реальной атмосфере. Согласно первому из них, для

РРо

Втаком случае на основании (2.1.11)

Согласно второму закону, при постоянном объеме (или для не­ изменной массы при постоянной плотности) давление является линейной функцией температуры

10

Уравнение притока тепла

Уравнение притока тепла является следствием закона со­ хранения энергии. Любую систему можно характеризовать тре­

мосферы наиболее важным видом потенциальной энергии явля­ ется гравитационная потенциальная энергия, связанная с полем силы тяжести; в н у т р е н н е й Ек, представляющей собой кине­ тическую и потенциальную энергию молекул.

Закон сохранения энергии утверждает, что если система не подверждена внешним воздействиям (замкнутая система), то сумма всех видов энергии в ней остается постоянной, хотя один вид энергии может превращаться в другой. В более общем слу­ чае система может подвергаться..внешним воздействиям (незам­ кнутая система): к системе извне может поступать тепло или над системой может совершаться работа. При этом, согласно

Таким образом, для этого частного случая, в котором имеют место лишь преобразования механических видов энергии, закон сохранения энергии является следствием уравнения движения.

Однако это справедливо только для чисто механических про­ цессов. Для того чтобы это показать, рассмотрим несколько бо­ лее сложный пример.

Предположим, что на рассмотренную выше массу воздуха кроме силы тяжести действует сила трения, пропорциональная скорости. Тогда из уравнения движения

12

dw , m ~d T --=-m g—kw,

где k>0, следует, что

d I mzv'2 -j- mgz ) — —kw2, dt{ 2

T, e. механическая энергия системы убывает. Оставаясь в рам­ ках уравнений динамики, мы должны были бы прийти к выводу о том, что в природе происходят процессы, в которых энергия не сохраняется. Однако, имея в виду сформулированный выше за­ кон срхранения энергии, естественно предположить, что в рас­ сматриваемом процессе механическая энергия превращается во внутреннюю так, что

T. e.

—9— -r-mgz+E,,—const.

Таким образом, и в этом случае полная энергия системы сохраняется.

Заметим, что для получения последнего уравнения одних уравнений движения было недостаточно, и мы использовали за­ кон сохранения энергии как некий новый принцип. В обоих при­ мерах мы рассматривали замкнутую систему. ,

Работа внешних сил складывается из трех частей:

а) работы сил, имеющих потенциал, переходящей .в кинети­ ческую и потенциальную энергию

13

dEK . dEB.

8Ф, = dt + dt '

б) работы сил трения, переходящей в тепло

6Ф2 = е,

где е — диссипация;

в) работы остальных сил (сжатия, расширения, электроста­ тических и т. д.). Если рассматривать только силы сжатия (рас­ ширения), то

Подставив 6Ф в выражение для закона сохранения энергии, по­ лучим

Соотношение (2.1.1-7) называется уравнением первого начала термодинамики, которое утверждает, что изменение внутренней энергии фиксированной массы за единицу времени складывается из притока тепла извне, потери механической энергии из-за тре­ ния и работы сжатия (расширения).

Диссипация энергии играет заметную роль в общем балансе кинетической энергии атмосферы. Однако изменения внутрен­ ней энергии воздуха за счет диссипации обычно малы по срав­ нению с изменениями, вызванными притоком тепла и работой сил сжатия, поэтому в динамической метеорологии принято пре­ небрегать величиной е в уравнении (2.1.17).

На основании кинетической теории газов можно предпола­ гать, что внутренняя энергия связана с внутренними параметра­ ми газа: температурой и давлением или температурой и объе­ мом

Ев = Еа(Т,'Ѵ),

тогда

идеальных газов эта частная производная точно равна 0) и, сле­ довательно, внутренняя энергия зависит только от температуры

14

I

дЕ, dE,. — . d r

дТ '

Если считать, что Е в выражена в тепловых единицах, и пренеб­ речь е, то (2.1.17) примет вид:

количество тепла, которое нужно подвести, чтобы изменить тем­ пературу на 1°, и имеет смысл удельной теплоемкости при пос­ тоянном объеме с ѵ -С учетом этого первое начало термодинами­ ки после умножения на сit запишется как

Если в уравнении состояния заменить р на 1 / V7 и продифферен­ цировать его,тогда

pdV=RdT — Vdp

и (2.1.18) с учетом этого выражения примет вид dQ=(c + AR)dT — А - V ■dp.

Видно, что при неизменном давлении {dp —0) cv+AR = -^j,

т. е. имеет смысл удельной теплоемкости при постоянном давле­ нии

cp=cv-f-AR. - (2.1.19)

В.таком случае (2.1.18) запишется в форме

Уравнения (2.1.18) и (2.1.20) называются уравнениями, при­ тока тепла; входящий в них член dQ — приток тепла — может быть представлен как

где 8ф, £т, ел, ем— соответственно фазовый, турбулентный, лу­ чистый и молекулярный притоки тепла.

Уравнение притока влаги

По аналогии с полученным ранее уравнением притока тепла можно записать уравнение притока влаги

15

вый, е9м — молекулярный притоки влаги.

Система уравнений (2.1.5), (2.1.6), (2.1.13), (2.1.20), (2.1.22),

дополненная граничными условиями, позволяет в принципе оп­ ределить все интересующие нас метеорологические характерис­ тики: и, V, w, р, р, Т/q, если известны выражения для сил в (2.1.5) и притоков тепла и влаги в (2.1.20) и (2.1.22) и если в этих выражениях не содержатся новые неизвестные.

§ 2. Силы, действующие в атмосфере

Силы, действующие в атмосфере на некоторый объем т, мож­ но разделить на .два класса:

1) массовые — силы, действующие на каждый элемент объе­ ма независимо от того, существуют или нет рядом с объемом другие части жидкости. Примером массовой силы является сила тяжести и отклоняющая сила вращения Земли;

2) поверхностные — силы взаимодействия между объемом т и окружающей средой. Примером поверхностной силы является сила барического градиента и сила трения.

Сила тяжести

Сила тяжести складывается из силы гравитационного при­ тяжения Земли и центробежной силы. Первая сила направлена вдоль радиуса к центру Земли и для единицы массы воздуха равна

(2.2. 1)

где М — масса Земли, R — радиус Земли, k — универсальная постоянная тяготения (6,67 • 10"s дин/см2• г2) .

Центробежная сила возникает из-за вращения Земли и на­ правлена вдоль радиуса широтного круга от оси вращения, для единицы массы воздуха она выражается как

(2.2.2)

(так как ѵ — сог), где со — угловая скорость вращения Земли, г —-радиус широтного круга.

16

Рис. 2. Векторная схема силы тяготения, центробежной силы и силы тяжести.

Сила тяжести определяется как равнодействующая Gn и F„. Для единицы массы воздуха она равна

ции силы тяжести на координатные оси выражаются через три­ гонометрические функции угла наклона поверхности Земли по отношению к уровенной поверхности.

к единице массы, или ускорение силы тяжести составляет: на полюсе 983,2 см/сек2, на 45° 980,6 см/сек2, на экваторе

978,0 см/сек2.

В пределах исследуемой в метеорологии части атмосферы за­ висимостью силы тяжести от высоты можно обычно пренебречь, так как высота этой части мала по сравнению с радиусом Земли.

Отклоняющая сила вращения Земли (сила Кориолиса)

Отклоняющая сила вращения Земли представляет дополни­ тельную инерционную силу, действующую на частичку воздуха, движущуюся относительно поверхности Земли. Сила Кориолиса

С другой стороны, для равномерно-ускоренного движения

A A ^ ^ a - i d t f ,

где а — ускорение за счет вращения Земли или ускорение Ко­ риолиса. -

Из сравнения выражений для АА\ получаем

Следовательно, сила Кориолиса, отнесенная к единице массы, равна

В более общем случае силу Кориолиса, действующую на еди­ ницу массы, можно представить как

—^ —> —> —у —>

К—2 [ с Х Ч —2 (ѵ u>2—w wy) /-f-2 (w шх — и tu.)y-j-2 («-«у—v шД k,

где и, V, w — проекции скорости ветра; w х , ну а>г — проекции

вектора угловой скорости вращения Земли w.

На формирование горизонтальных атмосферных движений главное-влияние оказывает ок, так как именно эта составляю­

щая о) определяет проекции силы Кориолиса в горизонтальной

18