книги из ГПНТБ / Мельникова И.И. Динамическая метеорология учеб. пособие для океанологов
.pdfОкончательные выражения для профилей ветра, чисто дрей фового течения (« 2 = 0 * 2 =0). коэффициентов турбулентности, кинетической энергии турбулентности и диссипации можно представить в следующем виде:
•
G ~ L 3 ЯІ (znl) |
3 ЛІ (•‘‘On) ~ |
||
<5 |
|
|
|
II |
rl nl(znl)"T Ті/іі(20я)т |
||
|
|||
|
М гг) |
|
ZO |
|
G |
|
|
|
м, (г2) |
|
28 ^ ^ л*)> |
|
~~G |
|
|
|
М *і) |
3,18 |
|
|
sin |
10u («Z)! Ai(*„i). |
|
|
|
|
|
*,(2д)= 0,745-10я-/*■&„, (гл1), ^ (2 2)=0,970-103-х2-.^2(2л2);
s2 (z2) = с Ѵ(г»)
k2(z2)
(6.1.15)
(6.1.16)
(6.1.17)
(6.1.18)
(6.1.19)
Некоторые результаты расчета по рассмотренной модели по казаны на рис. 40, 41.
Из рис. 40 видно существование левого поворота ветра в слое от поверхности до высоты нескольких метров; выше наблюда ется обычный правый поворот ветра. При сильной устойчивой стратификации скорость ветра достигает скорости геострофиче ского уже на высотах около 100 м. С ростом неустойчивости в атмосфере (ро<0) увеличивается только модуль скорости тече ния, а направление остается достоянным. Увеличение устойчи вости в море вызывает увеличение угла поворота течения.
На рис, 41 показана зависимость геострофического коэффи-
циента дрейфа (c0/G) от а= — 1— и стратификации р0Коэф-
ft»
фициент дрейфа для сильной устойчивой стратификации в слое
НО
Рис. -М. Голографы скорости ветра и течения (■•?-■42,5: G=Mjcez, а•-=0,05). Цифры у кривых—высоты и глубины в метрах.
Значения р0 1 1>- •' / — 0 и 0; 2 — (— 50) и 0; 3 — 0 и 5; 4 —(—10) н S; 5 - О и 10; 6— 50 и 10; 7 — 0 и 50;8 — 50 и 50.
трения моря растет с ростом геострофического ветра и широты,
б остальных случаях коэффициент дрейфа |
убывает с ростом G |
и ф. Для данной скорости ветра и широты |
Co/G увеличивается |
Рис. 41. |
Геострофический коэффициент дрейфа как функция а и на |
|||
значения |
|Хо |
и ;і : / — (— 5) |
и 50; 2 |
— 0 и 50; 3— ( —50) и 0; 4 — ( —5) |
и 10: я — (— 10) |
и 5; в — (— 5) |
и 5; 7 |
— ( —5) и 0; 8 —0 и 5; 9 —0 и о; |
|
10— 50 и 10. |
|
|
|
|
с ростом неустойчивости в пограничном слое атмосферы и ус тойчивости в слое трения моря. Результаты расчета удовлетво рительно согласуются с наблюдениями.
На рис 42. показано сравнение теоретического распределе ния диссипации в пограничном слое моря с наблюдениями Стю арта. Согласование достаточно хорошее и подтверждает пра вильность теории.
111
|
|
|
Выше была |
рассмотрена |
|||||||||
£ Югс м ?/ с е к * |
|
полная |
постановка |
задачи |
о |
||||||||
|
|
динамическом взаимодействии |
|||||||||||
|
|
пограничных слоев |
атмосферы |
||||||||||
|
|
и моря. |
Она отражает |
совре |
|||||||||
|
|
менный подход к теории взаи |
|||||||||||
|
|
модействия океана и атмосфе |
|||||||||||
|
|
ры. |
Универсальные |
|
функции |
||||||||
|
|
Ът, c'nl-kn-n |
bni, |
|
|
|
приво |
||||||
|
|
дятся в виде таблиц в [11] толь |
|||||||||||
|
|
ко для |
роі = |
0 |
II «1 |
= |
<Х2 = |
2-0. |
|||||
|
|
а также |
в [1] для |
он = |
иг = |
2,0 |
|||||||
Рис. 42. Сравнение теоретического н |
и |
;і0,- = |
± 100, |
± |
80, |
± |
60, |
± |
|||||
экспериментального |
(по данным Стю |
± |
50, |
± |
40, |
± |
20, |
±10, |
± |
5, |
|||
арта) распределения скорости дисси |
± |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пации с |
глубиной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для некоторых практических целей может представлять ин терес приближенная оценка одних динамических характеристик пограничных слоев при заданных других характеристиках, из меряемых или рассчитываемых независимо. В качестве просто го примера рассмотрим задачу о ветровых течениях.
§ 2. Ветровые течения
Введем понятие среднего коэффициента турбулентности k t и будем считать, что он известен. Переходя к новым переменным (6.1.11), запишем уравнение движения (6.1.1) и граничные усло вия (6.1.7) — (6.1.9) в виде
(П и _ _
ki |
d2 vi |
- — 2ш* ( « i |
- - |
ugi) = 0; |
||
dz? |
||||||
|
|
|
|
|
||
|
г(-*со, Ui ~Ugi> |
Vi —Vg, |
||||
|
zi- 0 , u t= o , |
p I *il о |
||||
pj |
dux |
|
■^ 2 ‘ p 2 |
du, |
||
~~dzx |
|
dz2 |
||||
|
|
= |
0 |
|
H=0 |
|
|
dvi |
|
== — • p 2 * |
dv, |
||
\ ° 1 |
dzx |
|
dzo |
|||
|
z\= 0 |
|
Z 2 = 0 |
|||
(6.2. 1)
( 6.2. 2)
(6.2.3)
(6.2.4)
112
Решение системы (6.2.1) при граничных условиях (6.2.2) — (6.2.3) известно из теории пограничного слоя над неподвижной поверхностью (спираль Экмана). Для произвольного направле ния осей координат (Ох, Оу) его можно записать в виде
|
|
1 |
|
u iz i |
|
|
1 |
|
1^ |
— е |
|
C O S Я, 3,- -1 |
; s i n я , - г / |
*у |
II |
** |
К ; |
|||
1 |
|
1 |
— е |
- я . |
|
.■■sin |
|
II |
оч2 |
C O S Я, Z; |
|||
2 |
К ; |
|||||
или, перейдя к прежним переменным, получим |
||||||
Ui—Ugi— с |
—аі zi |
|
|
i'0)sin a, 2<]> |
||
|
|
\(ugi—uо) cos я,- |
||||
Ѵі=ѵві - е |
at~‘\(vel—v u) cos cit zi (ttgi |
w0) sina^,-], |
||||
где |
|
|
|
|
|
|
ar
(6.2.5)
( 6. 2.6)
Формулы (6.2.6) при i = l определяют вертикальный профиль скорости ветра, а при г = 2 — вертикальный профиль ветровых течений. Для того, чтобы воспользоваться ими, нужно опреде лить компоненты скорости поверхностного течения «о и с’о- Используем для этого граничное условие (6.2.4).
Продифференцируем (6.2.5) по г,- и найдем значения про
изводных ПрИ Z ;--0. |
|
|
dui |
(agi- v gi) |
|
|
||
|
-О |
|
dVi |
(6.2.7) |
|
= а< (%+«*/)• |
||
dZi |
||
-о |
||
|
С учетом (6.2.7) соотношения (6.2.4) примут следующий вид:
k \ p \ Ü \ ( u Е \ — и о — Г Д і + Уо) = — ^ 2 Р 2 0 2 ( и g 2 ---- |
Mo — V + t ’o) 1 |
k\p\Cl\(Vg\ — t'o+ Ug1 — Mo) = —k2p2a2(Ug 2 — Vo + U g2 — Mo).
Сгруппируем члены c Mo и Уо; тогда
—v 0 (kxр, я, + к, р2 я2) + м„ (kx?, я, -f- k2р2 а 2) = Pi a t (ugl —
—t ^ j ) - 4 - k2p 2 a 2 ( « g .> — г ^ 2 ) ;
v0(^i p.i « 1 + h P2 a2) + u0 (kt p, ax -f- k2p,«,) = kxpj «j (м^1 -f ^gl) -f
+ k 2p2a.2(tig2 + v g2).
Складывая и вычитая эти уравнения, а также деля числи тель и знаменатель на ^іріОі, получаем
8 |
113 |
u gl_ - r b U g %
\ + b ’
( 6. 2. 8)
vgX+ bvS2 1 + b
где b = ^ y h
Формулы (6.2.6) и (6.2.8) определяют профили ветрового те чения и ветра как функции высоты (глубины), скорости геострофического ветра, коэффициентов турбулентности в море и атмо сфере, плотности воздуха и воды, широты и, наконец, скорости геоетрофического течения в море. Напомним, какими факторами определяется геострофическое течение в море. Выпишем урав нение статики для моря
dp2
dZa =Psg
и проинтегрируем его от —о до г2 (о — ордината свободной по верхности.)
Рг
где ра — атмосферное давление.
Продифференцируем полученное выражение по произвольно му горизонтальному направлению 5 (х или у). Тогда
dpj _ |
dPa |
, 7 ф 2 |
, . |
dz |
|
dS ~ |
~dS |
r )~ds |
+ |
dS’ |
(6.2.9) |
где ро — плотность воды на свободной поверхности (г = —а).
Разделив левую и правую часть (6.2.9) на 2шг *р2> получим выражение для геоетрофического течения
G,= |
dfh __ |
1 |
dp» , |
*2 d[‘2 |
dz |
|
2чі^, 02 dS |
2w, p.) |
dS |
dS |
dz..2-p h-g- dS |
(6.2.10) |
из которого видно, что геострофическое течение определяется горизонтальным градиентом атмосферного давления, наклоном свободной поверхности и бароклинностыо (горизонтальным гра диентом плотности). Гак как в рассмотренной выше модели ис-
,пользовалось предположение о горизонтальной однородности слоя трения моря, то вторым числом в (6.2.10) можно пренеб речь и тогда геострофическое течение не зависит от глубины
114
(баротропное море), потому что в приближении Буссинеска можно считать, что р2, входящее в виде множителя в правую часть (6.2.10), не зависит от глубины.
Ис'гюдьзуем теперь полученное решение для определения дрейфа льда. .
§ 3. Дрейф ледяных полей
Рассмотрим установившийся дрейф однородного но толщине льда, вдали от берегов, при однородном поле ветра. Если обоз начить через и0 и ѵ0 компоненты вектора скорости движения льда, то для указанных условий du0/d( = dv0ldt — 0, и уравнения движения льда можно записать в виде условия равновесия про екций действующих сил на оси Ох и Оу.
S /y = 0 , |
ZFy=0. |
(6.3. Г) |
Определим силы, действующие на льдину с единичным попе речным сечением и высотой h (рис. 43). На верхнюю поверх-
2/
А
нооть льда действует сила турбулентного касательного напряже ния. Отнесенная к единице площади, эта сила равна
- -О к |
■ dU' |
I |
'йЗГ“ ‘1 |
Л , |
Д о - |
(6.3.2)
1 dz lgi Lo
На нижнюю поверхность льда действует сила турбулентного касательного напряжения со стороны воды, іуггорая, как правн-
8* |
115 |
ло, препятствует вызванному ветром движению льда. Для еди
ницы площади эта сила равна
(ІИ2
р2 ^2 ' dz^ |
I» » |
“ -а г*-- О |
|
d v % |
(6.3.3) |
|
|
--Ра ^2'
1 2V=0
(начало координат расположим для оси г] на верхней, а для оси г2 на нижней поверхности льда).
Так как в общем случае под влиянием ветра должен возни кать наклон' свободной поверхности, то льдина расположится под некоторым утлом к нулевой уровенной поверхности • (невоз мущенной поверхности океана) и сила тяжести будет иметь нор мальную и касательную к поверхности льдины составляющие. Нормальная составляющая силы тяжести уравновешивается си лой Архимеда, а касательная составляющая может быть спроек тирована на оси X и у
t \ x= —mg- sin аѵ- сох а*, *
F.ty= —mg • sin ауcos 3t_v,
где a v и а у — углы наклона льдины вдоль оси х и у.
Из наблюдений известно, что для условий открытого океана
вызванный ветром ,наклон свободной поверхности |
очень |
мал |
|
(около 1 см на |
100 км): Поэтому можно считать, |
что cos«*— |
|
=cos а,,=-1,0, a |
sin « * ~ tg a * |
d~ и |
тогда |
|
|
dx |
|
(6.3.4)
Р
где m= p.,/? — масса льда.
Если рассматривать баротропный океан и пренебречь влия нием горизонтального градиента атмосферного давления, то на основании (6.2.10) выражение (6.3.4) можно переписать в виде ?
FTx= —2i»2-m-vg2> |
(6.3.5) |
|
Ртг=2шг-т-ихп. |
||
|
* Обратим внимание, что в баротропно.м океане при наклоне поверхности
около |
I см на 100 |
км |
d- |
п при скорости |
геострофического |
= 0 (1 0 '4), |
|||||
гетра |
6 = 1 0 м/сек |
dPa |
0(10 4). Однако |
геострофическое |
течение с учетом |
dS |
обоих членов имеет скорость около 1—2 см/сек. Так как в реальных усло виях скорость геострофического течения может быть заметно больше этой величины и так как вклад члена dp;t/dS соответствует реальным условиям,
то им можно пренебречь по сравнению с влиянием других членов,
116
На движущийся лед будет действовать сила Кориолиса, компоненты которой имеют вид
КЗ;----- |
%(liz |
' ^ ‘ |
0> |
|
|
г> |
(6.3.6) |
т ■ио-
К числу сил, определяющих движение льда, следует отнести еще силу лобового сопротивления и силу бокового трения. Для реальных условий силой лобового сопротивления можно пре небречь по сравнению с силами турбулентного трения на верх ней и нижней поверхности льда, так как горизонтальная пло щадь льда много больше вертикального сечения. Скорость дрейфа льда обычно незначительно отличается от скорости те чения, следовательно и силой бокового трения можно прене бречь.
Итак, с учетом выражений для действующих сил перепишем уравнения движения (6.3.1) льда
|
du! |
|
du2. |
|
m(z> 2 — vQ)—0, |
|
Pi |
dz j |
+ P2 k-. dz., |
|
|||
|
* i - 0 |
|
|
|
(6.3.7) |
|
|
|
|
du.. |
|
||
o k |
— 1 |
~f" p2 k'i |
-j-2<o, m («?2—w0) = 0. |
|||
dz^ |
||||||
?1Ä1 |
dz, |
г.,=о |
|
|||
Очевидно, |
*1 о |
|
|
уравнение (6.3.7) вырожда |
||
что при tn —0 |
(нет льда) |
|||||
ется в обычное условие непрерывности потоков количества дви
жения |
(6.2.4). |
(6І3.7) используем |
||
Для |
определения первых двух членов в |
|||
решение для пограничных слоев атмосферы |
и океана |
(6.2.7). |
||
Тогда |
|
|
|
|
|
k i ‘Pi аі (Ugi—‘«и— Vgi+VoY>k -i Ps a2(Uga— u0— |
|
|
|
|
- ѵ В2 + ѵ ч )— '2°>-- m ( ^ 2— r^ o ) = 0 , |
|
(Q 3 8) |
|
|
|
|
||
|
^ rP i (^гі“ г'о"НДо—«о)+^2р->‘С (^ 2 —г'0+ |
V |
’ |
|
- f ug%—и0) -г 2іог m (мІГ, —M0)=0.
Направим ось x вдоль геострофического ветра; в таком слу чае п^і = 0, и 1= G. Поскольку из наблюдений известно, что скорость дрейфа льда составляет всего несколько процентов от скорости геострофического ветра, то в (6.3.8) можно пренебречь Но и ѵ0 по сравнению с G, и тогда, введя новые переменные:.
Uq= us 2 — wo, vo— v^i — v0, получим
feipiöi-G + fe2p2W2(wo — Уо) — 2оо,тУо = 0,
^ipiöiG-f k Bß2^2 { V q+ Uo) + 2cü* fflUo — 0.
Сгруппируем члены, содержащие и0 и ѵ0, |
|
|
||||
а i' G-\-k2 р2 a.,-uL—v 0 |
(k2p2 «2+ 201* m )~ 0, |
|
|
|||
kY• Pi • a, • ö-f- ^ 2 p2 a 2 • t'o+ « 0 (^ 2 P‘>^o+2«j^ m)—0. |
|
|
||||
Если умножить первое уравнение на |
k2p2а2, а второе |
на |
||||
(k2p2a2 + 2o)zin) |
и сложить их, |
а |
затем |
умножить |
первое |
на |
(£2р2Й2'+2 согт ) |
и вычесть из |
него |
второе |
уравнение, |
умножен |
|
ное На k2p2ü2j то
|
|
|
окт |
|
£іМ і |
|
к к м 2 |
|
|
2‘ <огот\2і> |
|
|
|
1 + 1 |
|
|
|
k<2p2Cl2 |
|
|
|
|
|
v n—'2G- |
Äjpjßj |
|
'2шгт.Ѵ1' |
кop2^o |
1 + 1 |
||
|
|
k2P2Яо/ . |
|
|
|
|
Перейдем к прежним переменным и упростим полученные вы ражения
|
|
1+/п Йо |
“» = ^ + 2 0 ' t r l / Т + |
, 2 |
|
|
I |
,1 + да- |
|
|
Р* |
|
|
(6.3.10) |
|
|
т |
® о - Ч > - м - - г і / -г |
г2 |
|
|
||
ё |
р2 Г |
|
1 + 1 + 2га
р2 Соотношения (6.3.10) определяют компоненты скорости
дрейфа льда как функции: скорости геострофического течения, скорости • геострофического ветра, плотности воды и воздуха, коэффи циентов турбулентности в воздухе и воде, массы льда и широты места.
Получим выражение для угла между вектором дрейфа льда и вектором геострофического . ветра (рис. 44). Напомним, что направле-
118