Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

3.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

как ограничена и, в силу теоремы о ограниченной сходимости,

A N	/	M - * « '
С другой стороны,	поскольку		ул.- интеграл есть неубыва
щий функционал, то

Й8 этих соотношений, на основании /8.2/, заключаем, .что для іюбого натурального N

Отсюда вытекает,		что оходится				ряд		= < (•	( А ^	^
а поэтому также ряд Х^ - . , W ^-ѵА^)								/ обратим внимание
на то, что 21 ы= 1		^и-
	Итак, €.			. Учитывая, что,					- почти
ьсвду на Ъ .		, O i ù				«	£ ü O	~ ftu)	« £ 0 0
на основании теоремы о мажорируемой сходимости заключаем,										ч
откуда вытекает,		«то ^ ç L^.(î>)					и, Что имеет Ыесто /8.4/
	8.2, Следствие. Пусть u , 6							(ЗЛ , i»s\,l,...
А.	^ ^ J t o j w r j c j n a y J * Ъ
Если	• f . W »		d	A	<	°°	)	'	6
Если	• f . W »			A		°°	)	'	/О'' /

TOJpja X j t i Uv (.*ï

СХОДИТСЯ

yk - Ji^i^ _ ^W _ 28

Л о к a э a т e л ь с т в о. Функции + „ = I .		u	v
удовлетворяют условиям теоремы 8.1 / Например( в качестве
числа	, из неравенства /Н.2/, можно взять сумму	*
ряда Z.^ = 1	•^^•'^Л ) • Применяя к ним эту теорему, прихо

дим к доказываемому утверндепию.

9. Лемма Фату-В следующей теореме, известной под назва нием леммы Фату, устанавливается простое достаточное условие

уи. - интегрируемости предельной фукции и оценка для ее jx- ин теграла. Подчеркнем, что, в отличие от теорем о мажорируемой и монотонной сходимости, лемма Фату не позволяет делать заключе

ния о возможности перехода к пределу под знаком						у. - интег
рала.
9.1	ï е о р е м а. ^1у_сть ^			Ç. lî>) , ѵ ИД,... .д,
S j ^ U ^ O		у -Jipj4TH_JJCTOyji8 D		при v =	( , 1	-
Предао^ожиМд^что		д -Jiow^cjOÄyjfa Т)
	$ Д * ^ - ^ { 0 О		-		/9.1/
Есш^с^щ^стдует такое *Я. О			,;что ПРИ V -		I Д ,...
			.	.	' /9.2/

Доказательство. Обозначим через то мвожестзо полкой - и- мери в Л) , на котором опредеденн

-81

воѳ функции £ ѵ и выполняется предельное соотношение /9.1/. Для каждого х б.1)0 положим

Тогда, поскольку
то функция с^„	у.	- измеримы на _D		. Из не
равенства 1 о^С*")\^T N 0 o		, Kfe^î)0	/вытекающего из
того, что О^с ^мОіЛ^С ѵ ^		; здесь мы используем суще
ственным образом условие неотрицательности іункции -fѵ					/
следует, что „ é L ^ . CD) .		Очевидно,	при X é_T)0

и в силу /9.1/ и /9.4/, при X uID o

Кроме того, в силу /9.2/, при ^ = 1 Д , • -- •>

а поэтому последовательность ^ о^ѵ | удовлетворяет усло виям теоремы о монотонной сходимости. Применяя эту теорем

находим,	что \ € U ^ СЬ")	и, что выполняется неравенство
/9.3/.
10. Интегрирование по множеству бесконечной меры .
В этом пункте мы распространим теорию				j x - интеграла н
случай,	когда область интегрирования		Л)	есть произвол
ное	\|л_измеримое ' множество в		W	, не	исключа
случая,	когда^и. ССЛ =	ѵ 0 0 •
10.1.0 пределение. Пусть множества А„ ,					А^,..

-82

попарно не пересекаются и U A ѵ			—	. Коли все мно
жества А ѵ	^-измеримый улЛАѵ "} < оо				при
ѵ = ^Д,.--	, іо сиотема множества				называется
-				множества D .
«Г- j^ejmrajms^HejiHeM '				множества D .
10.й	Лемм а. Пусть. ^ 6 Ю-* — >			ftV	$grj
/и - аШвРІШаЭЛЗНЖ' заданная				у. -міочм^сюду
яр .Т."1	. njejuTojœsm^jiT^				<r	^ J j o j e j i -
HorojmsjtoämiH \ A v		] v T i	MJÎSî?-SïEa		I^іщиция
•Ç	^л. - ^ j £ r ] J ^ 6 } K L J ö ^					A v
и ряд
	«Ç>Q	л
	Z	У				/Ю.1/
сходится. Т^гдад^длп_д2о^гд			yj. •^JiSïgPJMioroj'H^^
J^KOTO^JITO ул.
^\|ечи£м_^а£0}^ния \ Ъ^^-»=\			^шоквства Д)			сходит-
ея^р_яд

л) = л Х>т) 1

и имеет место равенство

/ Отметим, чтоиз сходимости рядов /10.1/ и /10.2/ вытекает абсолютная сходимость рядов в левой и правой части /10.3/ /.

Доказательство. Пусть выполняются уаловия

леммы и пусть A-j= î >		Й Аѵ -, •<і^\-)1)...		, Тогда,	в силу
замечания 4.1, -Ç		является	^	- интегрируемой на
A J	, к, I силу второй части теоремы 4.2 ,				-f является
		- 83-

jx - интегрируемой па J)					, так KÜK ряд
21м=і 5д, Ц^Ам		цакорируется рядом /10.1/. Пола
гая далее С^ѵ ,==	A І (1 В . ѵ .		находим, что система . .
I ^ч^і' s V j-o ' = 1		также	является		о~ - ФИНИТНЫМ
разбиением множества Ï)		. Принимая во внимание счетную
аддитивность	ц. - интеграла и используя известные
свойства рядов с неотрицательными членами, находим
z S ш л и - î x			S,	K i r f u =

ибо

A„= A v л Ь •= A v О (		J
A„= A v л Ь •= A v О (	, В	= L vT. A, ri ß „. =
йі аналогично,
См
З ѵ і — U v = ,	C v v '

Аналогичным способом MOSHO преобразовать левую часть /10,3/ в правую часть этого равенства, поскольку возникающие при этом ряды сходятся абсолютно.

10.3Определение. Функция £ : 1$ 1 —>


заданная	и - почти всюду на "D						, называется
ц - интегрируемоі^на D					если она			и. - инте
грируема на каждом множестве				^	Ъ		, таком, что
uCt>'' )		'и, для		некоторого			s~	- конечного
разбиения ^ А ѵ " \| ѵ = 1			мнокества		Т)		сходится ряд
•	^	* 2	этои случае,			u - интеграл от •£-

функции		I	по множеству 3)					определяется равенством
			[	Ç ели. =		ZL	[	f dM. .
			Э				Аѵ	'		Д0.4/
Отметим, что			однозначность этого определения вытекает из леммы
JO.b.
	10.1		Замечание. Вся теория							уи - интеграла
развитая в предыдущих пунктах,								для случая yu(.D) <«• , оста
ется в силе и тогда, когда yjAî)) =• + °°										, за следующими
исключениями;
		jjL. - измеримая функция,						ограниченная на			,• может
не быть			у. - интегрируемой на' Т1						. Не имеет места
теорема об ограниченной сходимости.-
	Доказательство' несложно и мы его предоставляем читателю.
Ограничимся'лишь~ следующим указанием.
	Если ^ А ѵ			^ = <	-	б~- конечное разбиение множества
3)	, то полагая					U А „ і			мы находим,		что
В< с В ^С...			причем все множества Ъ,,							- измеримы,
/х(.ВѴ)<~			при Ѵ = 4			,	ü	U ^ B ^ -		J b	-
Про последовательность \5i^-«s4								обладающую перечисленными
выше свойствами, говорят, что она исчерпывает множество
/ср. с		замечанием 11.4, § 1/. Легко видеть,								что для каждой
исчерпывающей последовательности								уе,		и каждой
функции		JJ-			і+-	интегрируемой на Д>				,
і		$	$ сІМ =		1І.ѴТѴ\ Ç		U M		•	/10.5/
!		J )		'	V -*>oo			/
/ ибо т В, ,^гч^< )ЬачВ> ,-• }								есть	ff— конечное		покрытие
множества 3>			•	/. Соотношение /10.5/ позволяет выводить

свойства	ц. - интеграла, в случае	дііі)) — -ѵоо	, из
соответствующих свойств этого интеграла, по множеству			конечной
^л. - меры, с помощью предельного перехода.
11	. Сравнение интеграла Лебега с иптеп-ишц J'ni,iana.
Напомним определение интеграла Римана.'llpii mow, ради			простоты,
мы ограничимся функциями одиоі; иеэавнсш.'ой переменной.
Пусть функция Ç '. —* RC		задана и ограничена

/напомним, что интеграл Рииака вводится лишь дли ограниченны

функций/ на конечном промежутке û = ^ x t R * : û - £ x 6 k ^ .
Обозначим через П	произвольное	разбиение промежутка		Л
то есть, такую конечную последовательность точек				,
что а, = х„ <х, < ... < Х ^ _ , <х„,		.	Положимj

• „ « І - ^ С Г Ѵ ^			- ^ П - І М с І ^ ^ І				/11.2/
числа ^ п	и Ç>п				называются, соответсвенно,ии^Щѳй
и верхней суимой Дарбу, отвечающей разбиения П								. Пусть
\^Ѵ^-<=А	" такая последовательность разбиений,							что
гдв S"Cr\W	^ѵмхя U 4	" - X j		4	- ^	. тогда,	для после
довательностей \ "ЬПу\		I	\ ^ пѵ \			, соответствую
щих сумм Дарбу, имеем
Поэтоиу существуют конечныекыепредлыпределыь ^?*#_^К'^--™ -ъv								,
« â ^ ^ v v i & п	причем		-і й S			. Числа -і	н S

-86

ORT от последовательности разбиении Пѵ						и называются,
соответственно, тшш				и Be^>g^jiHTe£p£OTM_fiap6y от			f	в
промежутке Д			. Функция \		называется jywejyjHjy^oJMip
Симону в промежутке Д. , если -і = £>						и, в этом слу
чае число
						/11.4/
называется инт^грмом^шмма функции Ç-						в промежутке		Л .
	11.1	Теорема. SiiS2^S^S^^iSi^5-^îS3^					£
HBM№^njWTj3^^					А =^ \ х. 6 К :
T^MO^_b^jipoM^xyTK(; A				JA
					S Ä * V " .	/11.5/
/ Напомним, что через p-W					мы обозначаем меру Лебега на
	Доказательство. Пусть П					- некоторое
разбиение		промежутка А			И пусть
где ОГУ\^' , t4j''			- те же, что и в /11.1/. Заметим, что Кп и
HI ^^	•4 '	" Ù				на Д
	-- простыеы^.				интегрируемые		функции,
причем
где		и b n		- соответствующие суммы Дарбу /см./11,2//
Пусть ^ Пѵ\-і«і			- последовательность разбиений, удовлетво
ряющая условию /11.3/^. Легко видеть, что

1	1	Э7	х*Д
	-	Э7

.."ï				л
/J*	- почти всюду на				. Следовательно, применяя теорему
о ограниченной сходимости, находим, что функции								К	и H	,
определяемые как пределы
/ в смысле сходимости					рлУ* - почти всюду на			.J)	/
являются		jx.	- интегрируемы на			и /см. /11.6/ /
		A	'		д
где	л,	и	5	соответствующие		интегралы Дарбу,
•"ледовательно,			если Ç		Интегрируема	на Д	, то		есть,
> = Çj ,		то
	$ V s d x =			$ A w y ° = S A u a / ^			/и.?/
	Сч.
и, в частности,			^(.И-\гЫдП = О			Так как	іх'^ - почти
всюду на Д			, Ніх^къо^О , то, на основании теоремы
			что ЦIX)-ІаОО =0				почти В0Ю
6.3, заключаем,			что ЦIX)-ІаОО =0					ДУ
на	&	. Однако,		так как hbo^Çcx- ) ^ Ц(х)					поч
ти всюду на Д				, то функции к		, £	и	H
^.эквивалентны на			Д		, а поэтому ^ £ ^уц.'*'			;
Д	/	Д	/		и из /11.7/ вытекает /11.5/

11.2Замечание. Предлагаем читателю доказать,

что ограниченная на Д

функция -Ç

является интегри

руемой по Риману в этом промежутке, тогда и только тогда,

.ѵігда множество точек разрыва этой функции ^А.^ - пренебр»-

ÄMMO в Д

Простым примером функции интегрируемой по Лебегу, но не

интегрируемой по Рииану может служить характериотичеокая функ

ция J l u <	множества		&евсвх	рациональных точек промежутка
д.	Поскольку все точки промежутка					Д	являются
точками разрыва, то				не интегрируема по Риману» Ввиду
того, что	J l û	o	/*" ~	п Реи ^б Рѳ жи>ш 8 8		^	»иСо
Отметим,		что функция		Ч.	, кваялоь		ие интегрм-
руемой по Риману,			в то же время			г	вввкваяектна

функции интегрируемой по Риману / именно, функции тождественно

равной нулю на Д			/, Однако, существуют /ограниченные/
функции, интегрируемые			по Лебегу, и		эквивалентные функциям,
итерируемым по Риману.
Предлагаем читателю построить такое д						-измеримое
множество	А С Д		, чтодля каждою открытого промежутка
Д' С Д	' < выполняются условия j x M				(A' n А) > 0	*
1 1	и
JUL'-СА'\ А)>О		показать, что характериотичеокая функция
этого множества А				интегрируема по Лебегу,		но не экви
валентна функции, интегрируемой по Риману,
11.3	Замечание. Напомним понятие несобственного
интеграла Римана.
Пусть функция			£	является интегрируемой по Риману
в каждом промежутке		л ' #		\ X £ fêt : а<х< І>'\ , где û.< 4 ' < 4
	Предположим, что существует предел

-89

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ