книги из ГПНТБ / Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций
.pdfВ силу формулы /1.1/, н люооы из этих случаев^иС^)^^
1,2. |
О п р е д е л е н и е , мера Стильтьеса yu. |
, дан |
||
ная формулой /1.1/ |
на промежутках ДС Ш0 |
> *> соответстѵ.ім |
||
о определением 9.2, |
^ 1, порождает меру Лебега - итильтьеоа. з |
|||
данную на |
у. - измеримых подмножествах пространства |
irf • |
||
Эту меру Лебега - Стильтьеса мы обозначим, также как и і
меру Стильтьеса, через |
уд. , или, через |
ц.( X |
u.L |
» |
|||
будем называть^ір^идвзедием^мер ^ |
и |
^ц.х |
|
|
|||
|
Например, |
для любых натуральных п 1 |
и |
огѵ |
, |
||
|
1.П, + 1ПХ1 |
(^Л |
ІЛ,Л |
|
Im) |
|
|
ух |
~ / |
* |
' ГЛе |
|
^ |
обозначает |
|
меру Лебега в |
й. |
/ см.п.13, § |
1 |
/ . |
|
, |
|
1.3.3амечание. Нетрудно видеть, что произведение
мер ассоциативно, то есть, |
|
|
|
|
|
|
'. |
||||
Это позволяет опускать скобки в выракенипх |
вида j |
^ |
|
, X ...X |
|||||||
|
|
! где j x , |
^ ... 1 |
|
k |
- произвольные |
меры |
||||
Лебега - Стильтьеса} произведение u,X |
...)<u.R |
определяется, |
|||||||||
как обычно, по индукции. |
|
|
^ |
|
|
|
|
||||
Например |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. (."О |
, іо |
с-и-О |
to |
ы |
,, , . |
|||||
где |
. Сі\ |
|
•'' гг»,і':Г:^Э |
(„, • |
- мера |
||||||
М- |
|
- мера Лебега в |
к |
|
, а д |
|
|
||||
|
/ |
trv<n |
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
Лебега в ІН . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Отметим, |
что произведение |
мер, вообще гоиоря, |
|
некоммута |
||||||
тивно, |
т*е. равенствоja, |
= |
Ц ^ Х Д , |
не обязано |
выполняйся |
||||||
|
1.4 |
Л е м и a.JlïSib |
A.CÜl, |
, АхСІЙг |
|
|
, .и_ |
||||
иоть |
|
|
А * |
А, х |
А*. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д.*/ |
||||||
- jBejpjcHHe меры, ^ітвеча-
-100'
-юще_ие_р_йм f \ ' JH.
|
|
(АЛ |
J U / ( А Л . • /і.б/ |
|
доказательство. Если промежутки сю |
||||
|
покрывают множество А, |
|
||
то промежутки £>. •= Д, |
X Д 1 |
к Д = 4,1,-" , |
||
|
I X X |
а . |
обратно, еолИ промежут |
|
покрывают |
множество А =A А |
, А оА |
|
|
ки Д("lt|t1 |
С ІЙ0 , кД |
покрывают иножество А ~ |
||
- А, X Aj. и Д С < ' и ^ Л Г' X Д 1 " , то промежутка Л
Тj ^ покрывают множество А^', ja | ,ÎL
Следовательно, наше утверждение вытекает из определения верхней
меры /8.1/. • |
|
|
• |
|
|
|
|
1.5, Предложение. ,Пусть А ( |
|
A l |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
i t o r * |
- |
HjäujjpjiHoe^np^jtpj^^ |
|
|
|
|
||
дусть U |
X |
" |
. Тогда множество A ft |
X О |
|||
|
|
|
' ^-^— |
ѵ ^ - — ^ |
I |
|
|
являетоя |
lu. - n^ymimj^o^^ |
|
|
щ0 |
™ |
||
. ^цЛМ - ( ^ , х ^ М М - ^ М У ^ І Ь і ) |
|
/1.6/ |
|||||
Доказательство, Предположим» что множества |
|||||||
А| и |
А^ ограничены и содержатся, соответственно, в про- |
||||||
менутках |
Д, С |
^ |
С |
. |
Тогда А = А ( |
X |
дС |
С Д ^ Д. X Д„ |
введем обозначения A ^ А ^ Д |
|
А , ь = |
||||
=• Д ѵ А , |
, А г с = |
|
А ^ . |
|
.мыяитеи |
|
|
= ( A , - * A ^ u l A , x A , . t ) v i |
LA ' X А,.) о (А,схАЛ |
||||||
откуда |
|
|
|
. |
|
|
|
А5 = ( A . x A ^ l u ( A ^ X A ^ L K A ^ X A f ) .
-101
Далее, принимая во внимание полуаллитпшюсть верхней меры и
лемму 1.5, получаем
Так как, по условию, множества А, и |
измеримы отно |
сительно соответствующих мер, то |
|
Учитывая / Ы / и /1.5/, это можно переписать в виде
JUL* (А) + |
д Ч А Ч ^ и Ы . |
lax как A u А°" = А |
, то имеет такие место противопо |
ложное неравенство, откуда, на основании замечания С.4, § 1,
іаключйем, что множество А |
|
Ц- измеримо. Поскольку |
||||
мера лебега - Стильтьеса Д |
есть сужение верхней меры д |
|||||
на клаос |
и |
измеримых множеств, то /1:6/ вытекает из |
||||
/1.5/. . |
|
|
|
|
|
|
|
Распространение доказательства на случай неограниченных |
|||||
множеств А, |
и |
AJL |
предоставляем читателю. |
|||
|
Е. строение j x t X |
- измеримых множеств^ Пусть уи^- |
||||
- мера лебега - Стильтьеса в Ift^ |
ІЙ J |
и пусть и. = |
||||
— |
У. Цд_4 |
' Ь атом пункте мы исследуеь строение ' ц. - и |
||||
- |
102 . - |
/ |
меримых ішозкеотл А < - — [j^ |
X |
и предотавляем меру |
|
U. в виде некоторого |
uv |
- интегралр; а также в виде |
|
некоторого |
U, - интеграла. |
|
|
.J 0 |
; л о н и е. Пусть |
||
п р е д и |
|
|
|
•и ^° |
& ,,vg.> |
|
|
» ' Рис.2.
MHO:аоства A» |
и |
A V |
называются сечениями множества |
Д, отвечающими, соответственно, значению х„ "первой"
координаты и, значению ^ |
|
"второй" координаты. Обратим |
|||
внимание, |
что п. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
для любых |
ХоЬ^., |
и iLo t l f t ^ |
|
/см.рис. |
X |
/. |
Мюжество |
|
|
|
|
|
называется nejgpji^MO^KHHeli |
множества А |
£ 1Йt |
, а множество |
||
называется его вюрді5^тгоодкЦией. |
|
|
|
||
Очевидно, что •ѵір, А |
есть множество тех я ( І | |
||||
для которых существует такое |
|
|
, что ( х ^ б А. |
||
|
. - |
Юз |
- |
|
|
Аналогично, TV-JJJA |
состоит ив таких ^ е. fîï^ , для ко |
|||||
торых |
существует такоеx f e f i l , |
> что (, * , ^ ) €. А . |
||||
|
2,2.П редложение. Пусть |
Jjl=Jx |
X M, |
|||
а^сті |
А С IQ. |
- произвольное |
|
-измеримое иноже- |
||
іщо4ів^тва^дочек Я 6 |
, А |
^сечение |
А^ |
является |
||
к,- измеримым подмножеством пространства ІѴ? . |
||||||
|
|
|
|
|
|
/2.1/ |
|
|
),А) .нддяедсп |
--jBoîaBBRjf |
|||
|
|
|
_у 1 |
|
|
|
_ejoJ^H^j(HjD3e^TBe |
А . |
|
|
|
||
|
= S / Ч ^ Л ' И х ) • |
|
/2.2/ |
|||
|
|
|
||||
1 Пенсиям символ ^ |
f»»l^») M.,'(GI*) |
Напомним, что д -ин- |
||||
іеграл функции \ |
|
|
мы уоловились обозна- |
|||
по множеству __р |
|
|||||
чать черев S Ç < ^ |
. Однако, в некоторых случаях удобны и |
|||||
другие обоамаченкя. Предположим, |
что нам дано,что функция Ç |
|||||
арвнямаат a »очі» x t î > |
значение ючхі |
, где ur неко |
||||
торая конкретная последовательность действии /например, х І.Щ
ж u r ü O |
=» * Ц |
/• Тогда, вместо ^ ^ / ^ можно |
паса» |
V^UK*">/х(Д*} |
,что позволяет избежать'введения |
опецмального ояиаолв для обозначения подынтегральной функции
/как напрііар а выражении S^* (Atn'V д |
/, очевидно, в ві* |
||||||
ражвни* |
^* |
4 |
* |
11 |
'* |
букву, ж можно заменить любой другой |
|
буквой, |
та/<wo, яаарямар, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
- • 104 ' -
^aoroj^wa^^jioneK |
\^ еллр ^ A |
£еДёШС? |
AU |
.является |
|||
^ция Ц> |
» oijjje^gmieua^c^^Tjiojie^cw |
|
|
||||
|
|
= |
|
( А Ъ ) |
|
|
./а.а/. |
руѳмо^ііа^ішкестве ' Л ^ ^ А |
д_ |
|
|
|
|||
г |
|
г |
|
|
|
|
|
• |
с |
; |
, |
, |
' |
/«.4/ |
|
Доказательство. Для удобства излояения, |
|||||||
доказательство разобьем на несколько этапов. |
|
||||||
оі) Рассмотрим сначала случай, когда |
А |
есть |
|||||
элементарное множество |
в |
R„ |
. Тогда', в силу следствия |
||||
7.и, § 1, |
А |
можно представить в виде |
конечного объединен |
||||
ііип попарно непересекающихся промежутков. Следовательно, возмож но также представление вида
А = [ Д , Х І А и о . . . ^ Л и | ^ и . . .
где іі^ |
• ) • • - , Лк |
- попарно непересекающиеся промежутки |
|
В |
, в |
) Д^і |
- попарно непересе |
кающиеся промежутки в |
Ій^ , - b * t i ^ ; |
,1с .Мы инеем |
|
А..= ;
гЗ^ ^уалл. X 6 ISt, \ ол|)4 А , а поегожу
105
0 "n-jb^- |
* б ІЙ| ^ ^ р , А . |
|
Следовательно, ц> |
есть простая |
ь - интегрируемая |
функция и |
|
|
ц |
|
|
Отсюда, в силу /1Л/
или, в силу аддитивности меры уи. ,
И, в рассматриваемом случае, теорема доказана для сечений А
Для сечений |
доказательство аналогично. |
|
дЛ Рассмотрим |
теперь случай, когда множество' А |
ес |
очетное объединение неубываюцей последовательности множеств *о eotb,
A w , |
c A l t V . - C A ^ c , A = Ü A w , |
||
ИДИ, А |
во» счетное пересечение невоэраотающвН послодова- |
||
тельноети нножеотв Из |
, то есть, |
|
|
црвчвм, Bps иножеотва Л |
и JÖ ' |
таковы, что для них д |
|
8ывібНое утверждение верно. Покажем, |
что, в этом случае, док |
||
-106
ваеыое утверждение верно также для множества А |
« При атом |
||||
мы ограничимся сечениями А |
\ |
для сечений А ^ |
оно дока |
||
зывается аналогично» Кроме того, |
мы ограничимся рассмотрение)! |
||||
случая, когда А ~ П B>W^ |
. так как случай A - ^JA "л |
||||
рассматривается аналогично. |
|
|
|
||
Положим |
ехл =І |
(. Е^і. ) , х е й , ѵ = 4 д , . . . > |
|||
по условию, |
является |
и, - интегрируемой функцией |
|||
на ft, |
,и ул(В |
с ѵ ) Ы ^ |
Ч ѵ |
a^L, V = 1,4,-. /2.5/ |
|
/ Подчеркнем, что последний интеграл беротся фактически по мно
жеству 'ѵчр^Ъ1"1 |
: tue |
этого множества подынтегральная функ |
|
ция равна.нулю /. Однако, так как |
эВи Ъ_ > k , to В"» ^ |
||
для каждого ж & Ич. • |
и, следовательно, |
||
|
|
|
/в.в/ |
Поокольку A < i B W ) |
с, * |
, то, в силу /8»5/, |
|
В силу /2.6/, /2.7/ й теоремы о монотонной сходимости /еіиПів,
§ 3/, |
^ ( - почти всюду на |
ft, |
предел |
|
|
|
||
|
Ч> 0 Сх)^ A ù m Ц>ѵ U ) |
|
|
|
|
|
||
являетоя конечным, а функции |
4>„ |
является • |
и( - Ийігвг*1 |
|||||
рируемой |
на Й,. |
и S R 4 e d / « . - . |
|
^ |
^ - |
f t |
. ^ i ; |
|
Однако, так как f\~ |
О^Ъ^. |
|
|
|
W |
|
|
|
, то |
|
В ' x |
|
|
||||
и в силу замечания 9.7j § І, ч>0 IX) » |
ipj W) |
=» Ц>С*1, |
||||||
где ЧСхѴ ^ / нСА^ |
. , а также ^ ( A ) = Ji*H jü. (В1 |
"'). |
||||||
Подчеркнем, что Дх |
является ' |
|
^'"P"10*' *ИЙ |
|
||||
всех 'х |
, для которых *' ^ |
- измеримы вое множества |
||||||
10?
î> " X |
I и |
еоіь, |
jj^^- почт» всюду il |
[R^ |
/ напомним, |
||
что счетное пересечение множеств полной |
у*. |
- меры есть |
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
кнокество |
полноЛ |
^ - меры / и ціункция Ц. |
является' |
||||
Д., - интегрируемой в |
R, |
, как |
эквилентная функция Цв |
||||
а силу /2.7/ |
и /2.8/ ииеем |
|
|
|
|
||
что и требовалось доказать. |
|
|
|
||||
•jf") покажем теперь, |
что для люоого |
уи. - измеримого |
|||||
множества |
А |
существует |
такое |
ju. - измеримое множест |
|||
во А' |
, что А с. А |
, yü. (.АУ= yj. {AT ) |
и для А |
||||
доказываемое утверждение верно. С этой целью заметим, что в соответствии о определением /МЛ/, для каздого натурального R
найдется таков нножество |
^ А |
, являющееся счетным |
|
объединением промежутков ив Ш0 |
і что |
||
Множества |
, а также их конечные пересечения, можно |
||
представить как счетное объединение неубывающей последователь
ности элементарных множеств и, следовательно, |
в силу où) |
и |
|||||
^Ь) , для множества |
доказываемое |
утверждение верно. |
|||||
ііомгая |
^^3» |
имеем |
|
|
. Поэтому, |
|
|
вожатая |
А =^ П ц ^ E>u |
, на основании M |
заключаем, |
||||
Что доказываемое утверждение верно для множества А |
Так |
||||||
как А С Ък |
С |
, то г \ с К |
й, в саду/3.0/, |
|
|||
|
^ . ( A U |
^ ( X U / і Л А Н ^ • |
|
||||
|
|
|
|
|
/\,. |
• |
|
Следовательно, |
Aï =• |
i'-Tvi/лДВц) — |
/ 0 |
- ^ ' ' |
|
||
что • требовалось доказать. |
• |
- |
|
|
|||
|
£ ) PaocMoïpMU случай, когда А |
|
ость множество |
||||
|
|
|
108 |
|
|
|
|
|
- меры куль. В соответствии с |
|
|
|
построим мно |
|||||||
жество |
А "3 Л |
|
, то;е |
^ |
- меры нуль, |
для которого |
||||||
доказываемое утверждение верно. Так как |
|
|
|
|
||||||||
|
|
$ ' ^ І А Д и д М * h- (А^)~ |
О |
|
|
|||||||
и ^.ДА^) > |
Ö |
, то, в силу теоремы 6.2, .§ 3, |
|
|||||||||
ц ( А \ = |
О |
|
(J- - почти всюду на (R, |
, Так как |
||||||||
А^ С А^ |
. то/ и силу предложения 12.1, § 1, |
А ж |
||||||||||
является |
|
измеримым и [x^Lh^)— |
О |
|
для каждого |
|||||||
X |
, для которого это верно для |
А х |
|
|
. Отсюда |
|||||||
наше утверждение вытекает очевидный способом. |
|
|||||||||||
|
£) Наконец, рассмотрим, общий случай. Пусть |
А - |
||||||||||
произвольное |
|
jj, - |
измеримое множество в Й 0 |
, Построим |
||||||||
для него множество |
А. |
|
|
, как в пункте у ) |
И Поло |
|||||||
ним -В>- А4 А |
,. |
Тогда |
и (.В)=0 |
|
а, поэтому, в |
|||||||
силу S) |
, доказываемое утверждение верно для множества |
|||||||||||
Ь : |
. Так как |
А = |
Â" N В |
> - то |
А,= |
А \ \ ; В А |
||||||
и, поскольку jx^ |
[bj] |
= 0 |
|
|
почти ВСЮД |
|
|
|
|
|||
( A i " |
У "Р" "éR,) |
І |
||||||||||
то, sa |
исключением некоторого |
^д.( - пренебрежииого множе |
||||||||||
ства точек х é |
fit, |
, множества А^ |
|
и |
А„ .являют |
|||||||
ся |
^л^- |
эквивалентными, |
откуда |
|
|
|
|
|
||||
- |
S |
|
u,(.dK.) = |
S |
мДА^иДск). |
|
|
|||||
|
R/ |
|
' |
|
|
( |
A |
|
|
|
|
|
Для сечений |
|
доказательство проіодитой аналогичио. |
||||||||||
|
3. |
^У. " интеграл, |
как |
|
|
^ЛОШ в |
вМ* |
|||||
пункте излагается результат, обратный, |
в известно* ошола, к |
|||||||||||
108