Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

3.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Весьма существенным свойством меры Лебега является т

что эта мера 'инвариантна относительно движений пространства


Объясним, что это аначит.
13.В	Определен и е. Преобразование Т"		про
странства 'Ш		в себя называется его ^уігашдазм, если оно
сохраняет расстояние, то есть I Тх - Г^1\ =			для любых
Х^цбЙ11"	; при этом если х = С х,, . - ,Х^)		, то

Для того,чтобы преобразование Т пространства №

было движением этого пространства, необходимо и достаточно бы для всех хей

	Хх = х + х,е,	и ^ е * (
где X •	- некоторый фиксированный элемент М-" ,
.	- некоторый фиксированный ортОнормальный базис в Ш

a X^j---,4n, - координаты элемента X

13.7Теорема,іД£ш_^гюоого^двинеіг^ ~Г ЛД2Й£5","

ства, !R		H^jmoora^^			А ^ $ѵ мндже-
ство	Т A	яв^я_едся^53ііе^мшм_^і
		^ ( Т ' М		= ^ Ч	А Ѵ	/із.2/
	Наметим доказательство этой теоремы. Назовеи повернуты
тѵ	-мерным промежутком множество,				являющееся образом тх- -м
ного промежутка при некотором движении пространства !R
Пусть	П	- некоторый повернутый			тѵ -мерный промежуток.
Представим его в виде
где Т	двиаение пространства (Й'ѵч				, а Л П - . . ) Л ^
одномерные		прокрутки* Исходя непосредственно из				соответствую
щих определении ^жно доказать, что множество П						измеримо в
я что
		1	-	40

^ ч т =уиЛд.) » дал/

где j u , ^ - длина одномерного промежутка.

Поскольку движения образуют группу / относительно су

перпозиции, то есть последовательного выполнения преобразова

ний/, то	представление /13.3/ единственно и, для любого движе
нии Т	и любого павернутого <Y\_ -мерного промежутка П ,
Т П	есть повернутый	тѵ, -мерный промежуток, причем,
как видно из /13.4/,
	^ Ч Т П Ь д ^ І П )		.	• /13.5/
Пусть теперь А		- произвольное	множество' в !R .

Принимая во внимание определение /8.1/ верхней меры и учиты-

вая.что каждый					-мерный промежуток является вместе с іеы
повернутым			-vi-мерным промежутком^на оснований /13.5/ нахо
дим
.	(Д k)		=	M	X M*	( О ч
• Г				ид* ЭТА */
U ^ T A k		Ь Ы " ^ Т			" ^ = * 4		I	САП
		'			и т - Ч ^ А
Так как в силу полуаддитивности верхней меры иа А С U 1 Лі<
вытекает		Ді.1'"1*' [А") <				[ Т" ' А ц )		, то
			Л	- Ч Т А ^		/ * Г И ( А ) -		/ 1 3 . 6 /
Учитывая,		что преобразование Т f					, также является движением,
имеем			( . T - ' A U			ÇA V
Подставляя сюда ТА вместо А							находим

^и "" * І Т ^ , что вместе с /13.6/ приводит к равенству

для любого множества А в № я любого движения Т

пространства Щ

. Предположим,

что множество А

ограничено,

содержится в TL.- мерном промежутке Д.

и измеримо, так что

/си.определение

11.2/

Б силу

/13.7/

отсіэда иытокиит, «то

•'

д ^ Ч Т А ^

+ / і - И * І Т U - A ) ) -

^ " Ч Т Д )

. / 13.8/ '

Пусть А

-какой-либо . w

-мерішіі промежуток,

содержащий

повернутый проиекуток

I Д

, Так как A

I А ~

СД"1 ГД

иСТД^ТА)

,то ,и( м *(Д^ТА) 4

( A NTA) f

^А.^* [ T A v T А)

' , Учитывая, кроме

того, что множества

и Т А

измеримы и, следовательно, и ( п ' * ( л

Д Ь

j a ^ ( A ) -

и ы ( Т А )

имеем

"»

( Т А )

* V" "

(Д N T'A) 4

I ТА) 4- ^

( £ ) - .и

» Отсюда,

на основании /13.8/,

находим

( Т А )

( д

s Т/А)

( А ) .

Так как ТА VJ (£х ^ТА4 ) ?

, то имеет также место прот

вопологное

неравенство, то

есть

Это означает,

что множество

измеримо и, в силу /13.7/,

выполняется /1S.Ü/« Так как неограниченное измеримое множество можно представить в виде счетного объединении ограниченных и римьк множеств /си.замечание 11.4/; а свойство ограниченности инвариантно относительно движений, то утверждение теоремы вер в обден случае.

Рекоѵендуеи доказать следующее утверждение. *

13.В Предложение. jlyjjTb f - JipjîOJÎpjajKibjuulS,

Il F* - Г ^ Н KJ*-^II , x ^ t l l T , M =C2j . x ^ ) ' / i L .

такяе^есть MHraecTiiojjejMjiynb^B

14. Существование неизмеримых множеств. Применяя аксиому выбора можно доказать, что в существуют множества неиэ-. меримые относительно меры Лебега ' а . Поскольку этот резуль тат в дальнейшем нам не потребуется, то мы ограничимся лишь указанием: см., например, Л.Н.Колмогоров, С.В.Фомин [і] .

§ 2. Измеримые функции ^ •

1. Определение |х -. измериной функции. Пусть

/то есть \ является функцией с областью определения 2)(Ç)c

С Ш	, принимающей вещественные	аначения /. Пусть JX- - мера
Лебега - Стилыьеса, заданная на		, или, на основном
TL-	мерном промежутке А„ /содержащем ЗХ£) . Для таких

fи jx_ введем следующее определение.

1.1Определение. Функция £ называется

jK. -ji3jjgpjtMoJi, если для каждого Сб				,	множество
	^ * & Ш У V U 1	< z	]	7 1 Л /
является	^и. -измеримым.
1.2	Теорем а. jM^°£°xJSS^SiS^^			f	,бнда

- • 43

Л]обоі^бо£елевскогс^ множества А £ Ш бші ц_измерим.

Доказательство. Достаточность условия оче

видна, так как множество /1.1/ есть прообраз при отображени

множества \ U.£ 1ft' : "Ц < с\|		, которое яилпетсн борелевским
в ІІГ.	"
Необходимость вытекает из следующего рассуждения. Легк
видеть, что	(Г- алгебра,	которую порождают множества
вида ^ ѵ^^ій': ^ < С-У , когда		С	приобретает всевозмож

ные вещественные значения, совпадает с системой о'орелевских

мнокеств пространства / см. § 1, ii . fi / .

Ввиду того, что теоретико-мнокественкие операции инва-

риантны относительно операции взятия прообраза ** , то для л


бого борелеаского А		в	, его прообраз	Г CA)
содержится в	<Г- алгебре, порожденной множествами вида
/11.1/. Так как все множества вида (11.1),				А" измеримы /е
-	измеримая функции/,то, в силу теоремы 9;6, <j 1,
порожденная ими С-		алгеора состоит из одних лишь \х. - измер
мых множеств	и, в частности множество ^ (.А)			и - изме

1.3Следствие, 0№у^ь^щ^еления ] ) (^ . j

ее	- измерино^функі.иі; ^				есть		U. - измеримое JMHOJCC-
стдо
	Действительно,			JJiY Î	V	^	'
	1.4 о л с А с ï ь и е. ^п^того^ чтосы функции Y • Сы
	6			0	c	a		\ \Д\|
hjljliï '!^^"»			^SJ2525ÜÜÜ " 2° T T04ho; чтобы прообраз					\ \Д\|
	Действительно,			люооі промежуток есть борелевское				множе-
1 наприиер ,		ft.1		: \^4 c l -		\ ^	R" : \\ < с \- ^ г J
8 • Например Ç "		4	( U A g ) = U		è'DC-f):		\- W і е U A ѵ \ ~
.- = U	\ * è > W		;	е-Av'î =	U	(	(АЛ
					44

ство и любое мнонество вида \ ^ 6					• ^	< с \	есть Счет
ное объединение			одномерных промежутков.
	1.5	3 а м е ч а н ие. Предположим,				что мера Лебега -
Стилыьеса fx			задана на основном		оѵ-мерном промежутке
				. Пусть fx*	- мера Лебега - Стилыье
са, являющаяся продолжением меры ул.					из До		нулем в
R п N	Д 0	/ см.замечание 11.5/. Тогда для того чтобы функ
ция		была	/А. -измеримой, необходимо и достаточно чтобы
эта функция была				измеримой.
	Это замечание			позволяет нам, при рассмотрении вопросов,
связанных		с	fx -	измеримыми функциями,		ограничиться случаем
меры	JA.	, заданной на всем пространстве Ій"					, не ограничи
ваяпри этом общности.

1.6Замечание, ^|сли^уьпсция f : DK) ' Ift^ —Hft1

JieSJ^jWBj^jro^^							JA она >«.-
измерима.
.Действительно,				если	непрерывна,		то множество ^хбй'*':
Ç(.iO<t-^	открыто в (Pf1				, как прообраз открытого в К/			мно
	Ç W 6					t	1	;
жества			''•	< С.^	. Следовательномножество ^xelR"
•\Ш < С j			является		и - измеримым*
2. Замкнутости множества измеримых функций относительно
поточечного ^			предельного перехода. Пусть				р. - мера Лебега -
Стилыьеса,		а Д)		- некоторое		измеримое множество
в ОТ
2.1		î е о р е м а. Лу_сть ^ ч і и ^					~„5°$J£№Sè~
т^льность		^л-дзмдр_№ых^у^ций: (Rn,~=>№1				. Дсли_в каждой

1Если последовательность функций сходится в каздой точке неко торого множества Х> , тоговорят, что эта последователь ность сходятся поточечно на "D

точке х é 3D	S^Jl2SiSA°3SSSSSSS3^tJ!!iS^		/!£РДеЛ!!йй/-ІШ§Зйл»
To^yjmum £	,	з^д8Дная^сомн^ениями
Д)(Г\#£ )	, £	t * > = t i / v v i ^ t > 0	o ^ a x ê ] )	/2.1/
		~^ —> со

является ,Ь. -_^i3j;iejjHMoH.

Эта теорема - непосредственное следствие следующего

предложения.

2.2 Теорема. J^S^i^SSIS5&S3^J3S?-SS- теорени

Тоіда_^у^\|кцди ^ , ^ i - f -	j	{	являются yu./ 2-, изме2 / -
Г іжФ W<w £v oO J '	W - f w	,ÇV СО .

^имыми.

Доказательство. Для произвольного с £ ЙѴ

мы имеем

Следовательно, множество слева - измеримо как очетно

объединение jy- - измеримых множеств. Но это означает, что


ция	у-	измерима. Аналогично доказывается				^,- измери
мость функции ^			. Поскольку
то и функция '			является yu.	- измеримой. Так же. доказы
ется	u. -	измеримость функции		^ _	. '

-46

3. Простые ФУНКЦИИ. Нам понадобится следующее опреде

ление.

3.1Определение. Функция

ес

называется jjpjjcjroü, если, ее область значении* TL( О ть не более чем счетное множество.

Всюду в далънойшем через и,	мы будем обозначать неко
торую определенную меру Лебега -'стильтьеса в R41.
3.2. Предложение,/ Признак измеримости простой
функции /. / i j ^ j j o i ^ JITOÖU^££OCT^	-Ç ;ІЯ"	1	-^ IR" Дщш

^- ЛАЙЕВДОЙ i ijÂOOxoj^Mj^^jwc^^

'.^ £	мшаествоС Ч і ^ О	•	/ прообраз, при отображении
• .Ç	, мноиества, состоящего	из	одного лишь элемента i j . / было

ц- измеримым.

	Доказательство. Ксли 4							измерима, то
			, как прообраз борельвекого множества \ і\|}						,
являетоя			измеримым ынояестзом /см.теорему 1.2/. Обратно,
если для		каждого		^e.'ftffl	множество		-Ç	[_ \	- из
меримо, то для каждого вещественного							с	множество
является		р.-	измеримым, как счетиое				объединение ^ - измери
мых множеств.				._.
	Обозначим через I '				L-D)	множество всех простых
Y~	- измеримых функций Ç '• Ій					*	ftV	, с область» определе
ний					/ Напомним,		что,в силу следствия 1.3,
r J)	является			у. - измеримым множеством /.
	3.3	Предложение. Если						, то
*Ч	*=-			для любого вещественного числа с					. Если
ц ^ п ^				, то ^ + ^ Т і у ъ Г Т Т ^ £ г у C L ) •

e П	{_"&) ,		Д^у^чши_с^ювами^^			заі^у^о^^нос^тель-
HjDjinrj36j3M4ecj<^^									П^(,І))
ecjrb^jïOTe6pjij\|y^^
	Доказате льство. Пусть -f,cjé							P ^ u l - b J .
тогда R		( 4 + ^ ) = ^ г e f t V :				,	^ é	R	l	H ,
^ j i & ^ l ^ } ^ , откуда вытекает, что множество R. IV										не
более чем счетно / поскольку								не более чем
счѳтны /. Следовательно, функция						является простой. Дал
если	зe f t U		,	то
и, так как по условию множества					[	({i^j)	•> ^		I	L	1
^.-измеримы,		то, в силу, счетности				, множество			tV^^j)		(і г Ѵ
		Д - измеримо. Следовательно,				в силу предложения 3.2,
	Далее, если -Ç £ П			(]))	, ю ,	очевидно, {			-	{-Ç £
ибо и.е'ЙЙ)			, тогда и только тогда, когда
		4		1	1
причем^)- ' с			) = г	1 ^ ь г		ад Г
является		- измеримым как объединение двух							JLA. -изме

римых множеств / одно из которых, возможно, является пустым

Поэтому,	если f	Д ^ П . Ц ) )	то, f к = г [ ( f +3
Доказать остальныеутверждения, содержащиеся в предложе
нии 3.3, рекомендуем		самостоятельно.
4. Аппроксимация измеримых функций проотыми. Пусть как
и в предыдущем пункте П^. (.ЗУ)			обозначает множество прос
тых	/и. - измеримых функций		, с областью
		- 48

определения ІНО ~Х> С Iß .. Легко видеть, что множество

П р. (!)) / будучи замкнутым относительно алгебраических дей

ствии / не замкнуто относительно предельного перехода: предел последовательности простых функций не обязан быть простой ф$Ц~- цией / область значений предельной функции монет иметь мощность континуума /. 1!з теоремы 2.1 вытекает, что продельная функция

для последовательности \\-о \ , -f-J t Проявляется	^ц.- измери
мой. Естественно поставить вопрос, можно ли любую ц. - измери
мую функцию представить как предел простых Li -	измеримых	^
функций? / Другими словами, является ли множество простых		из
меримых функций всюду плотным в множестве всех	измери
мых функций? /. Ответ па этот вопрос является утвердительным

даже в том случае, когда предел понимается не в смысле поточеч ной сходимости, а в смысле £амр_мери_ой сходимости.

4.1 Теорем а. Д^я_і$аждой			u -^j3juepjiM05^yjmn«i
Ç : ffi— ^ IR	( ^с^област^ю^шір^е^елерия ï) ( 4 ) = I)				^сущест^
Bjejr_j^aj<ajMKJCjm^^				дущещх
у- - vijMejmmx _фyJШ^ий ( f ^ £		{.Ь) )		, K^Topj^p^Mpjiep--
f	на .T) .
Доказательство. Для каждого натурального -J
рассмотрим разбиение пространства			на	промежутки		~~

Так как функция V і\- измерима, то -Ç ( Д ^ ) есть измеримое множество / см.следствие 1.4 /. Кроме того, из /4.1/ вытекает, что для каждого натурального V

• 3 > = Г Ч И ' ) = р Г Ч * 1 ѵ > '

/4.17

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ