Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

3.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Действительно, если множества А\ , Аг		попарн
непересекаются и JA. - измеримы, то
M U А А - И М А ѵ Ѵ і - H U А ^
в силу аддитивности функции X	, и
> ( и M	— > О

в силу нормальности этой функции. Следовательно,

Х і ^ к Л = f _ XCA Л

•0=1	-5=1	(
10.1.2° Если А - 33jej№HTapflO£ множество, А С Ло ,
то
Это было доказано в абзаце, следующим после опред
7.3.
10.1.3° Пусть	\ А_э^	-^T««IH^JHIW_^^
что А С U ^ , As, С	. Тогда \ ( А ) ^ Г-о~ уи. )
Действительно, пусть	>
А ^ А л Л , , А , - А л [ Д . '		^ 3 , ^ 1 .
Множества Aj, Аг) --.		^л. - измеримы и попарно непе
каются, а поэтому

так как в силу неотрицательности и аддитивности функции

X I M H M N ) при И с N .

Используя это последнее соображение и рассуждая ка доказательстве предложения 8.3, получаем:

l u . 1.4° Д^^дабшс (л -jyijejjHj^_jwMecTB Л и В •

І М А Ѵ \(ВУК< М к ь Ъ ) .

	Кроме того, .із 10.1.3° и определения 8.1 верхней меры,
вытекает:
	10.1.5° Для любого u ~,шзиещі0£0^шюхества/\						,
м м	^ ^ ч м 1=	ДСАІ) .
	Теперь нетрудно доказать утверждение теоремы 10.1. Пусть
Л	- произвольное		у. - измеримое мнонество, А С А 0					( и
пусть	/А, - такое		элементарное множество,					,	что
и. (.А	А. Afc"\ < 6_		I где	£_	- некоторое,	наперед задан
ное положительное число. В силу 1Q.1.20, X (А^З						-	j L СА£^		,
а поэтому I И А \ -		^	CAÏ U [ \	W	- * (.А^ 1 I I л ( А ^ Ь и			(А) ) <

/ см.10.1.4й/. Прини мая во внимание 10 . 1 . 5°, отсюда получаеы ,

откуда, в силу произвольности £_

10.2. Замечание. Нояно доказать, что класс ^*-

измериных множеств является максимальной <f - алгеброй мно

жеств, на которую можно продолжить заданную меру Стилмьѳса про межутка, с сохранением неотрицательности, аддитивности и нормаль ности, и на котором такое продолжение единственно.

11. Мера неограниченных множеств. В предыдущих построен*

ях условие ограниченности множеств, на которых задана мера, Суще

ственно. Например, при доказательстве полуаддитивности меры эле ментарного множества нами была использована компактность ограни

ченных замкнутых множеств в 1ft . Теперь мы покажем как мож

но освободиться от условия ограниченности.

Пусть Jj-	есть произвольная функция, заданная на множе
стве	всех >і - мерных промежутков Д С 1R	,

принимающая лишь неотрицательные значения, аддитивная и нормаль ная /сы.п.2/. Такую функцию и по-іроянеиу называем jjepoii Стильтьс промежутка.

Для произвольного множества А ^ положим:

где нижняя грань распространяется на всевозможные системы пром жутков Дѵ_ С ift , покрывающие множество А . Функция

ix. как и раньше, называется верхней мерой, порожденной меро Стилыьеса д<_ . Она принимает значения из расширенной неотри цательной полуоси

								/	11.2 / ,
где	\ +	- множество, состоящее из одного лишь								элемен
та + J*, / для некоторых множеств						А ^	Jx? (А)		мокет равнять
ся + ОО		/ .
	11.1 Лемма. Пусть A				-J^5]^S4ülS.e^HiiS5I£Sl2-5
'	•«	Ecjra^cyjinscTByeT		такойпдшыежуток Д				, что ДоД _и
	^ ( А ^ + ^ ( A N A ^ = Д І Д )							/ и . з /
AuâJS-^S^SSSJlESÏSÎSTiS				A'	І содержащего			мнонество А		,
'		+	(.Д'^А) = ^			І л	Т	" " / и.з'/.
	Доказательство. На основании замечания 9.4 и
теоремы 9.5 заключаем,				что, для того чтобы выполнялось						соотноше
ние /11.3/, веобвдиуо и достаточно, -чтобы для каждого										L	>0
существовало такое			элементарное множество А ^						Для		кото-
РОГО			l l * ( A * A 0 < £					/ 1 1 . 4 /
			'	-	32

		Пусть Д/		какой-лиоо таме.рныИ промежуток и А 2А ,
a	А^ - такое элементарное множество, что А£								С Д		ц вы
полняется /11,4/. Полагая А^ — A T						А Д •		находим,		что
есть элементарное				множество,	что А^С д'			и, что А * А^ С.
Cl	А	А^	;	а поэтому
			д(А A t ' ) < ' £						/Х1.4/
По в силу сказанного выше существование,								для каждого			£. > О ,
такого элементарного множества A J						С Д'		, что выполняется
/11.4 /, эквивалентно 'выполнению равенства /11.3'/.
		В связи с доказанной леммой естественно принять такое
определение.
		11.2 Определение. Ограниченное мнонество А в
и\		называете»		-jczuejmum,		если для некоторого про
межутка Д			, содержащего А , выполняется соотношение /11.3/.
Неограниченное мнонество Д					в ІІ^		называется		^	-изме
римым,		если для любого т\. ^мерного промежутка							Л	, пересече
		1		fx -измеримо. Сужение верхней меры у.* на
ние А Г А
класс		-измеримых множеств называется ме^ЦЛе£е^^_^С^илиь-
еса, отвечающей мере Стильтьеса \|А-							, и обозначается, также как
и исходная мера промежутка через							jx
		Из результатов изложенных в предыдущих пунктах /см.теоремы
S.6, S.7 и			10.1/ вытекает следующее утверждение:
		11.3 Теорема. Класс j< - д^ые^ишА^шожесм^ет^-
ется (Г-J5Eë5E°J>-525ë£î5!5eI1					все'борелевские множества в ït*\
	Действительно, А * А^ = IAN-At")o (А^ \ A) с ( A £ - A ) u
	U I A A A J " )			, где B'^R^N B			. Учитывая,			что
				С			с	c		с
	АСА'		имеем А ч А^ я А о С Д' ^ At					) =(А л Д' )			^
				4
	V [кпА^)		= S L O A N A t = A - Aj_				.а поэтому А * А / с

с (A^AWCMA^ I = ААА^.

-33

M£paJeoera - Стильтьеса , дшссыатріваемаі_на ,и -т-

дор^іиьіх^шожествах, сч^но^а^дитивна в следующее. сі.ш

Ai ) А^, л •-•	-^.измеримые, попарно			неперееекающиеои			мно
жества^ в ft1	, XS
^ U	А ^ =	u. CA „] ;			Д 1 < 5 /
Щ^дтом^іі^м^чдсть /11.5/ ^адна +			y>	, .если j i y t		в правой
части /11.5/ 5^с2содитсяд или содержит			члени		равные	+ -,»=>	, и
об£адм^_т^^лемя часть /11.5/ равда. +					, то.либо^ряд в

поелоЙ части /11.5/ сасмдитсн, _либо оодержит члелы равные

Коли X

...sjjTb какад^ібо счетно-аддитивная функция,

веданнаяj i a

^ -^иэиеримі« множествах из Ш

>Ji__

А (А)=г

-.=

flj^jnoßoro

v\ - ыесноз'о іц^иещтка A

, jro

A(A't-

=; ц(М д^гл^любого

tyjepjKoro

мноксства

Д. Й •

11.4. 3 а и в

ч а н и е. Мы уже отмечали,

что для

торых

у. - измеримых инокеств А

lu, ( А 1

может

рав

няться + лз . Однако,

какдап мери Лебега - Стильтьеса обл

дав! следующим свойством

-^іондчности / или

сг-лііини^г

нмти/: jïcjmjwmsecTBo

ju. -^измеримо,

то j^ieci'ByeT та-

са^тр^ледовательіость \hx/\

u^ucgnmx:

jurageçys А ѵ

чт£ |JAAVW-*>

j jjjH -о = ) , г, -..

\\_ U ^ ,

Действительно,

ь качестве A-j

можно

орать,

например,

пересечения ,\

h^,

, где \ A.j\N'-» -

такая последо

вательность

-vi -мерных промежутков,

чио U^:,

~ Ш •

Отметим,

что последовательность \ A-J^-J-,

может

быть построена так, чтобы А( С АХС ...

. В этом случае

^(.М — (ліѵѵі

h. ( А

)

, что легко вытекает из счетной

аддитивности меры .и

- 34

11.5 3 а и е ч а н и е. Пусть M						- есть мера Лебега-
Стильтьеса, заданная в некотором ограниченном основном -VL -мер
ном промежутке Л„		. Пусть А	- некоторое произвольное
множество в І^Г1		. Если множество А Л А„			Ал. - измеримо,
то мы положим				Г

	\PÙ& ,u (.А л / О
	і
	по А
и назовем множество П			измеримым. Легко видеть,
что функция ц0 , рассматриваемая на классе						измеримых
множеств,	является мерой Лебега-Стильтьеса /т.е., она равна
сужению,	на класс	ц„ -измеримых множеств, верхней меры					и0
отвечающей ее же сужению па промежутки ДСН						/. Мера ид
называется пр^м^ниеь; меры			из Д 0	нулеы в Ift. "^Ло'
12. Носитель меры. Если меру мнояества (напомним, что,
для краткости, мы говорим "мера множества А						"вместо "значе
ние, принимаемое мерой на мноиестве А				" интерпретировать)			как

массу вещества, содержащегося в этом множестве, то носитель меры можно истолковать, как ту часть пространства, где вещество есть и вне которой вещества нет.

12.1. II р « д л о ж е н' и е. fctemwijHjiejço^Oj)^^


	А с А - Г ,			д * ( А , 1 ' 0				,		/і2.і/
MJSHOseoTBp A			-ЛаКё£ЦЙ2-й.				Д	( А ^ -0		. JjiacTjjocTj,
А	^является		ь -jH^M^p^MjjMH			Іл{Ю~			V , дели, ід.*(Д}=0.
		/	Если д. ( A ï = ü			', то А			называется множе
ством	- меры 6 /•
	Доказательство. Пусть Л								- произвольный
-церный промежуток и Ад==~А Л Л									. Если выполняется
/12.1/, то		( A ^ W O		, поскольву А д С А 1						. В силу
полуаддитивнопти функции				JLA.*	инеем		Ц.* (А) ^			ЛД-^САд^Ѵ-
A- ^ (	. Д ѵ ^	, т.е. UиU H			/ ^ ^ Л		Ч А д )			Л і і ш

/35


Д — Ад С А		I то имеет такяе место лротінополокное нера
венство, а поэтоиу, М- (.М~						(А'^Ад^		. Следовательно,
д Х ^ = и Ч А ^ и У ( А - А ^						, а поэтому А л				и-
измеримо. В силу произвольности Д							, множество А			также
)х	-из.меримо / см. определение 11.2/. Зак как в силу
/12.1/	^ Ч А ^ О		, то и		ц.(АЫ/.
	12.2 Предлонение. і!ля^5акд^і_м^і[^іе^ега^-
Стил^тьеса		_в	, cyjn^cjMyjTjrajcoj^ маі^імльное сіт^-
KpjjToejjHu?i£jj_o %			д.	j	. ІІѴ , что				i x { X , ^ ) ~ 0
{"Максимальность понимаем в					том смысле,что если 2'					открыто
в Г	и'/ J L U W 0 , то ' 2 С £ J .								.
	Доказательство. Обозначим через -2^ѵ объеди
нение всех открытых множеств .2.							з	ft	, для которых
,U 1^1	= 0	. Тогда 2.А_		есть открытое множество,						содержа
щее лябое из этих множеств Л.						. Легко		видеть, что уи. ( . ^ ^ . ) =
Действительно,			мновества			, о которых говорилось выше, '

образуют покрытие множества ^ u			.Из этого покрытия,			очевидно
можно извлечь счетное подпокрытие				(іід ,«2^ -,---)		-В
силу счетной аддитивности функции				/^- ,
12.3.0 пределени е. Дрсителем меры /А называ
ется дополнение	ІЙ. ^'^ ч множества %				, определение кото
рого содержится в предложении 12.2. Носитель меры						обознача
ется символом ^	-VJjy\yv ^ •
12.4 Замечание. Носитель -vu^upJX. произволь
ной меры Лебега - Стилыьеса ^			ягляется		^аишутт множест
вом / поскольку его дополнение				открыто /.
12.5. Предложе ни е. ,Пусть S					ми^мддь^де^ащ-
1': Носитель — Mv^'po'-c.'t		/ франц. /
	-	36		-

H^oe^mojpj)TBü_j3

І|ч

, j j ö j m f l m ^ e j r ^ M j ^ ^ ^

каждого

дл. -^измеримого множества А

Тогда

л<.л^-ѵ^\. рл.

. jP^p^TjiOj^eçjm

S^. —

лкисос^

jo_paflejcTïo /12.2/ в^іп^шя^т_сп_дл^^акд^

yu. ^^gujjajiMoro

множества A

До к аз ате.льство. Пусть Ç>

такое мини -

КГ

мальное замкнутое множество в ік

, что для каждого

-из

меримого

множества А

выполняется /12.2/. Положим

—

ІК

~>,ѵ_

, тогда

- открытое множество в

ІІГ

и ^ ( X ^ ^ u t V n ^ b ^ C u W O

.пусть

- такое открытое множество в Ш

, что ух

(2)—

и пусть

S —

1ft

• Для любого

- измеримого мно

жества А

имеем u

СА^

(.А г> *=Л + U

(А

п 2)

]

a т а к

( . A n ï U M ^ ' u

, TO L L ^ n 2 W 0

И •

І А

^ д

('<?> A А.У

Так как Ъ

замкнуто,

то, в силу предположения о минимальности

множества Ç ) U l S

. Поэтому X

С % ,

и,

следо-

вательно, гС,

есть максимальное

открытое множество на ко-

тором мера

и.

равна нулю. Поэтому,

г Л '

-Ѵи|^т. ^

'а

ИТ)м

. С

Обратно, если

и ^ ^ 1 1 1

Иг

то, в силу аддитивности меры,

для любого

-измеримого мно

жества А

, /ДА"} —

^ ( A n S ç H ^ u C A n

JH. (. А П'а.Л, ибо , так как Ар

і ^ , и

fë^J-Oj

то / U l А Л

= 0 .

' '

12.63амечание. Пусть мера Лебега - Стильтьеса

есть продолжение из Д 0 .

нулем'в IPf"4

А 0

меры

Лебега - Стильтьеса j u

/ см.замечание 11.4/. Тогда,

как не -

трудно видеть, Ъищ^, ц 0

А о •

"Э7

13. Мера Лебега. Пусть А - нроизіюльный TL -гор

ный промежуток, то есть декартово произведение п. одномерим

промежутков ДА		: Д = Д ,	... X	. Поло-ип
	y u ^ C A Ï = U . - O L . b •• U ^ - a . J ,
где (X,-	^	- концы промежутка Д ; , G-» <		, і = -\ , •
'	о	, • °	d	ы
- • • -, тл. . Как уже отмечалось /см.п.2.2, пример 1/,					яв

ется мерой Стильтьеса промежутка. Эту мору называют иногда

тяжениеи в К	/ при т\ - \	протяжение называется'^длиной
при тѵ-Э, - площадью, а при 71= 1			- Съемом /. '.'еру Лебс
Стильтьеса, отвечающую протяжению, обычно называютмерой
Лебега, a уіл, - измеримые мнокества			короче называют кзт^ткшж
множествами. Меру Лебега в IR			обозначаем как и протяже
через jx.

Из-за геометрического смысла протяжения, мера Лебега

встречается в приложениях чаще других мер ЛебегаСтильтьеса обладает определенными специфическими свойствами. Рассмотрим н

которые из этих свойств.
	Прегде всего отметим,			что
				ff»'"'
		-М-Ч^и /*•		= Ш	•		/із.І/
	Действительно,		для любого открытого множества А в
0	4(^і t
IR'	/Ai "°( А) > 0		, так как		А	содержит некоторнн
открытый		TLмерный промежуток,				а протяжение		такого
промежутка положительно.
	13.1	Определение. Мнонество А					в IR	назы
вается множеством мер^Н^ль в 1ft!						, если для каждого
Е > О		существует такая система \ Д -о ]					промежутков А -о
С (JT		, что X	ук.К,(А1))<£		и А С U		Л

13.2 Предложение. Ышлое^іножьс^во А


=	0	. Q^öpamoj^eom		A	H^MepjjMo_it jj_	f A W
—	О то A	ecnjsuovßcT^ue^u_Hy]ib^			Ift'*
	Доказ ателье т во. Из определений /11.1/ и
13.1 вытекает, что если А				множество меры нуль в			, то
ді. (A ) — U			» где \|х	- верхняя мера,		отвечаю
щая протяжению.			Следовательно наше утверждение вытекает непо
средственно из			предложения IE.1.

13.3Предложение. ^сякое_ не более чем счет

но^ множество в ІЙ j g M L j j H O A e j j i j ^uejHj^b^B Й . • Доказательство.. Очевидно, каждое одною -

чечное множество есть множество меры нуль. Поэтому наще утвер ждение вытекает из счетной аддитивности меры Лебега.

13.4Следствие. В №" существуют всюду плот

ные множества меры нуль. Например, множество всех точек с рацио нальными координатами всюду плотно и имеет меру нуль поскольку оно счетно.


13.5		Предложение. П'/сть A					itutoejtüoxo-
ство_в ftV* , 4^o^BjjcajcÄpji^4Kjj U, ,-.->>0							£ A
X.,) = C_	/T^^ÇJ^MHCJ^CTJO			A		іе^даг^^{0£цдшіатд^^йл^-
кости	с		/.Тогда	A	SSSè^ïSSBS^S^SS^LMSè^			^
Доказательство. Достаточно доказать, что
всякая	ісоординатная плоскость					^ І * ^ - - - ,х 'п^ 6 (Ä- 4 ; х 0 ~ С \|
есть множество меры нуль в						. Однако	это очевидно, так
как такая		плоскость есть объединение /раега'ирявэдейоя/ последова
тельности		промежутковJ A j } ^ 3			,	, где Д^'^=?		X .. .
. . • X ДСі?				и		= ( ^ - 0 , ^ + 0)		пря

- 3 9

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ