книги из ГПНТБ / Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций

2.£( проиввѳдение мер представимокак интеграл,

то

теперь

будет покавано, что u. - интеграл можно представить как

произведение меры уо-

на меру Лебега уш.

в простран­

стве

W

/ ом.нике

формулу /0.2/

/.

3»1 Определение. Пусть Ç *

1Й > ІЬУ

- не­

которая неотрицательная функция, a

JD

-некоторое

подмно­

жество области определения функции

,

Поло­

жил

Множество

навы-

ваетоя ^jajmÄpHj«cj<iiM_Te-

t p j ,

отвечаквдш функции

и множеству

.

Рис» Ъ

иллюстрирует

проотвймй случай,

когда

цилиндрическое тело еоть

"крйіохияеяяая трапеция".

В,2. Предложение. Пусть

- uegajjeöera-

Стижьтьеса в

- лщоторая

с Ительно прожвведения

dt

^Hajtegy

* yj .

-SIEH

/л.

Левбга yu,1"

в (ft'

jL,

/ 3 . 2/

/ Hutpioiep, если -Ç

t Ift' -> Ift'

,

a

npöiie-

объединение

}-L Х

- измеримых множеств, является

^х_к.^».иі

- измеримым, применяя к этом.у множеству формулу

/2,2/ и принимая во внимание /3.У/ и /3.4/, получаем

и затем по

Jj.^

, а также, - сначала noyj . ^

и затем по

уии,

. Начнем о

определения, которое описывает

функции одной переменной, получаемые из функции двух

пере

заменой одной из переменных на постоянную.

4.1. Определение, Пуоть дана произвольная функ-

ция

f

f f f t o - ^ ü V

,

гдеR e = f t , X Üx

,

W,^

Й '

t R ^ ^ l ï ^

1

. Произвольный элемент

Ій0

допускает естественное представление.вида

ï —

Сх ,^.1

і

где

x f e l f t ,

1

^ € І Й Х

.В связи

с этим,

значение*

t»>

функции

в точке

г

мы обозначаем

также черев | іч, ^

:

-f С а ) =

Ç W, ^ )

- , и, ѣ

аовиовмоотя от обстоятельств,

трактуем {

как функцию

одной переменной,

пробегающей

Й0

, или, как функцию

двух переменных,

из которых «первая" пробегает IR,

, а

и

н

Х0 6 T\f>,]D(-Ç)

іторая -

ftj.

. Для произвольного

черев -С*,'

обозначим функцию / одной переменной,

пробе

гающей

/, определяемую соотношениями

K U * ü w ) < . ,

( < . ( ^ т Ч х в

> £ )

при r

M

j

J сМіОяределевяе 2.1/. Аналогично,

для произвольного ^ 0

é

v^0 è лгр^1> (.(-Л

t черед {обозначим функций

/одноіі переменно!;, пробегающей

ft,

/ определяемую сооіношв-

ниями: М Р ' Л * " Ш ) ) * , P 4 * i = U * . * > )

п р и .

х . - З ^ Ц 4 ^

•

пункции . f ^

и £

называются

сечениями уункцин f

, отвечающими, соответственно, зна­

чению х„

первой перииоииоИ и значения

второй

переменной.

Например,

если

тт., =:тх^з 4 ,

£ix,jj.)^aX

, *<> = 3_ ,

и -

U у U

/ 4 , 1 /

где

yu.,

- }>SSiJiS^SLZ^^^iSSSJ

Iftt ~ Ift 1

,

_â, u.t'

- «е^а^Лебега^Сдйлиьесз^ в^^-Й"1*-

,

Пусть

=

X

Ш г

іі^цота { : R e — > С

- про,-

И^ВМЫШЯ^УЗК^ШІ

Д . -JHIMrjHjpjjeM^H^^

жестве 13 С ІЙ^

»

JE°£5§L

А|/ Для всех X. €, oo.pi 7)

, aajigKÄ^MaHjiejMjraoae^

•ЕВДеыйЦи? Т)х •

'

' ,•

А2/ Для всех

6 ^ра.!^

'•, а^а исклотетаем^с^іеояа

/*т. ~ JtSEJiJïïïï* JîSïïSM? "f ^

двляется

ул — jtS^erjpj-

>Бі/ І!Х55ШІЯ

ï з^даниая^раве^мОм

Доказательство. Предположим, сначала,что

^ t a l > О "Р"

-

Тогда, в силу предложения З.г

/4.4/

/ ом.оьределение 3.1/, где

J*.M - мера Лебега в .

Поскольку произведение мер ассоциативно,

то, в силу /4.1/,

• f. X ^ J L U \ = yU( X

X

/4.5/

Йовтому, применяя предложение іі.к, находны,

что за исключе

некоторого множества точек х t

(,î> • О

сечение (D'

- 114

ется произведепиеы некоторых мер LLX

, LL^

Я жедатеяів»

подчеркнуть это обстоятельство, то

~ л,авт1>ах и*зн*вв'

5.1. И р и мер. Мы .имеец

однако, обозначая 3) - Ѵ

А*" ; 0* * 4

1 , 0* ^ M }

находим

j

Другой примврг

пусть при V - 4 , I i - "

'

при £ < х < - ^ . _

«. ^ < > < р г .

Ш Л

при ±<*<і,

*

для остальных значений

С* ") .

Тогда

Отсюда,

как легко видеть,

следует,

что последовательность

\ Ч' -J

I s,= )

удовлетворяет условиям теоремы о монотонной

сходішости /см.п.8, § <3/« Следовательно, |іо|=г£іт« и>.

является

/JL. - интегрируемой функцией на множеот:м_£) ,

а поэтому функция . ц>

тоже

и. - интегрируема на

множестве ID

.

ц_(Т_)) = + о°

Функции

целесообразно опреде­

лить следующим образом