книги из ГПНТБ / Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций

с

:,виду того, что|А. ^=А t ï 0 ннокестар A С

A u

и.- изыеримр

л t

'

~~~~

т^да^і^гмько^ тогда, когд^е^о^гао^нение A

д^ізиер^шо.

9.5.Ï е о р е и а. / П р и з н а к и э м е р и и о

ие^бходѵшо и^достамчнод^^іто^^ія^каждого £ > О'

^2Щ5£3!В2Нг

ло^такое^3JieMeH^pmoejäHOHecrBO A t

, длі

которого

^ Ч А * A . l < t .

/э.і/

До к аз ателье т во. Достаточность. Предпо­

ложим,что существует такое алиментарное иконество А £

С Д 0

,

.что

выполняется /9.1/. Тогда, применяя предложения 9.1 и 8.3,

находии

| ^ * ( А \ - ^ І М І = I . R 4 A Ï - ^ U * ( A Ê M < £ .

/ 9 > 2 /

Легко видеть, что для произвольных А , , Ад_ С Д 0

А , с * А^

= A, A. Aj_

' /э.з/

^Действительно,

учитывая что F^ E

= F A E C

находим

F C ^ E < L

=

= Гса(,ЕЧе = F c n E

= Е Л Г

, так что

• K C N Ес

- Е

, Е ,F С До .

Поэтому, А,°

АЛС - СА,С4

А £ )

l A j _ c

^ А , Ч

=

- ( А ^ А й и ^ л А х ^ А ^ А ^ ) .

Из /8.1/ и /9.5/ вытекает,

что .U* (Ас ДА^ 1 < £

,

следовательно, учитывал , что А^

* - элементарное

иножест-

BÛ и рассуждая как при доказательстве /9.2/,

заходим

| ^ ( А е | - д С А 6 с ) | < е .

/ 9 i g V

В свлу аддитивности меры аленентарного множества

—

— рЛА^Ѵ ц\Р\^) , ti поэтому,

принимая во внимание /3.2/,

инеем

ЦДАІ = ,0-*(АЬ [ МЛ0 1-,ц « ( Дс)] =

•

= Г

М С 4 Ѵ ] V t Д

ф - U.4AC )]'

, откуда, в

I

i

1

-

'ai

•силу /9.г/ и /9.2'/, находим чти (u*{f\)

- и* (.А)!

£

Так как полонительное

'здесь произвольно,

то ,u. ^ (А) -

•= ул * С

и

А

является

^

- измеримым.

.Необходимость. Пусть множество А С А А

и. - измеримо. Зададим произвольное £ > О

и обозначим

через ^ / Л ^ і ,

такую систему

промежутков

.Д.у, с". Д„

,

ч

Возьмем такое натуральное N

,

чтобы

z

u . c o <

^

и положим

А ,

^

О

д ,

-

является элементарным подшюхеством промежутка ^

о

;

мы утверждаем, что оно удовлетворяет неравенству /9.1/.

Для доказательства1 прежде всего заметим, что

А4

А^*"

С ( U ^ = < Л - п Ъ

AF C -

U„>t\l

.а поэтому, в силу счетной

С wot" целью оорвяачжм через \ Д ^ ^

такую систему пр

хумоа Л-ѵ, С А 0 ,

для которой

Заметим, что

А =Гд £ Л Ас С AFC

Л ( Ü ^ i А*.} =

— У ^ Ѵ ( Л

rtS^ja следовательно,.чтооы доказать 3.4 достаточно

проверить,

.что

^

X

/иСАеЛ Л,,) <; %

t

•

/0.4 /

Принимай но внимание, что ( A ^ A A ^ J U

(.Д^

4 A J =

и что •

мера ул-

на

элементарных множествах аддитивна, так что

^ ( A J A A ^ V

JILIA .уЛ А ) ~

, имеем

Далее, так как системы ^ û ^ y ^ t . ^

и ^ A ^ ^ A ^ J ^ - h

вместе взятие покрывают, промежуток Д0

,

то

4-

|Мл~Л + Х ^м-)4

ДІАН - І ^ " ( А Ч f з

и, на

основании замечания 9.4,

откуда, в силу

вытекает '(9.4'J.

?,f Теорема. Класс и_ -измеримых множеств о-

ляатсл er -алгеброй * , JL*!ÎB2JlS^£^

и. ,

.1 Очевидно,

с-алгебра Й. -иамеркмых множеств содержи все

борелевские

подмножества основного промежутка.

на несколько

этапов.

9 . 6 . 1 ° . OJÖSÄHjiejrae

^^ЗЙНК. множеств

jx

- измери~

_мо. Действительно,

пусть Д^

и

-

JU.- измеримые мноке-

ства, а 5>Л

и £>а_ - такие элементарные множества,

что

Положим A S

A, U А,.

,

А £ -

В , ^ В ^

. Так

как

1

( A < u A j M & ^ B O c ( A , A f c O u

(А ѵ А В г . )

j

/9.6/

то в силу полуаддитивности и*

,

/А/(A * A t U

* 7ВЛ h уиЧАя.А В J < е ,

что и требовалось доказать.

9 . 6 . 2 ° . ^ересечение

JA.- изиддимых^нок^ств

/с-изме-

pjuio.

Мы инеем А, Л Аа__= ( А ^ ы

и наше утверждение

вытекает из замечания

3.4ц.

1\^^.ЬА°

1 Действительно,

пусть Е ^

(A,UA^ A

(ß<u B t )

, тоесть,

E = [ C A , U A J n

( f e , U B j c > [ C & ^ B j O

(.A.oAj^J

с

С

Л

N

C

с

Ь

4

й

] С

Так как(МиІ\Л = М

, то Е = [ С А , о A J Л В, п

Принимая во внимание распределительный

закон (А °

В ) О С. =

— САЛС^Л [ В Л С )

,

получаем

Е = ( А , Л Ь , С

л В ^ Ѵ ѵ

(Ая.пВ^л

В г Ч и ( В , л А , %

А £ Ѵ

и С Ь г л А , с л

А^-)с

CA,'о

Ь , с ) и ( . А і л

) ѵ_»

о (&,п А,Ч о

с

"СВ^Л

А г

) ~ (А,\

о ( А ^ B j

^

u i A , Л

B j < Я<

А ло/

Из /9.Ѵ/, /2.Я/ и /Г'. 10/

заключаем,

что

1 Дс(.С)-дЦА)

- ^ ( В ) I <

6 £ ,

.откуда, в силу ПРОИЗВОЛЬНОСТИ пололптсльиого £

,

Jü.{C.)~

Отметим, что, поскольку ссношмі. нромсздток До ,

как

элементарное

множество, является

уц. - :ІЗМСІ.І:І..,І!І'., ТО

ИЗ пр

ложений 9.G

1°-3° втекает, что система

/> - нпмерииік

мио-

яеств является алгеброй множеств, 'іспорь мм H СОСТОЯНИИ доказ

что эта система является

олгеороИ. ,.лн этого нам д

^i^!£^^ДSïii£!LÄiSiêt!ы

}*- -. игкс m um гнокеств

/^'Jî^

Доказательство, ьусть A,,

AL,'...

yjL

- измеримые подмножества основного промечутка А 0

и

А =

І Ѵ ^ А^лолагая

А = А , ,

А^' =

А ^

^ .ЬСі' А * 1

пл

iL , - - -

', по-нре.".:нему гмеом А =

U ^ L ^

но, кроме того, множества А, ,

> •••

уЧ - измеримы и

юпарно неперсекаютсн и, для какдого натурального тп.

,

Так как U ^ ,

Ак' С Д 0 ( то

( U ^ , АуЛ ^

Д (Л 0 ) ,

а поэтому-рпч HjZA

>-х С А ^ ")

/ о

неотрицательными членами/

сходится. Пусть £

-произвольное положительное

число, a U ~

такое

натуральное

число, что

21

и ( А . , 0 < -f-

•

/ 9 Л 1 /

Полояим

А £

- как

конечное объединение

y-t - Измеримых множеств,

ти, существует такое

элементарное множество

А £

, что

^ А > \ Л < ІЯ_

/9.12/

Применяя /9.6/ находим

A * A t = [ А / и ' С U

А;{] A [ A t

o S ] c

TON

С(А £ ' А. А ^ Ѵ Д ^ А . ' )

а п о э т о « у ,

используя полуаддитивность функции jx*

,

получаем

(А *

4 /л CAT'

* A > I k

f

1 Aoî ) -

Отсюда, в силу /9.11

/ и /9.12/, ^JL* (A A A t ) < £

, что

и требовалось доказать.

и (.и

. U = I . ^ L A ^ .

Доказательство. В силу 9 . G . b ° , множество

А —

U

А.-,,

у. - измеримо. Так как А S3 U^-.^ АЛ

то, в

силу аддитивности

меры п. , Ч^АІ

U,,_, _Д^- ^ А «. )

,

а поэтому также, U ( A I >

X '

ДД. А-,,.^

. Обритние

нера-

венство вытекает из

того, что <" ^

^ <>-і и, что

внеш­

няя мера ц*

, равная ,и_

на

/д-кзмерииых множествах,

обладает

свойством счетной

полуаддитивности.

е.6.6°. Мера^Леоега -^тильтье^а^эбладтт следующие

-

сно^сдікм^ор^мльнміі^

Ад. 1 А д , • - - U- иаые

ри«ы, А, s А р Т ^ А м э...

V

А и - à

, до

Ь>ѵи L L [ A ^ - 0 .

Действительно, в силу счетноН аддитивности

меры U. ,

jiA f O

= jut (.A m4 A ^

Л * ^ САм«\ A ^

) + ••••'

так, что

juA£\„v\

является

n -ым остатком сходящего­

ся ряда

Х-»?.

u( . A чч -^-пЛ

/с суммой равной

Доказательство того, что из аддитивности л нормальности

вытекает

счетная аддитивность, приведено, в

следующем пункте

/с

ности .

' - 28 - •