книги из ГПНТБ / Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций

Всюду в

атом пункте І.ІЫ предполагаем,' что " область

интегриро­

ц. -'измеримое' ШіоѴеЗтЪо'в' ^R*

8

вания "

I )

есть

з*»**"

удовлетворяющее

условию %:

1 « •..

4 " Ï.м .

' ' ""

/

. г'«,»;.»«и»95?!«к -даиювбезЛ

От этого условия мы освободимся, лишь - в . . п * *

• gifej!

2.1

Определение. Пусть

: ІЙ^ '—îs.'IrV*:

i '

jSiX

есть функция, заданная ни некотором множестве

)

.

Эта функция называется

yu. - liHTer^Hjr^eMpJl на Ъ /или,

и - ду^шщу^мой на .1}

/, если суиение £ . на J)

есть

тегрируемая па _D

функция -fp, / £0

£ L t l ^ (Ь) . . . 1 -

см. определение 1.6 /, что

,

, •. -»

I

{ U ) I ^ { о U ) -w^a

i е Tf._

; • /2.2/'

Множество функции

, заданных на J)

и -'

интегри­

руемых на -.и

мы обозначим через

2.2

Предложение. JJH^TOTO, чтобы -f é

L^'-Cî)),

дадбдодто^и^дос^ио^шо^

| U U i

, ^ V € L

С Ь) , кр^о^д__сходйтся_к • £

£авио-

мердіона J3

!

-

•Д о к а у )

I

в л ь с I в Oi Пуоіь .-С é І_д Cî>)

и.

пусть )

- последовательность, простых

sju: -'из­

меримых функций,

которая сходится к £•

равномерно на .JD

J £ « U l - {"»I Ч t t

/2.4/

i < U l *-»«4 U < * » W t

« . в с«эу /2.2/, .

« « U f уелда.я /2.1/ j j

, €

ù)

/ f-* '

яцршмфастяческул фуикда» множества Л ; eu. при-

'V3dL ж» k * $ ï ) f e ^Ѵ»^

'lb')

I,

в силу замечания

Обратяо,

если

и выполняется

усжовае /8.3/, то,

в еялу творены 2.1, § £ , фуикция Ç

,и- из

якфямк 1

u

J )

• Выберем V

настолько

болыям, чтобы

для всех

выполнялось /2.4/ ж иолохли

f о

~

• ^ i U A ' v j . ^

. тогда

(о t

L n w L i > )

Й

ЦыіА ^ V ^ W A K \

- ^ о ^ ) , т о

есть выполняется

уежовяе

/г.г/,

что <* требовалось доказать.

2»3

П р е д ж о ж е н к é. JJjcjjk

t L ^ t î > " ^

JSJJÏ?*?

-^осжедр»тельнрсяН^у_як-

ествуит конечные

Jtùrv»

SÇ-»djk .

for*

і^ыаи.

- S E

-

I-ÇIMU C^UO

,ппи x

t £ > .

/3.1/

Если o^t L ^ l î ) > : .

' 1-X2.. {bU^ib)

• ІЦчастно-

сщ^есш.

JU. -„изид^имдя^івди^^

J )

, то

шіа

3-3fiî2£EJΣy3ï5Ji2. ^ •

Доказательство. Если ^ £ L ц (î>)

то

оуществует такая функция

о^, t L H ^

, что С^ОО^

C^„l*} '

при X £ Ï)

/си. определение £.1/. 3 силу

/3.1/ инеем" \Çt*Vl ^'q0

(х)

при Ы. é 1)

, а это озна­

чает,что ^ t L

(. и)

. Второе утверждение теоремы вы­

текает

из того,что функция,

равпая на 3)

константе,

и. - интегрируема на Î)

/ при условии,

что

СТО < - 3 0 J

см. пример 1.3 /.

3.2, Теорема. Если jx.

, тр^тобдя^^нк>

ция^ [\ , задатшмт 1)

, является

^ - JJHj^erpHjjyj-

euoBjja

дУ

1

S^'Ç^f1 =

О

Л'огк азательство. • д - измеримость функции

£ на' *J)

~ вытекает дз того,

что любое подмножество множ

ства

JA- меры нугі

jx - измеримо и имеет

Д- меру,

равную нули. Если

£

- простая функция,

то утверждение

теоремы вытекает непосредственно из /1.5/

/ поскольку в э

равенстве ЗХгС

, а поэтому уиЛВч)=0

/• Для слу­

чая "не простой функции '

доказательство получаем пред

ным переходом,

на основании определения 2.4.

3.2' '

3

а'м'е ч а н и е. Наше определение jx. - интег­

рала предполагает,

что область интегрирования есть непустое

жество".^' дальнейшем мы считаем,

что, по определению, любая

функция

jjL - интегрируема по пустому множеству и, что ji -

üiüJIS

• ]ій3^^юд^_бнр_дт^озз^

1°

Ь',сли

U

l b )

а

с ç

то

и S c ^ = c 5 H f

г0

ЕСЛИ

{,,c^

CD) ) то Ç ^ 6 L u l u )

3°

Если

{«L^CÜ)

и { і х ^ О

прихбі),

то S

> 0 .

нии леммы 1.7

и определения 2.4. В частности, для доказатель­

ства утвернденип 3°, заметим,

что, в случае когда -Ç (х) О

при Х.е.3)

I и, как видно из доказательства теоремы

4.1, § 2, функции Its,

из 1-.П

С ЗУ)

, равномерно

аппроксимирующие £

на 3

'

і можно строить так,

что $-, M ^ 0

при X t Ъ л

"О = і 1 2. , .... .

o ^ L ^ C Î ^

JAи U(nUHHO^iW^

.при x&"DX£ î> I то

pjjMajia

J)

j^^j^A^ujwejibiio, исполняется /4.1/.(свойство,

выражаемое равенством /4.1/, называется свойстаом^щной

^д^шшюстіі

ja. - интеграла ) .

Л о к а з а т е л і, с т в о. Если Ç

'

- простая

функция,

то иктергплы S^Mf*-

11

равны

cywi.'.ai.i, соответствующих,

абсолютно

иходшшсн

рядов /см.замеча­

ние 1.3 /

и, .в ;ітом случае, ноше утверждение

иытеісает из счет-

ноі аддитивности мери

у.

и правил арифметических дей-

ствиИ над абсолютно сходящимися рядами

/см. /1.5/ / :

Пусть теперь

^

- произвольная функция,

интегри­

руема на

Д)

. Тогда, в силу замечания 4.1, она yU_ин­

тегрируема такЕе

на каждом из множеств А ^

. Зададим произ­

вольное е. > О

и обозначим через ' Ç L

такую функцию иа

1_П^Л1>)

, что / см.теорему 4.1, § 2 /.

/4.2/

Мы имеем

^

Так как

- простая функция, то, по доказанному,

ряд Х^_,Лд .Ц£ Ігі/*.

сходится / его сумма равна

\ Ufl^M V • Поэтому

, при достаточно большом N

»-MV1

\

'