книги из ГПНТБ / Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций

Тогда функция £

называется интегрируемой в ^ÄJÖQJÖ^HOM

омысле по Риману в промевутке & ^ ^ х.fcIRS : О- <• Л <. Ь \

а предел /11.8/ называется несобственным интегралом от Ç

в промежутке Л

и обозначаетсп через Sa

V

> сі^с

/также, как и обычный интеграл Римана /.

Напомним,

что функция -Ç

является интегрируемой в

несобственном смысле по Римаиу в промежутке

Д

, если

этим свойством обладает функция

l y l

& этом случае гов

рят, что

абсдпетно интегрируема в несобственной смысле

по Риману в промежутке

А

.

.Если

^

аб^шп^о^шт^^

cj; iH3ie^jio_J[MaH^B_np^^

Л , то она интегрируема ъ

3T0jjjy)0M*^Tj<e_^j^

Римана

равен ее интегралу Лебега.

Для доказательства обозначим через Ç v

функцию,'

удовлетворяющую / при достаточно бопьшом -О

/ соотношению

\. ос)

при а < X < <ь -

-,

(•О

г,

при

f i

- i

< Х

<

Ь .

В силу теоремы 11.1 i f v £ L ^ u i

Сл^

и

b.

I

а

Кроне того,

для всех ѵ

і начиная с

некоторого,

Ç„ OOS

,

v feЛ

5, с „ < ь ^ « $ b i ç ( x ) l d x .

Следовательно, к последовательности ^ ^ V "

применима

-

90

в ^

, a iç

-

произвольная функция из L^tm (^О •

Кроме

того, пространство

обычно обозначают

более кратким символом

12. Интеграл Рииана-Отилмьеоа и Лвбега-Стильтьеея. Пусть

- ограниченная неубьшащая функция, заданная в промежуте

Д = \ X. 6ft'V а < X і 4

)•

. Пусть символы f и П

и

формулами /11.1/І а числа п

и S ^ j

формулами

функции . , интегрирующей функции ^

и разбиению

П

облаоти интегрирования Д

. По ним, танже как и в

Г

n

*•»-

^

* Ѵ ^

причем предпол^га-

втоя, что

— *

0

при V — * oo ,

ЕСЛИ ^ =

= "э

, то функции

-Ç

яаанваетоя интегрируемой относи­

тельно функции

Од

в промежутке ù

, общее зна­

^ ^ к і А ^ х :

/ 12.2/

а,

a называется интегралом Римапа-Стилыьеса функции -f

функцжм

в пределах от си

до (э„ . Окі

ІІадмо некоторой меры

и

, при

<\

f H M Ï моііГі справа, '

„'

-

92

12.1 Теорем a.

MSSi-^Sîê^iS&SJi^&S^?

а * * < & .

пу_сть

)*. -

MëU^$SS=5BBQ^Sj^SS

когортой Oj

MSSSSSÂJSSSS^USSS^S3S&^^S^3^'

/т0 еоть»

х+СП) = 0 ^ 1 X 1 , а «X 4

( см. п.З и п.4, § 1

Ecmjg^^»mxm

-Ç

,£щшш^»т^інте^^

тьесв. /12.2/,

тр^Іщподя -Ç

jRHJiHeTch

yu - JîHTargn^jeiiolJ

Ijn^MejgTKe (ü.+0 ,

= ^ * ft': OL < x

4 & ] _и

S

$wày<.)=

5

/08.8/

° -

(AV0,<UO)

Доказательство* Рассуждаем также как при

доказательстве теоремы

1 1 * 1 , учитывая при этом, Что <х ) ^

В случае

когда' ^

непрерывна слева, мы определяем

уо„1

как меру* для которой левой производящей функцией служи*

функция 4t—•> o^Ul - о^ 1,0.)

/ то есть, уиД(<Х->0, Х-0)) =

^г^ОЛ- ^ Д

0

^

•*напомн,ш»

что« в 0ИЛУ принятого нами опре­

нуль при X. = OL

. / . В этом случае, вместо /12.8/ имеем

^

fuO

A f t C X Ï a - $

MyU. .

/12.4/

1 3 . Интегрирование

комплеконоіначялі аргяндяИ. Распростра­

ним теорию

JA - интеграла на функции принимайте коивлвко-

ные значения. Если ^ W)

= (^СО + і Кы)

, где ^W) *

вецеотвенны,

то ^

навьшаетая yu. - ивмври-

мой /

- интегрируемой / на множестве

Д), , тогда я

98

нении двумерных промежутков, .'іозтому множество

можно

представить как счетное объединение множеств

F Л

вида

F

A

'^=\xtJ )lV^I): ^(.XJCÛJ-, де

д

- двумерный проме­

Г

жуток. Такое множество F

4

равно пересечению

Сз- о H

\ \ { < ) & \ х \

,

^

и Ь

- соответственно,

веществен­

ная и мнимая часть функции

, а

1 Ах

~ такие

одномерные промежутки, что

Д = Л^Х Д г

. Так как по усло­

вию

^

и 'К.

• ^ -

измеримы на

] )

,то множества

и

W

^-«измеримы и, следовательно,

- изме­

римо

множество Fç_ .

2° Пусть Oy

' и W

, соответственно,

вещественная

'и мнимая, члеть функции

. Так как

тЬ из

у.

- интегрируемости уункций

и .К

вытекает

у.

- интегрируемость функции

. Обратное утверждение

вытекает из неравенств \^Оо)4 $

(Уі) , l b 1x1 )

.

Что касается оценки /13.2/, то для простой

- ин­

тегрируемой функции

£

она очевидна: в прежних обозначениях

/см.п.І.Ь/

имеем

с чостными сушами, равными

, u.et,г.,... . Поэтому

U - почти всюду но 1)

существует конечный предел

/

іокакем.,

что Ç-

является функцией, существование которой

требуется доказать.

Зададим произвольное £, > О

и обозначим

через

N

такое натуральное число,- что

К - Ц и і ^

Ш

, и

что

<

с , i>N.

/ и . * /

Следовательно,

, а поэтому такие -f =

= U " ^ c \ v ^ {

6

Lyu CD)' ;

Кроме того, мы инеем

в правой части последнего неравенства,

при большие у і

относительно меры ju.

на множестве

Д)

, содеркит не

торую подпоследовательность,

сходящуюся

^ - почти всюду

на

ID

/ см,соотношение

/14.1'/ /.

І4..4

Замечание, Если последовательность

)Ç\>\

Ci» е L - ^ l b ) , ^ ^ , 1 , . - . сходится в

(.]>]

функции

\

и к функции

I-

, то функции \

и j

экви­

валентны на

. Действительно,

откуда SJJH -Ç-ld^

~ 0

и наше утверждение вытекает из

следствия S.4.

1 4 . 5

Замечание, в теории интеграла Римана те

рема, аналогичная теореме Фишера - гисса, неверна :

Предел

в среднем последовательности функции, интегрируемых

в смыс

функциями интегрируемыми по Риману

и вынуждены рассматрива

также функции интегрируемые в смысле Лебега.

§ 4, Теорема Фубини

'

1. Произведение мер. Пусть

ул.,

и

- меры

га dl Ri 14

I

,

/

и ігѵ^- m

-r»^ /у\ ^

- некоторые натуральные

числа/;

1.1

il р e д л о и е и и е 1

. ii^JSMflor^jiBOjjesy^tM

д

с î R o

^ m f

X

.подам

jLLlûl = ^ U

V

^ U

J

,

/Ulf

,где Д(С 1)1,

1 Л г C l R L

, - Micjje^ouejcyjPKM, что

Д =;

Дрмю^тка Д С !Й,о •

Доказательство вытекает непосредственно из определения

меры Отильтьсса проыекутки,

которое дано в п.й, § 1. проверим

например,

что функции ^А.

, заданная форнулои /І.І/, являет­

ся нормальной. С зтоіцелью, пуоть & é.IÎ)<,

•-• »* такай

последовательность промежутков, что Д "Э Д Э--.ЭД з>... и

Д - т$3 .

пусть

А* -

X

^

где

A j ' g

£ l j . І ^ А '

Тогда либо ПД, Д

<

, Либо

П . Л . Д т , — и , так как меры д ,

и

обладают Свой­

ством нормальности,

либо д.ОО.~"* ^

. ливо и, (дѴ^і

0 0 .

1

По определению,

пространство R 0 1

есть множество всех После-

доватольностел

(х,

,ХѴ)

ив т\

действительных

чисел. Пусть к. -'некоторое натуральное число <'К

І МЫ

будем отождествлять последовательность (,х4

, ....ХыЛ

с па-

рой {.и,

двух последовательностей и. = ( Х< ., ... ,

£

[ j ^

»

V = ( K , . + i r . . , ) i J ê f i } r "

. Это по­

зволяет нам отождествлять пространство

с прямым произведем

ниеы Ш *

. В частности,

мы можем отождвствяять Про­

странство

Re

, о котором речь Идет в предложении і»1,о про—

странством К

Отметим,

что применяй индукций, мы -

ыонем притти к тождеству

.

4

= ßfc ' X —

X Ift 1