Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

3.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 132 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

5. Миогрмерный одумай. Пусть fx - мера Стильтьеса, эад

. ная на TL -иерных промежутках Д , содержащихся в основном

промежутке А 0 = « t 0,(Ь°ѢОІ К . . . ч Ы ° + 0 , ^ ° t О) . Подобно одноыерному случаю, мы можем образовать "производящие

функции /теперь их количество равно 2 ^		/
~ = M . ( U Î t O , x , i O ^	X ('<	кО,х„+о)

зт тѵ. независимых переменных. Функция <g + .ограничена,

ие убивает, по	при фиксированных	. , *.к<.(	Х-ц
и непрерывна, со соответствуете!) стороны		, к =

Это утверждение и его доказательство аналогично предложению

	Рассмотрим обратную задачу. Пусть						есть ограни
чивая функция от (х,					Хѵ\)	, неубывающая по			х,
:ри фиксированных хЛ					, х,<.^., , ... , х~, .
"зп	построения по этой функции /точки/ соответствующей меры С
.*>еса введен следующую терминологию. Вершиной промежутка Л									~
						будем называть
-рошавольную "точку" х^'С^Ч						> где ^		- о ^ ± 0 ,
				либо уj• =	t 0( j=	/, . . _ n		I с тем
чв знаком			+	или ' -	, что и в выражении "для А				/.
ірев		" ^ ( . ^		обозначим число тех "координат"				вершины
\£	, которые равны соответствующему					і 0 /т.е., меньшему из
					о
г?тх возможных значений /. Положи*
fx	{^)-	J J L ( W , t O , j V o ) x . . . ) ( ( < І 0 \| ^ І 0					, ) )	=
?д»	.2^	распространяется на все 2 ^				вершин промежутка Л
Та* »*данн%я функция уц.					является мерой Стильтьеса.			Доказыв
йте «о іак же как и предложение 4.1.
	Рвковеидувм пржмвіить эти построения к мерам, описанны
ауіітщ, 8.2			л двухиериом а трехмерном случае *

- 10 -

Пример: Пусть ru = 2	и Л 0 = 1 D - Û		, ß , + o ) X ( ö - O , ß ^ ü j			,
а уиЛД) есть площадь прямоугольника Л С А 0
Тогда все четыре нроиаіюдшцие функции равны				U (	,ХдЗ :3 Х(	Хд_
Пусть Д - А ^ Л ^	1 где	- одномерный промежуток
с левый концом Ы. •	и правым Лх		,	\ --\	•

Тогда

Рис.1,

G. Алгебры элементарных и борелевских множеств. Задача

о продолжении меры Стильтьеса. Система GL				подмножеств множества
)( называется алгеб^ой^шжес^тв, если выполняются следующие
условия;
1/	X	€ &
г/ЕСЛИ		А и B c G I	, T O A u B , A 0 B		« A 4 3 É & - .
Ha	этих условии вытекает, что'еслж CL-				алгебра мвожео»
			. Кроме того,
Алгебра множеств Gt.			называется	б^-влгвброі,
если
Отметим,		что в алгебре множеств QL			, не явіялміся

-11

	(f	- алгеброй,		выполняется		лишь более				і:л;боо условие
/ для конечных			но не	счетных объединений /
	4/	Ü Au	€. O l	,	если А	A	,	,	t	GL .
		к = і
	6.1. Определение. Алгебра /							6~	-алгебра /
таьшается^пздоаденной системой множеств							$		. если У с Q.
и Ci	с	СѴ	для любой алгебры			(	б~ -алгебры ) множеств
$ (/	, содержащей систему				У
	б.S. Предложение. Для_кажлоІі									мнонеств
с5	дуде^тв^^атігебра			/	б" ^â?r j^Pa		/		I t	) мно^-
Ж^СТІІ^. пор^ждднид^и^темой					-іт? .

Доказательство. Из определения алгебры

/6" -алгебры / множеств вытекает, что пересечение произволь

ного семейства алгебр /				6* -	алгебр / является алгеброй
/ 6"" -алгеброй /. Семейство алгебр /						б- -алгебр /, содержа
щих *У	не пусто, потому что система всех подмножеств мно
жества X	—	U S		является		б- -алгеброй,			содерха-
щей систему ^§
Пересечение ( Х С ^ )				семейства всех алгебр /					g--алгебр/,
содержащих систему			\ß	и будет алгеброй /			6~	-алгеброй /,
существование		которой требовалось доказать.
Возьмем в качестве X					"основной"		-мерный проме
жуток Д 0		, а в качестве *с5			, систему всех ог. -мерных
промежутков А С А„			.В этом случае алгебра,				порожденная си-
стеыоі ^		, называется системой^элдм^нта^ных множеств, а ее
элементы - ^^жкт&^яшш^шохеств&м					/ промежутка Ас				/;
в* -ажгео>., порожденная данной					системой (~é>		,	называется

оіотемоИ бормевских множеств, а ее элементы - б^цкдд^ьищми^мно-

жествами / промежутка До /•

6.3.Предл-ожение. ^№SS^S3^S&eSSS2^°J!S°^S,

АС До ejjjb^j)6j>ejr»MBjie^

-12

Доказательство. Объединения конечных1			систем
проиежуткоь	Дй содержатся в	алгебре, порожденной
в о е и и промежутками А С Д 0		• Кроме того, эти объеди
нения сани образуют алгебру множеотп.
6.4. Предложение. ÇHjÇ^ej^^oojejuîBcjaix шшжесдв
проыеиЗЦіа А0	содераот 5^^ïï^î!î5JLJ5S^35H!lïï^îï5JlS5ï50~
жества^ этого	промежутка.
OögaiHo,	6Г" -а^^о^^юдшшжеотв, по^юіден^ан^отщы-
тыми / Hnj^3amcuj(TUMii^/ подмножествами промежутка Л р			>..S25~

падает с системой борелевских^іодмножеств этого щюмежутка.

Доказательств р. Поскольку открытое множество, вместо с каждой своей точной, содержит некоторый шар с центром в

этой точке, то оно содержит и некоторый промежуток^ координаты вер шин которого рациональны. Рассматриваемое нами открытое множество является объединением описанных выше промежутков, причем не более

чем очетным. Таким образом, открытые множества принадлежат G"-ал

гебре, порожденной промежутками А С Д 0 . То же верно для замкнутых множеств, как дополнений открытых.

Обратное утверждение вытекает из того, что каждый промежу

ток можно получить из замкнутых промежутков применяя конечное чис ло раз операцию объединения и разности. Для' одномерного промежут ка это очевидно, а для т\- -мерного можно получить индукцией по ті , с использованием того, что декартово произведение ааикнутых промежутков замкнуто.

6.5. Зщ»ечани.е_. Систему борелевских множеств иногда опре деляют как о~-алгебру, порожденную открытыми / или замкнутыми/ множествами. Это определение применимо к подмножествам любого то пологического пространства.

Теперь мы можем сформулировать основную задачу настоящего параграфа: Дана_ме^_^вльть*оа ^ц. , ^aдaинaя%нa^£p_oJИж^к«

-13

Д С Д 0	. Продолжить	1 эту меру с сохранением неотри
цательности аддитивности и		нормальности на такую б" -алгеб

ру подмножеств основного промежутка, которая содержит все пром

жутки Л С Л о , а, следовательно, также все борелевские мно жества

Мы изложим решение этой задачи, найденное А.Лебегом. 7. Мера Стильтьеса элементарного множества.

Нам понадобится такое простое замечание:

7.1.	Замечание. Пусть дана произвольная конечная
система \	А К ^ А	элементарных мнокеств Д к С A D • Тогда

существует такая конечная система попарно непересекающихся про

межутков \_ Д гпу \	,	что
A k	=	U	-
Доказательство. Рассмотрим сначала одномер
ный случай. Пусть				" промежутки,
объединениями которых являются элементарнне множества
/ ом.предложение 6.3 /. Пусть \\			•> • • • ч ^"Ѵ-п		есть по
следовательность чисел о!,			° 1 ,	••• I \|/1n		,
расположенных в порядке		неубывания. В качестве промежутков Д-т
достаточно взять открытые промежутки вида ( f j ' V					О -,	О) ;
ограниченные последовательными вершинами ^					и у	и
"одноточечные" промежутки C)f'j* - 0 >			+0)	•
В	-мерном случае мы применяем описанную процед

ру к одномерным промежуткам, декартовыми произведениями которых являются промежутки, в виде объединений которых представимы ра сматриваемые элементарные множества, а затем берем всевозможные

1 Пусть	-функция с областью определения 1)	и пусть D*2
Функция -С* называется продолжением функции -Ç		/из]) / на_0^
вслн^* является областью определения функции		и -Ç*Cx}=Ç(x
пря rt'eï» .	- 14

'Yu -^мерные декартовые произведения полученных одномерных про межутков.

7.2 Следствие. Каждое^ле^іедітіЧ^

пр_оимутков.

7.3Опеределение. Пусть уо_ -мера Стилыьеса,

заданная на промежутках				А С Д 0	• Продолжим функцию^Х- на
систему	элементарных множеств А С Л 0					полагая *
		•	ytJL СА^І - Z Д		U v t )	,
где сумма распространяется на конечную систему \| Д к \|								попар
но непересекающихся промеяутков, объединение которых равно А
/см.предыдущее следствие /.
Однозначность этого определения доказывает следующее рас
суждение: Пусть A = U < = 1				и A ^ U j - ,			^ j j	, где
промежутки і ^		•>-..,		попарно не пересекаются и промежут
ки ^ •> . - .,				попарно не пересекаются. В силу 7.1,
существуют такие попарно непересекающиеся промежутки								, €.дТ>---
что каждый из промежутков \к					и ^		можно предотаиить
в виде	объединения промежутков					. Учитывая аддитив
ность меры		jx.	, рассматриваемой на промежутках, имеем
Z

= . Х -	f-{.-™) ~ 2 1 2_	jmCe-^W
.=	21 L C ( U	= 2L

7.4 Замечание. Мера Стилыьеса уи. « продолжен ная в соответствии с определением 7.3 на класс влементарных кяо-

1.Продолженную функцию обозначаем так же как и иоходнув. Ив-за однозначности продолжения это не приведет к недоравумеииям,

-15 -

жеств, сохраняет свойства неотрицательности аддитивности

и нор

мальности. Ее неотрицательность и аддитивность очевидны.

Нормал

ности

мы сейчас доказывать не. станем,

поскольку

вскоре

получи

более

общий результат. Однако,

для дальнейшего

нам понадобится

следующее предложение.

7.5. Лемма. Пусть А -^эл£ментардще.ч мдоаествр,

со-

^epja^aecH^B

Д 0 _и Ь

тШЩ?ІЧ^5!ІЛШУІ0

• , Ö M e ~

cwäjejrji^oe^jäaw^^

.В i _ A

что

^ѵА^-

^ ( Ь ^

< £.

^ j j y j i i e j ^ B y j ^ j ^ K ^

в осн

промежутке До

элементарное множество С

. A c t C i , , tчто

дССЬ /ДА) < £ .

Докаэатель.ство. Утверждение достаточно дока

зать длн случая, когда А

есть промежуток. Рассмотрим сна

чала одномерный случай. Пусть например-А =

- Ö , ^Ь- О)

Положим Ь = 1^-0', (і,+0)

, где

сЛ

C ^ C J ^ O . ^ - O )

, где

^ 0 <

< «С

/ ^ 0

левый

конец основного промежутка ДD

/. Тогда Vs

- замк

нутое, a Ç

-открытое множество и

Ъ С А С е С Л

Далее,

ANB = ( ^ + О ^ - О )

, С NA = [^-D

и при

, 1^

^ d, 4* (J,

промежутки А4

и С4

стягиваются

к пустому множеству,

а поэтому их мера стремится

нули. Следовательно,

возможно выбрать такие Ы,л

для которых иДАІуі (.&) = ДІА^ВІ

< £

^ІІО ~^с( A l =

яСС

^А") < £

Подобно рассуждаем в дру

гих возможных одномерных случаях,

а в

<у\ - мерном случае опис

ный прием применяем к одномерным промежуткам,

декартовым произв

дением которых является рассматриваемый

тѵ -мерный промежу

ток.

7.6Лемма./ Счетная полуаддитивность меры эленентар-

иого множества /. Лсли А , А п

) • •

~ элдментариые

множества и А		С U	А „	, то іл. С Ai		21 М- С	) .
	.	^	»		у	IV . '
Л о и и :і а т ѳ л ь с т H о. Предположим сначала, что си-
чуьѵа .ілнментарныу множеств				А л	) А	, рокрывающая А
ивлнотсн кріочіоі . Пусть					- такая система попарно нѳ-
ісрссскшіпіихоі nporo.'v/ïiMB, что					каждое из	множеств А ^	, . . .
.. ,	ость объединение некоторой конечной подсистемы системы
I	см.замечание		7.1/. !'.ы		имеом

4 І Х ^ Х			^ ^	= 2 1 / ^ )			.	-
Случай счетного покрытия сведем к случаю конечного покры
тия, используя		компактность замкнутых множеств,						содержащихся в
Д 0	.С этой целью зададим произвольное £•> 0								и по
строим такое замкнутое				элементарное множество				А ' С А
для которого		jx. (.А\	-	А')	<	'и такие открытые эле
ментарные множества			А^	.	, что	СА^		С Д, 0	ц.
	/лЛ А^1 )		~yÜL (A J		<	1 0^ = ^,2.,.,- .
Очевидно А ^		U А.-у, * а поэтому существует такое							натураль-
кое N	,	А' С		U j l , А ^ .

/ из счетного открытого покрытия компактного множества мы извле каем конечное подпокрытие /, Поскольку для конечных покрытий

лемма уже доказана,	то
Отсюда jx		, что в сижу
произвольности £	приводит к требуемому реіультату.
8. Внешняя и внутренняя мера. Пусть jx-		- мере Стжль-

тьосв, заданная на элементарных подмножествах основного Проиежт*-

яа Л 0	и пусть А	- произвольное, лодняожество	втого прошв-
жутка,	Следуя R.Jie'lery положит»		,

t и л к э А « '

где точная ниннпн грань распространяется из всевозможные систе

мы	1^и.\		промежутков A « . С А0				, іюкрырапівдр шіп-
нество А
	Функции jx						г
					называется		I «е'егп	-
Стильтьеса,			порождаемой мерой Jx			/. Нижней мерой		ппзнва-
ется функция уц.»					, определяемая	соотношением,
•где А с		=	А л А .
	8.1. 3 а м е ч a H и е. Дчя. любого А С Л ,							, \х	(&)4
4	№-* (. А^ -			Действительно, пусть дли некоторого				А
уиі; ( А") >			Д *	(А4)	, и есть j a *		С Ас) ц А ^ (X)	> А [А,
В силу определения точной нижней грани найдется такая									систем"
промежутков j Д ^					, покрывавшая А°		и, такая систем!
промежутков			^ А ^ \		\ покривагчцая	А	, ''то
	М	О		> 2	мЛА^) + Z.		К " )

5 силу леммы 7,6 / о полуаддитивности мери элементарного ІУО.ЧП-

ства/, последнее	неравенство негозможно, imjoM.Y «то cnc",I,M
^Д^І и ^	I	вместенокрвват А с
-.2 Р р е j		о j в s м / Счвтши	полуплгггивч-»" г; і''
ней меры/. Если	А . А, > А Х > . . . СЛ , д А		С U ^ f - : A,v, ѵ

Д о к a s	т е л ь с т з? о. Рятачим произвольное £.
и через ^ Д ' ^	обозначим такую систему промежутков, что

при 'Ѵх ~ А , X ) - ••

существование такой систеыи ^ Д ^ } вытекает непосред

ственно из определения точной нижней грани и соотношения /8.1/.

Мы имеем А	с U	С U	Ü		« а поэтому
		-у* К.
/	-v. 4	'			/
откуда, ввиду произвольности t >				О	, вытекает наше		утверж
дение .					— -
8.3. Предложение. ^Ш^ОКЯЗОХѴШІ						А ,В> С	Д 0
çJIp^eдливa^^дJ^l!iaд___04Щдa,
Док а-з-а_т_е л ь с т в о. Легко видеть, что А С
СВО [А * Ь )		I откуда, в силу полуаддитивности
					1	^ Ч А * В ) ,
внешней меры /см.8.1/,			(А> 4		(В.) +	^ Ч А * В ) ,
Так как A Ä	Р> ~ Ь	А	, т о	выполняется также неравенство
			Из полученных неравенств И вы
текает наше утверждение.

9. Измеримые иножеотва и мера Лебега - Стнаьтьвса. Здесь

мы сформулируем определения измеримости и меры, принадлежали*

А.Лебегу. Исходным нам послужит приведенное ниже предложение.

/ В нем	уц.	означает меру Стильтьеса, заданную "«а элемен
тарных подмножествах основного промежутка Д0			, a	ytfc\ ж
jx^ , соответствующие верхнюю и нижнюю меры /.				ч ѵ
9.1	Предложение. Если А С Д 0		Д	- эае-
)^тарное_множесга£,		Х9.

1 о ка з a i е л i о I i о.. На опрёделеия 7.Э мери элементарного множества и определения /8.1/ внеякеМ меры іымжае*

- 19 -

<<< < Предыдущая 12 / 132 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ