Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

3.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

случаю,		когда A W H		= А	•	• • = S i		и учесть зам.
чание З.Е			, согласно которому интеграл но пустому								множеству
равен.нулю: обратим внимание						пато, что в наших			предыдущих
рассуждениях не нужно предположение, что рассматриваемые мно
жества		не	пусты.
	5. Абсолютная непрерывность интеграла. В этим пункте
мы докажем,			что " интеграл,		по множеству			бесконечно малоі меры,
есть	бесконечно малая величина". Это свойство								интеграла назыв
ется его абсолютаоИ^^^							Точно	оно формулируется
следующим образом.
	5.1		Теорема; Jly^cibjliyiiKuiin f : IR —» IR							^івлпотси
^ - ^)£т^£Р^Р^емой_да У>						. JOV^JXMJ^KAOTO			£ >		О
cj^ecTj^eT__MKoe сГ > О						, что \| S д { сА^Ц I < £				,	если
А	"	U- HjMj^MjjejTojire^^						Л)
	Доказательство. Пусть
A C D	j	A		измеримо		и jx.		. Положим
В силу теоремы 4.2, мы имеем ^ д							^ ^			^Аѵ ^^ Л"
Выберем N			настолько большим,				чтобы выполнялось неравен
ство
											/5.2/
где			- заданное положительное число. Тогда, принимая
so внимание			следствие 3.6 и/5.1/, получ,им
	$ K l c U « Z .			^ + О д І А ^ + 4 . . «(N+02.						М М * -

= (М+-0>Ы А ѵ ) + | < ( W H ) У + 5 .

.. JÜ ді-

) $

(.А 1 < ü

. Следовательно,

если взять (5<

<e/ä,(Wn) , то I SA Ç

I < SA I Çlot^ •<£

, что и требо

валось доказать.

, .

6. Интеграл и эквивалентность. Начнем со следующего пред

ложения.

е.Ь ï е о р е м a. 1£сіт_^ункіт^Ш~>

з^данеміа

J)(

Заесть

1) С

, j i

^ -jrp_ejje6p_ejwMa

/см.определение 6.3 § 2/,,^р__она

^ -^штегри-

Доказательство. Пусть Д)0 — \ *

По условию, Т)о

- есть множество полной

уи. - меры

на Д)

, а поэтому jx.

(2) NÎ),,) ~ О

. Непосредственно иа

определения

JJ-- интеграла вытекает,

что / простая на 3>в

функция -Ç

|л. - интегрируема на 3^0

S^,

-Ç <Л^и = 0 і

Кроме того,в силу теоремы 3.2, Ç

ИЙТегРиРУѳма на

î*

!),,

САь.=0

. таким образом, в силу адди

тивности интеграла,•

6.2

Следствие. Пусть -Ç -, ^ '•

— *

функции,

заданные

^ - эквивалентные на J ) • / см.опре

деление 6.3, § 2/.

Если \

lî>)

,^то

Oj fc

CD)

_и

\.Д A u

S o,c*K_

Действительно,

функция

^ ~ т

пренебрежина на J )

Применяя к ней теорему 6.1, находим,

что

\ ç

\- j - CD")

^ 1 ^ 4 ^ = 0

.ЕСЛИ . { e L ^ l P ) ,

Нетрудно привести пример функции,			но являющейся нре
небрекимой, для которой		^ ^ ^ . = 0 , причем д'.І'0>0
Однако, если функция ^		знакопостоянно,		то теорема 6.1
допускает	следующее обращение.
6.3	ï е о р е м а. Л^сть ^ è		L u	CD")	_и -( U1 г- О
	a			и
JA. - J153ïïï-J!£!?ïï-"		"	^ / ~ 0		, то

^^и. - ДЕедеб^мшш^і^ D .

	Доказательство. Предположим, что Ç<-*) > О
на некотором		д -^измеримом мноместве с			-0	, причем
/Д-СІ>о)>0 . Пусть I>s>= \ X feDp : т			^	< Ç o o s	t j	; Так
как	~	V и.СОг^-Ѵ - ••	, w	существует такое
О '' , что jx (		> С •
	Принимая	во внимание, что	Д - интеграл есть неубы

вающий функционал /см.следствие З.Ь/ находим

вопреки условию, что	•0

6.4Следствн е. Если

S^W^^O	, то lç	j^-j^ene6pewmjta	.
Поскольку,	как выяснилось /см следствие		6.2/, значение

^А. - интеграла зависит от значений подынтегральной функ

не во всей области интегрирования, а лишь на множестве пол j j _ - меры, то естественно обобщить понятие уц. - интеграла

на функции, ааданные ^А. - почти всюду в области интегриров

—

6.5Определение. Функция Ç ' К * Ш ,

заданная	-	почти всюду в JD		, называется	- _ин-
те^и^у_емоЙ__на I )			, если она	~ эквивалентна некоторой
функции с^е. L ^ . (		î ^	. В этом случае, J,K. - интеграл

от \	по Т) . определяется равенством
	I i		ъ
S.6	У а м о	ч'а н и е. Однозначность определения 6.5
вытекает из следствия 6.Й.
0.7	Определение. Начиная с этого места,мы
следующим образом меняем определение множества
Множество Ѵ-^		состоит из всех функций, заданных иа ~\)
jx - почти всюду и			уи - интегрируемых на	, В
смысле определения 6.5.

6.8Замечание. Алгебраические действия над

функциями,	заданными на 3)		jx. - почти всюду определя
ются так, что •
и
Множество L-д tî)^ /		понимаемое в смысле определения 6.7/,
является,	по-прежнему,	линейным пространством, a jx - интег

рал / понимаемый в смысле определения 6.5 / является линейным положительным * функционалом на этом пространстве /ср. с теоремой 3.4 /.

6.9Определение. Пусть функция Ç\ R — * R'

задана	у-- почти всюду на Д)			. Говорят, что."		д_
£уде^5тве^іжш^					, -если суие-
ствует такое действительное число •<ѵу\					( M )	, что неравен
ство Ç	>*тп	^ M )	выпояняетоя		уи.- поч*я
1 то есть, если Ç feL^.lt)') и			^ о о ^ О		у. -	почта
всюду на		, то S-jV^p^-O.		. ,

-73

всюду на X)

• Наибольшее из таких чисел w.

/наимень

шее из таких

чисел

'М

/ называется j^gecrBejmcj^

^вврзшвй/^г^анью^ функции f

на J)

и обозначается сим

волом

f Wicw'moui Con

UAAXI. ель'яллр

Çc*)

") .

Если

не является в существенном ограниченном

на

снизу/сверху/,

то, по определению,шснттЧ»

6,10. Предложение. Если

Ьд.ПЯ

, до

1 ^ < U \ «

w c

l ^ u ' v l

/6.1/

Доказательство вытекает из того, что

^ - интеграл

является положительным,

а, следовательно,

неубывающим функцио

налом на J>

Если

^ , ^ €. Ly_CI>)

л , f u ^ c ^ O O

JA. -^pjiM^BcjDfly__Ha

,jro S j

t ^

^D^A

^ c p 'c

доказательством.следотвий 3.5 и 3.6/.

6.11

Следствие. Пусть -Ç -Д ѵ

Ly,

C M

^ в ^ Д , . . .

и пусть при

л)—>о°

ттыл <ѵи.сі* ЦчОО - -Ç

— >

0 .

/6-2/

*бЗ>

Тогда при

\І - у »

/ 8 . 3 /

8.12

Замечание. Если выполняется предельное

t e l

0 0

соотноиеиие /6,2/, то говорят, что последовательность j V v f v r f в существенном равномерно яа 1) сходится к функции -С

-74

В соответствии с 6.11, в этом случае, можно переходить к пределу под знаком JJL- интеграла, другими оловами, j U . - j $ r

Tjirj3MJ1MHW}H^
MejDHj)H_^j^u3ÇTMH^^		Подчеркнем, что условие
jx (ïO < 0 0	здесь существенно.
В следующих пунктах мы рассмотрим другие, более глубокие,
теоремы о предельном переходе под знаком интеграла*
?. Теоремы о.мажорируемой и ограниченной оасодиноеи.
Введем следующие	определение.

7.1Определение. Пусть последовательность

	, ^	€	сходится .		Почти всюду на		.
Мы окажем,		что сходимость является jnajpjiMjjy_äMOjl( если существу
ет такая функция c^t \_				(.В)	, что	почти всрду
на Л)	, при		Si* Ь I (...	' .
При этом, функция				называется^ у -		интегрируемой цЦо-

jgaHTOkl последовательности ^Ç-f-V^ + t

Следующая фундаментальная теорем* принадлежит А.Лебегу

иназывается Teojpjnwfl^jD^iaj^^

7.21' 9о р sк a--oï£££,

ДИМОСТИ, JO	Jf t Lyu. СТЛ	JL5E? ^ ~ * 0 0
	Н ^ < У — * S<> •		/7.2/
Доказательство, Ввиду изложенного в п.6,
не ограничивая общност-ь,		можно предположить, что ^ ( i O - > - f ( v O
при N — > с*	J9.483Lн а множестве 3)		. В селу теоремы
		- 75


2.1, § 2, функция j -		j L -	изнорима	на J>	. Пусть
обозначает	\|<. - .интегрируемую мажоранту последовательности
\	. Переходя к пределу при \) — * =°			в /7.1/ полу
чаем l Ç t * » l ^ ^ ' ^ 1		при * fe 1)	, откуда на основании
теоремы 3.1 заключаем,		что - Ç é L ^ C D ) .

Раоомотрим теперь произвольное £.> О . ІЗ силу теоремы

5.1/ .о абсолютной непрерывности интеграла / существует такое

О, что

			V	/	.	/7,3/
если	jx	-	измеримое множество		А	удовлетворяет условию
kcb)	uCAU^ , Кроне того, в силу теоремы Егорова 7,1, § 2,
существует такое				^о- - измеримое шюяество J ) ^ С "Ù ( что
уаЦ))-и			< $	и на T ) j		последовательность
^ ^У^		равномерно сходится к			£	. ),<ы имеем

Так как u ( D vî)$) < сГ

, , то, в силу /7.5/і ^ <J <fy< < £ •

Поскольку на і*^ сходимость является равномерной, то суще

ствует такое натуральное N	, что -^ио ЦуІО * f U l \| <—
при -V > N .
Поэтому, при V > M - "

что и требовалось доказать.

7.3Определение. Пусть цоследовательцость

{\|т)\>)=1 ;	£о € L-^CD) СХОДИТСЯ yu - почти всюду на					.
(,1ц скажем,	что сходимость является йгднщчднной,				если	суще
ствует такое число M > 0		, что	jx	- почти всюду на 3) ,
при -м = А, X, ... ,
	1 И < м	•	.	' .	А . 4 /

N следующей теореме, называемой теоремой о огцдничеиІШІЦсх^дшюсти, существенно, что jx (ID")

7.4Т ѳ о р е м а. Лщь f и é Цц. Ф") -,-О^АД,....

Еоли ^ ^ — > Ç		при -0 —з»		jia J )		g смысле
OjMDajWjejJHjlH^		то \	С Lu . (.3^)			XJÏ£?
Доказательство. Пусть выполняетоя условие
/7.4/ и пусть о^ио=*М			при	к 6 D	І Тогда» поскольку
^{_Х})<^>	f	(^е1.д1Ь)	и, следовательно,			выполняется
уоловия теоремы о мажорируемой сходимости /ом.7.2/*
7.5	Замечание. Теорема 7,2 покавывает, что
пространство L ^ СіА замкнуто относительно мажорируемой оходи-
цости и, что		\|л - интеграл есть функционал, ^впцярывянй

относительно мажорируемой сходимости. То же верно для ограни ченной сходимости, при условии, что jk,СЗУ)< 0 0 •

8. Теорема о монотонной сходимости^Эту теорему назы вают такяе теоремой Беппо Леви. Формулируется она оледуюийи образом.

' 8.J.	Т е о р е м а.	^IL^CDV, » = 4 А,---
пусть .	\|л. - діочти^всіо^у^иа^-1)
.		,ч	/оа/

Еоли существует такое					У 0	, что при ѵ = •!,ft.,.-,
					"К/					/8.2/
		С с х ) І Ч Ѵ т		J^OO				/ 8	'	3 /
является			J J S ^ ü U ^ ^ j o a ^				»	^		y"-®,JL
		^ o \ u . = Itrvvi П ѵ ^ К					•			/8,4/
	Доказательство. Обозначим					через			то множество
полной		ju - меры в J )			, на которой заданы все функции
\|.		и выполняются все неравенства /8.1/ и положим
Прежде всего,			покажем,	что yj-
С этой цѳдью заметим^ что
		і_	.		» Q	<ѵ\и-и. X ÊJD.«> •
Предположим, чт.о ^JL(DC«1 >0						.И зададим произвольно
малое £ > 0			.По теореме Егорова существует такое
у.	- измеримое множество А£ С						, что ц.СІ>Эо~) ~
_ ^ U t W				и C ^ u ^ - ^ u ^ - i О
при	>о —^ =0		равномерно на А ^				. Таким образом, для каж-

1В соответствии с известными свойствами неубывающих числовы последовательностей, конечный или бесконечный предел /8.3/

существует на множестве /полной меры в ]J> / техХ дм которых выполняются все неравенства /8.1/. .

дого <Г > О		существует такое натуральной (^)					, что
£ЬЬо ~^,и\У		< б"	при N	> N	,	и у £	h L .
Так как, в силу /8.1/, V% te) -				(*) > О'		при х 6 І>0 ,
то	отсюда вытекает,		что £ ѵ Сх.) - -f(		U) >	g? при
V	> H , X б		. Следовательно,

или, ввиду произвольности £. t

С другой стороны, в силу /8.2/,

так что
При ^U-CT),.4)	и при достаточно налои		, пос
леднее неравенство	невозможно. '.
Докажем теперь, что ^ Ç L^. СЗ})		, где -f	опреде
ляется соотношением /8.3/ на множестве		Т)„ \	( Полной
I*. - меры в 1}	) . С этой целью, при N = АД,...
положим

и обозначаем через	простую функцию, заданную на
соотношением		4
Проверим, что t\ £	C T ) )	, то есть, проверим, Что рад

2- tJ=4 ^M-^AN^ СХОДИТСЯ. Для ЭТОГО заметим, что дли каждого

N функция — -Ç	интегрируем иа Д) ,
.' •	- 79

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ