книги из ГПНТБ / Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций

враче*, множества ^

С Л ^

)

,

Isf —

O y t V

попарно не пересекаются. Для какдоію натурального

-С онреде-

яшн функцию

£ ѵ

» с

областью опридилсиин .D (Лѵ>)

— Ъ

і

следующим образом:

Функция

f ,

, -очевидно,

шшіетсн лростоі и

поскольку

См 1 (.V^f\1 ~

f

(. ^

i\j )

•

-

и-

измеримое

множество,

то функция

£ ѵ

является

и- измеркмоі, тик что f ѵ

£

Легко видеть,

что для каждого х. 6. Î)

,

/4. Б/

Действительно,

если

х é'î)

, то, н силу /4,1/, существует такое

W

* что >( е

« а, следовательно,

то есть

•jf

м

г .... V ,

Ы* 1

<

(00

V

откуда,

в

силу /4.2/, вытекает /4,3/, Соотношение /4.3/ означает

что утверждение

теоремы справедливо.

5. Алгебраические леЕстпкк над измеримыми Функциями, Теп

используя результаты,

касааг.исюк простых функции, докааеи замк

тость

множества

ju.-

изгсрішнх функции, относительно алгебраи­

ческих действий.

'

Ь.1

Теорема. j^OTb

г

—

I T ">

Ift*

мя^всех ,\feЬ

, то ^ :

д е т ь

yu-

i^ÊPJMa^jjyjijKjWH.

i i p i î u ^ j w o j ^ ^ f l ^ ^ p j ^

X

,

\Ç

дакке^ явля^

ется

IL-

измеримой функцией

u к u и а т о J, ь с т ь

о. .снольауи теорему 4,1, пред­

ставим

jiA - нсшорш.іме фупкшш

^

и

как / равно-

Мерный. /

пределы

іоследонителыіостеі;,

соответственно, ^ - f ѵ \

и

\ ^ Л

1,3

11>

• .

'jDiyia

{

V cj.

есть предел

последовательности \ V j

Г

К 0 Т 0

а п

Д V

»

Р

согласно

предло-

. аенцп 3.3,

принадлежит Г|,,

.

Поэтому,

из теоремы 2.1

следует что г V 0|.

есть

^ - измеримая функция.

Подобно доказывается утверкденио, касающееся произведе­

ния.

\ о^.

Принимая'во внимание равенстве

' заключаем,

что если

r ^ i x l ^ O

при

х é. 1)

и

g есть

- измеримая функция,

то -I ' £j

есть

у^- измеримая •

функция. Поэтому,

если, кроме того,

f

есть

и - измери­

мая функция, то

V ' U ' ^

тоже является таковой.

Последнее утверядение теоремы .вытекает из равенства

6. J»- - эквивалентность. В

этом пункте,

как и в предыдущих» j ^ , '

означает некоторую меру Лебега - Стилыьеса в

. Кроме того,

через Д)

uu обозначаем некоторое фиксированное

^д. -измери­

мое подмножество пространства lit

;

в частности,

і>

может

совпадать с

бЛОпределение. Множество А

называется

^

- jijeej^o^ejcHMUM в

D

, если

А С D

, А

-, ^*- из­

меримо и уиДД) = Г)

. Если же

и DNB>

^ - пи-

небрежимое множество в Т)

« то 3

называется множеством

дюшюй

рѵмеры в Т)

. Если некоторое свойство выполня­

ется для точек мнояеетва полной

^

- меры вJ)

, то говорят,

что это свойство выполняется

и.

-

почти_всвду не

. Есл»

(•»1

П,"!

'

и. •= м.

- меса Лебега в IV?

, то приставку д

можно

'

'

'

/

множество

^x«.î> : ^ и к с ^

отличается

от множества !j х (-.З):

'. c^ui <

с ]*

на некоторое

у - пренебрежимое

: l\i

~ * %

з

^ д

а н

ы ^ 3

^ ^

-ÏÏÏ2Ï?"

cjtge

1)

. |^ди^змJgyJHJЩИ__эJtв^^

/ с^носи-

т^ыіс^щш_Ле^ега

д ' 0 ^

/, ^o^H_^paBjnjj^T^_ecTb

-fCxlc

Доказательство, Если в некоторой точке

x0 €.ï> f O d

^о^Уо)

то, по непрерывности ^ О О ^ О О

для всех

%

из некоторого открытого

тимерного про­

межутка,

содержащего точку Х„

. Но мера Лебега такого проме­

жутка больше нуля.

1

, Çv'• ^ 4 1 —>

Ш'

сходится '-у. -J w ^ j H j c j j j j j a

I)

O n j j e f l ^ n ^ y j n ^ r a

-Ç

сл^дувщим^о£радом: I) СП

_естьjrao-

жество / полной

J J .

- меры в £)

/ тех X

П flJT DCÇ-,) ,

для которых существует / конечный/ предел •U''wi

{.ЧЛ

н

\ і.ч.\і IJA'w Ç V U )

. „при, x б ÏK^)

• Eçjnujjregra •(-i

,1^5

H3jgpH3ij_j^j{^HKUM -f

д-измрі*а.

Доказательство вытекает непосредственно

из теоремы 2.1,

поскольку сужение

- измеримой функции на любое

у,- Из­

1 В качестве области определения суммы •{- +• Ц.

» а. также про­

изведения ÇfJ. принимается множество Т)(.И

П ТМ°р-

димости

у. - почти всюду. Точнее,

если

последовательность

сходится

р. - почти всюду на

при V =г I , IL -, • - -

• то

последовательность

такае

с ходится

^ - почти всюду на 3)

и пределы этих двух по

следовательностей

yu. - эквивалентны.

7. Теорема Егорова*

Пусть

Т>

уи.- измеримое мно­

жество в

З^

,причем

Д 1 Ю < ~

/7.1/

Теорема Егорова содержит следующий неожиданный результ

" с точностью до множества сколь уі-одно малой

~ ы е Ры "

сходимость

у. ~ почти всюду / в частности поточечная сходи

мость / совпадает с равномерной сходимостью.

7.1

Теорем в. JjcTb

ул

- J } o 4 ^ s o ^ ^ m j i H o ^ -

стве 3)

пооз№твйхелънот>

\{ч\-^\

}*-- иаШШ

^ЙГНіщий

-о '•

— ^

/ft*v>

— 1 ) а.,

- - -

схрдиігдд к функци

полной

|д-- меды_в J )

_и

_.J!ä£ejm»a. T°J!£JU^JL£§ïr

дого t > о

• 5йв°55і2?~йке

^

zjusiësaastjfsssîs^s.

J>e c j )

» что

(.ІЛІЗ^) < £.

JL3

î)g

JJOcлeдo£a^л№oçть

\Ç-<p\-*Ti оходит^н^равно^іерно.

Дока за те льс тв о. Для каждого'натурального fe.

\

1

w

)

множество

X €І) (4)

№к

~

t

^

l

*

^ if

^ - изй

как

прообраэ открытого одномерного промежутка / с концами -

+ S

/, при у. -измеримом отображении Сч - Ç . Поэтому, из­

Так лак при х t Ы Н

^ '

^ J

=

^U

* >

то

U Л , Г> f

- 1> (И

дли каждого S

>

G

. Учитывай,

w o D f cjy[c.-..

и принимая

во внимание замечание

. S.7, находим, что '

Отсиди заключаем, что для какдого ^

> 0

существует

такое на­

туральное

^(S •„

,.для

которого' р-

при

\) > ÏS/j

- іозьмеы

теперь §~.8у. 4? Я,к

', ^ - ^ к

^ ^ £

' сим'1

, , " D K i

,

Кы имеем

и ПОЛОЯ

/7.2/

Кроме того,в силу /7.3/, последовательность !j

сходится

равномерно на .Ь^

к ^ , что требовалось доказать.

Используя теорему Егорова, можно доказать следующую теорѳ-

ну Іі.іІ.Лузииа:

Дудеть [ ; №Г ~9 1ft1

дсиМ^шшя, ^адавзя__н_а

^-jiejgHDM

gaujtH^T^ijigoj^^Tjje,

] > ДіР^т™£хЗЯВ5й {

была иамерй-

цой /омЬыдальНо^е^ы_ле^бегаутЛ"'1

/jjmp^oj^MOjL достаточно,

(

1

< е. Jl, что функция f

d J M Ç - )

, что. juL '" l.D(Ç)^î)t)

jiejijejMJMajja^HHOjecT^e _Г)

§ 3. Интегрирование

1. Интегрирование простых функций. Пусть -Ç

- некоторая

простая функция .IR'*—*ftV

, a J)

- некоторое подмножество

области определения функции

. Для каждо­

го i ^ t T U ^ /

RC-Ç-1 - область значений функции (-

, а

следовательно,

не более

чем счетное множество ,' положим

Д - измеримом множестве Г) С î) (Ç)

, если ее сужение на

JJL - измеримо и сходится ряд ^

X

C i * ) .

/1.3 /

JA. - интегрируеная на 5)

функция. Тогда сумма ряда

К ~ интег£алш£ от функции -\

по множеству Т) и обозна­

чается символом j \ ^f-

-

.1 Если для некоторого ^еЛЦ-О . иЛТ}*) = -и» (" то1 ряд

/1.1/

считается расходящийся,

То'*е относится к рядам /1.3/,

/1.2

/ й /1.5/, си. нихе.

/ В частности,

£

- простая

измеримая функция/.

Для того, чтобы

была

у.-

интегрируемой на 33

,

необходимо и достаточно чтобы сходился ряд

Z u

Cî>.)

Л . 2 ' /

'

!

Если это условие выполняется, то

S $ Л/А. = Z ^

^( . Б -Л •

/1.5/

Действительно,

если

- некоторое значение функции

,

то есть если \^ б

(.Ç )

, то

где символ U

распространяется на асе значения >>

,

для которых ѵ^о =• \^

. Так как ряды /1.2/

И /І.Е'/ имеют

K^K^S^xÂMSSS^LSBJiS^^S^Sè

L f 7 ^

( 2 ) 3 -

Более подробно это означает следующее

'

1/ Если

тосЦІП^ЛЪУ

и \ с ^ / = ^

d /

3/ ісли

при X. ч.

, то S W/-

Ö .

цель» заметик,

что для любых €

, г бft-(<^\ фрик­

ции Ç и

постоянны на множестве

где символы 2!

распространяются на все ѵ^е ft(.4) й 3 , 0 8

i j l l l j l

И, аналогично,

1.8 Следствие.

u - интеграл является "иеубы-

5â5ïï!LS?5ÏÏ!S5SîïïL5?

П к

СЬ)

t tg_ecTb^jecjui f

,

Действительно, в указанных выае уоловіях, в силу ленжш

1.7, a ^ - Ç & L n ^ C T ) )

, «, так как

<^t*v-:fO<) О

при