
книги из ГПНТБ / Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник
.pdfГ л а в а X . В з а и м н о е пересечение п о в е р х н о с т е й
2 5 0 линдра принадлежат искомой линии пересе чения заданных поверхностей.
Строя ходы ряда точек производящей линии поверхности одинакового ската и оп ределяя точки их пересечения с соответст вующими образующими цилиндра, наме
чаем достаточное число точек, определяю щих вид и положение искомой линии пере сечения поверхностей.
Можно также воспользоваться способа ми преобразования эпюра, представляя ци линдр проецирующей поверхностью.
Р и с . 359
§ 61 . В з а и м н о е пересечение п о в е р х н о с т е й в р а щ е н и я
В З А И М Н О Е П Е Р Е С Е Ч Е Н И Е П О В Е Р Х Н О С Т Е Й В Р А Щ Е Н И Я |
§61 |
|
Х о д а ми точек производящей линии по верхности вращения являются, как известно, окружности. При построении линии взаим ного пересечения поверхностей вращения определяют прежде всего главные точки ли нии пересечения — точки, лежащие на глав ном меридиане, на экваторе, высшую и низ шую точки относительно плоскости, пер пендикулярной оси поверхности вращения.
Рассмотрим построение линии взаимно го пересечения поверхностей вращения с параллельными осями.
На рис. 360 показаны две пересекающиеся поверхности вращения, оси которых парал лельны и лежат в одной фронтальной (глав ной) меридиональной плоскости.
Точки 1Г и 22' пересечения главных мери диональных сечений поверхностей одновре-
менно являются высшей и низшей точками линии пересечения.
В плоскости Qv экватора поверхности вращения с осью оо, о'о' находится параллель поверхности вращения с осью оюі, oi'oi. Экватор пересекается этой параллелью в двух точках 33', которые являются главными точками линии пересечения. Точки (две) 44' пересечения экватора поверхности вращения с осью оіО\, о\'о\ параллелью другой поверхности вращения следует рассматри вать так же, как главные точки линии пересе чения.
Для построения промежуточных точек линии пересечения выбираем л ю б у ю гори зонтальную плоскость, расположенную гделибо между высшей и низшей точками. В этой плоскости находятся параллели обеих поверхностей. Точки (две) пересечения этих параллелей являются промежуточными точ ками линии пересечения поверхностей.
Построенная указанным методом линия пересечения симметрична относительно об щей фронтальной меридиональной плос кости UH заданных поверхностей враще ния.
Н а рис. 361 построена линия пересечения поверхностей вращения, оси которых и глав ные меридиональные плоскости парал лельны.
Для определения высшей и низшей точек линии пересечения проводим меридиональ ную плоскость JVtf поверхностей, проходя щую через оси обеих поверхностей. Повора чиваем ее вокруг оси оо, о'о' в положение, параллельное фронтальной плоскости про екций. Ось 0 1 0 1 , оі'оі' занимает положение
0 2 0 2 , 02 02'.
Повернутая вместе с осью поверхность вращения имеет очерк, показанный на чер теже тонкой линией, который можно по строить как прежний очерк, сдвинутый впра во на величину, равную фронтальной проек ции расстояния между осями о ю і , o i ' o i ' и
0 2 0 2 , 02 |
02'. |
|
Точки hli' |
и 2 і 2 і ' пересечения построен |
|
|
ного (тонкой |
линией) |
очерка с очерком по |
Р и с. 360 |
верхности вращения с |
осью оо, о'о' являются |
Г л а в а X . В з а и м н о е пересечение п о в е р х н о с т е й
252
Р и с . 361 |
Р и с . 362 |
смещенными проекциями высшей и низшей точек линии пересечения поверхностей.
Восстановлением плоскости NH опреде ляем проекции 11' и 22' высшей и низшей точек.
Точки линии пересечения, находящиеся на экваторах заданных поверхностей, опре деляем как точки пересечения экватора одной поверхности с соответствующей параллелью другой поверхности.
Точки линии пересечения, лежащие на главных меридианах, можно определить как точки пересечения фронтального меридиана одной поверхности с линией пересечения
этой фронтальной меридиональной плос костью другой поверхности.
Заметим, что горизонтальная проекция линии пересечения имеет точки касания с горизонтальными проекциями экваторов по верхностей, а фронтальная проекция линии пересечения — точки касания с фронтальны ми очерками поверхностей.
Рассмотрим построение линии пересе чения поверхностей вращения, оси которых (рис. 362) пересекаются и имеют общую фронтальную меридиональную плоскость. При таком расположении осей можно, при меняя метод вспомогательных сфер, выби-
§ 62. Пересечение винтовых поверхностей между собой и другими поверхностями
рать на заданных поверхностях их пересе кающиеся между собой параллели. Сферы с центром в точке пересечения осей заданных поверхностей вращения пересекаются по их параллелям.
Примем точку кк' пересечения осей за данных поверхностей вращения за центр вспомогательных сфер. Можно наметить ряд сфер, которые пересекут обе поверхности по их параллелям. Например, сфера радиу сом R пересекает поверхность вращения с вертикальной осью и поверхность вращения (конус) с наклонной осью по параллелям. Полученные параллели пересекаются между собой в точках 33' и 44', принадлежащих ис комой линии пересечения заданных поверх ностей. Горизонтальные проекции этих то чек найдем на горизонтальной проекции параллели, проведя линию связи.
Точки 1Г и 22' пересечения фронтальных меридианов являются одновременно выс шей и низшей точками линии пересечения. Точки 55' и 66' линии пересечения, лежащие на экваторе, определяются с п о м о щ ь ю вспо могательной сферы соответствующим ра диусом. Точки 77' и 88' линии пересечения, лежащие на горизонтальном очерке поверх ности вращения с наклонной осью (конус вращения), строим при помощи сферы, впи санной в поверхность вращения с криволи нейной образующей.
На рис. 363 изображены пересекающиеся прямой круговой усеченный конус, ось кото рого перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций, и четверть кругового кольца, ось которого перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций.
Плоскость, в которой перемещается центр производящей окружности тора, сов падает с главной меридиональной плоско стью NH конуса. Учитывая это, производя щую окружность тора, например, если она
Р и с. 363
расположена в плоскости Qv, можно при нять за линию пересечения тора вспомога тельной сферой. Центр оо' сферы следует выбрать на оси конуса; тогда сфера с кону сом пересечется также по окружности. Ок ружности пересекаются в точках, принадле жащих искомой линии пересечения.
Метод, которым решена эта задача, из вестен как метод эксцентрических сфер в отличие от метода концентрических сфер, которым решена предыдущая задача.
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ВИНТОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ МЕЖДУ СОБОЙ И ДРУГИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
При построении линий пересечения вин товых поверхностей принимают линии пере товых поверхностей между собой и другими сечения их плоскостями, перпендикулярными поверхностями за производящие линии вин- к осям винтовых поверхностей.
Р и t.. 364
§ 62. П е р е с е ч е н и е в и н т о в ы х п о в е р х н о с т е й м е ж д у собой и д р у г и м и п о в е р х н о с т я м и
На рис. 364 показаны построения линии взаимного пересечения двух винтовых по верхностей одинакового шага с общей осью. Производящие линии (кривая и многоуголь ник) поверхностей расположены в плос кости Qy, перпендикулярной к оси оо, о'о'. Одна винтовая поверхность с производящей кривой линией имеет правое направление, другая — левое направление.
Ходы (цилиндрические винтовые линии) точек, расположенных на производящих ли ниях поверхностей и находящихся на одина ковых расстояниях от оси оо, о'о', пересека ются между собой, и точки их пересечения принадлежат искомой линии пересечения. Например, ходы точек 33' и 44' производя щей кривой линии пересекаются ходами точек bb' и dd! производящей линии abed, a'b'c'd'.
Заданные поверхности имеют одинако вый шаг, а производящие их линии лежат в одной плоскости. В соответствии с этим горизонтальные проекции точек пересече ния ходов находят на биссектрисах углов, вершины которых расположены в точке о, а стороны проходят через горизонтальные проекции 3 и 4, b к d указанных выше точек. Точка Зв, например, являеѴся горизонталь ной проекцией точки пересечения хода точ ки 33' производящей кривой линии с ходом точки bb' производящей линии abed, a'b'c'd'. Фронтальная проекция З'в точки пересече ния этих ходов находится на пересечении фронтальных проекций ходов точек bb' и 33'. Эту проекцию можно построить, используя угловое смещение точки bb' или 33'. Опреде
лив соответствующее ему осевое |
перемеще |
||
ние |
s3B, |
строим фронтальную |
проекцию |
З'в |
точки |
пересечения рассматриваемых |
холов.
Ход точки ее производящей кривой ли нии пересекается ходами точек 11' и 22' производящей линии abed, а'Ь'e'd' в точках, горизонтальными проекциями которых яв ляются точки еі и е2, расположенные на бис сектрисах углов еоі и ео2. Фронтальные про екции е\ и е{ этих точек находятся на фрон тальной проекции хода точки ее'. Построе ниями, аналогичными указанным, опреде
ляем |
необходимый |
ряд точек, принадлежа- 255 |
|||
щих искомой линии пересечения заданных |
|||||
поверхностей. |
|
|
|
|
|
Последовательность |
соединения |
точек |
|||
линии пересечения определяем методом од |
|||||
новременного обхода производящих |
линий |
||||
заданных поверхностей. Этот метод подобен |
|||||
методу, примененному |
выше |
при построе |
|||
нии линии пересечения |
цилиндров |
и ко |
|||
нусов, |
имеющих |
плоские |
направляющие |
линии.
Точка аа производящей линии abed, a'b'c'd' и точка 55' производящей кривой линии приняты за начальные точки одновре менных обходов. Рассмотренное пересечение винтовых поверхностей относится к случаю врезки.
На рис. 365 показаны построения линии пересечения винтовой поверхности с ци линдром.
Винтовая поверхность задана базовой гелисой левого направления и производящей линией — окружностью радиусом г, лежа щей в горизонтальной плоскости Q у, пер пендикулярной к оси винтовой поверхности. Цилиндр задан очерками. Направляющая линия — окружность радиусом R — лежит в плоскости Qy.
Линия пересечения построена по точкам пересечения цилиндра производящей линией винтовой поверхности в различных ее поло жениях. Горизонтальные плоскости произ водящей линии винтовой поверхности пере секают цилиндр по окружностям радиу сом R.
Линии пересечения винтовых поверхнос тей соосными с ними поверхностями вра щения мы часто встречаем при обточках на поверхность вращения винтов с прямоуголь ной и треугольной резьбой.
На рис. 366 винт с квадратной нарезкой обточен на поверхность вращения.
Линии пересечения поверхности враще ния кольцевыми винтовыми коноидами, ко торыми представлены верхняя и нижняя полки нарезки, строят по точкам пересечения кольцевых коноидов параллелями ряда то чек производящей линии поверхности вра щения. Плоскости этих параллелей Пересе-
Г л а в а X . В з а и м н о е п е р е с е ч е н и е п о в е р х н о с т е й
Р и с . 365

Г л а в а |
X . В з а и м н о е пересечение п о в е р х н о с т е й |
§63 |
В З А И М Н О Е П Е Р Е С Е Ч Е Н И Е П О В Е Р Х Н О С Т Е Й В Т О Р О Г О П О Р Я Д К А . |
О С О Б Ы Е С Л У Ч А И П Е Р Е С Е Ч Е Н И Я |
При пересечении между собой поверх ностей второго порядка линиями пересече ния в общем случае являются пространст венные кривые линии. В некоторых частных случаях взаимного расположения поверх ностей рассматриваемой группы линиями их пересечения могут быть кривые второго порядка. Известно, что поверхность второго порядка пересекается плоскостью по кривой второго порядка.
Если плоскость пересекает две пересе кающиеся поверхности второго порядка, ли ниями сечения являются две кривые второго порядка, пересекающиеся в четырех точках. Через эти точки проходит линия пересечения поверхностей. Она является кривой четвер того порядка; ее называют биквадратной
кривой.
Так как порядок линии пересечения равен произведению порядков поверхностей, ли нией пересечения поверхностей второго по рядка всегда является алгебраическая, в об щем случае пространственная, кривая чет вертого порядка.
Р и с . 368
Кривая четвертого порядка может рас падаться на более простые кривые низших порядков. Например, линией пересечения двух цилиндров с параллельными осями является биквадратная кривая, которая рас падается на четыре прямые — общие обра зующие цилиндров. Имеются случаи распа дения биквадратной кривой на две кривые второго порядка.
Большое разнообразие форм биквадрат ной кривой и ее свойства описываются рядом теорем.
Т е о р е м а 1. Если две поверхности вто
рого порядка пересекаются по одной плоской кривой линии, то они имеют и вторую плос кую кривую линию пересечения.
Известно, что любая плоская кривая на поверхности второго порядка является кри вой второго порядка.
Вторая кривая линия пересечения тоже является кривой второго порядка, поскольку порядок этой линии определяется как раз ность порядков биквадратной кривой — кри вой четвертого порядка и порядка первой линии.
С л е д с т в и е 1. Если сфера пересекает
какую-либо поверхность второго порядка по
одной окружности, |
то |
она |
пересекает |
эту |
|
поверхность |
и по |
другой |
окружности. |
||
Указанная теорема и следствие из нее |
|||||
включают |
в себя |
и |
такие |
случаи, |
когда |
одна из распавшихся кривых пересечения поверхностей второго порядка является мнимой.
На рис. 368 построена линия пересечения сферы с конусом, направляющей линией которого служит параллель ab, а'Ь' сферы, а вершина ss' находится во фронтальной меридиональной плоскости сферы. Эти поверхности заданы фронтальными очер ками.
Окружность ab, а'Ь' является первой ли нией пересечения заданных поверхностей. Второй линией пересечения является окруж ность cd, c'd', расположенная во фронтальнопроецирующей плоскости.
§ 63. В з а и м н о е пересечение п о в е р х н о с т е й в т о р о г о п о р я д к а . О с о б ы е с л у ч а и п е р е с е ч е н и я
259
Р и с . 369 |
Р и с . 370 |
Р и с . 371 |
С л е д с т в и е |
2. |
Если |
биквадратная |
кри |
||||
вая распадается |
на |
пару |
совпавших |
кривых |
||||
второго |
порядка |
или на |
четыре |
совпавшие |
||||
прямые, |
то |
имеется |
касание |
поверхностей |
||||
вдоль линии |
второго |
или первого |
порядка |
со |
||||
ответственно. |
|
|
|
|
|
|
Например, сфера, вписанная в конус вра щения, касается его по окружности (рис. 369); или два цилиндра второго порядка касаются друг друга по прямой линии (рис. 370).
Возможен частный случай, когда биквад ратная кривая вырождается в точку. Здесь две поверхности касаются друг друга в точке.
Например, сфера касается цилиндра |
второго |
|||||||
порядка |
в точке |
(рис. |
371). |
|
|
|
||
Т е о р е м а |
2 |
(о двойном соприкоснове |
||||||
нии). Две поверхности |
второго порядка, |
име |
||||||
ющие в |
двух |
их |
общих |
точках |
общие |
каса |
||
тельные |
плоскости, |
пересекаются |
между |
со |
||||
бой по двум |
кривым |
линиям второго |
порядка. |
На рис. 372 показан пример такого пере сечения поверхностей второго порядка. Здесь эллиптический цилиндр пересекается с ци линдром вращения. Оси поверхностей пере
секаются и взаимно перпендикулярны. По верхности имеют двойное прикосновение в точках IV и 22'. В этих точках они имеют
Р и с . 372
17'