книги из ГПНТБ / Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник

Г л а в а X . В з а и м н о е пересечение п о в е р х н о с т е й

2 5 0 линдра принадлежат искомой линии пересе­ чения заданных поверхностей.

Строя ходы ряда точек производящей линии поверхности одинакового ската и оп­ ределяя точки их пересечения с соответст­ вующими образующими цилиндра, наме­

чаем достаточное число точек, определяю­ щих вид и положение искомой линии пере­ сечения поверхностей.

Можно также воспользоваться способа­ ми преобразования эпюра, представляя ци­ линдр проецирующей поверхностью.

Х о д а ми точек производящей линии по­ верхности вращения являются, как известно, окружности. При построении линии взаим­ ного пересечения поверхностей вращения определяют прежде всего главные точки ли­ нии пересечения — точки, лежащие на глав­ ном меридиане, на экваторе, высшую и низ­ шую точки относительно плоскости, пер­ пендикулярной оси поверхности вращения.

Рассмотрим построение линии взаимно­ го пересечения поверхностей вращения с параллельными осями.

На рис. 360 показаны две пересекающиеся поверхности вращения, оси которых парал­ лельны и лежат в одной фронтальной (глав­ ной) меридиональной плоскости.

Точки 1Г и 22' пересечения главных мери­ диональных сечений поверхностей одновре-

менно являются высшей и низшей точками линии пересечения.

В плоскости Qv экватора поверхности вращения с осью оо, о'о' находится параллель поверхности вращения с осью оюі, oi'oi. Экватор пересекается этой параллелью в двух точках 33', которые являются главными точками линии пересечения. Точки (две) 44' пересечения экватора поверхности вращения с осью оіО\, о\'о\ параллелью другой поверхности вращения следует рассматри­ вать так же, как главные точки линии пересе­ чения.

Для построения промежуточных точек линии пересечения выбираем л ю б у ю гори­ зонтальную плоскость, расположенную гделибо между высшей и низшей точками. В этой плоскости находятся параллели обеих поверхностей. Точки (две) пересечения этих параллелей являются промежуточными точ­ ками линии пересечения поверхностей.

Построенная указанным методом линия пересечения симметрична относительно об­ щей фронтальной меридиональной плос­ кости UH заданных поверхностей враще­ ния.

Н а рис. 361 построена линия пересечения поверхностей вращения, оси которых и глав­ ные меридиональные плоскости парал­ лельны.

Для определения высшей и низшей точек линии пересечения проводим меридиональ­ ную плоскость JVtf поверхностей, проходя­ щую через оси обеих поверхностей. Повора­ чиваем ее вокруг оси оо, о'о' в положение, параллельное фронтальной плоскости про­ екций. Ось 0 1 0 1 , оі'оі' занимает положение

0 2 0 2 , 02 02'.

Повернутая вместе с осью поверхность вращения имеет очерк, показанный на чер­ теже тонкой линией, который можно по­ строить как прежний очерк, сдвинутый впра­ во на величину, равную фронтальной проек­ ции расстояния между осями о ю і , o i ' o i ' и

смещенными проекциями высшей и низшей точек линии пересечения поверхностей.

Восстановлением плоскости NH опреде­ ляем проекции 11' и 22' высшей и низшей точек.

Точки линии пересечения, находящиеся на экваторах заданных поверхностей, опре­ деляем как точки пересечения экватора одной поверхности с соответствующей параллелью другой поверхности.

Точки линии пересечения, лежащие на главных меридианах, можно определить как точки пересечения фронтального меридиана одной поверхности с линией пересечения

этой фронтальной меридиональной плос­ костью другой поверхности.

Заметим, что горизонтальная проекция линии пересечения имеет точки касания с горизонтальными проекциями экваторов по­ верхностей, а фронтальная проекция линии пересечения — точки касания с фронтальны­ ми очерками поверхностей.

Рассмотрим построение линии пересе­ чения поверхностей вращения, оси которых (рис. 362) пересекаются и имеют общую фронтальную меридиональную плоскость. При таком расположении осей можно, при­ меняя метод вспомогательных сфер, выби-

рать на заданных поверхностях их пересе­ кающиеся между собой параллели. Сферы с центром в точке пересечения осей заданных поверхностей вращения пересекаются по их параллелям.

Примем точку кк' пересечения осей за­ данных поверхностей вращения за центр вспомогательных сфер. Можно наметить ряд сфер, которые пересекут обе поверхности по их параллелям. Например, сфера радиу­ сом R пересекает поверхность вращения с вертикальной осью и поверхность вращения (конус) с наклонной осью по параллелям. Полученные параллели пересекаются между собой в точках 33' и 44', принадлежащих ис­ комой линии пересечения заданных поверх­ ностей. Горизонтальные проекции этих то­ чек найдем на горизонтальной проекции параллели, проведя линию связи.

Точки 1Г и 22' пересечения фронтальных меридианов являются одновременно выс­ шей и низшей точками линии пересечения. Точки 55' и 66' линии пересечения, лежащие на экваторе, определяются с п о м о щ ь ю вспо­ могательной сферы соответствующим ра­ диусом. Точки 77' и 88' линии пересечения, лежащие на горизонтальном очерке поверх­ ности вращения с наклонной осью (конус вращения), строим при помощи сферы, впи­ санной в поверхность вращения с криволи­ нейной образующей.

На рис. 363 изображены пересекающиеся прямой круговой усеченный конус, ось кото­ рого перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций, и четверть кругового кольца, ось которого перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций.

Плоскость, в которой перемещается центр производящей окружности тора, сов­ падает с главной меридиональной плоско­ стью NH конуса. Учитывая это, производя­ щую окружность тора, например, если она

Р и с. 363

расположена в плоскости Qv, можно при­ нять за линию пересечения тора вспомога­ тельной сферой. Центр оо' сферы следует выбрать на оси конуса; тогда сфера с кону­ сом пересечется также по окружности. Ок­ ружности пересекаются в точках, принадле­ жащих искомой линии пересечения.

Метод, которым решена эта задача, из­ вестен как метод эксцентрических сфер в отличие от метода концентрических сфер, которым решена предыдущая задача.

На рис. 364 показаны построения линии взаимного пересечения двух винтовых по­ верхностей одинакового шага с общей осью. Производящие линии (кривая и многоуголь­ ник) поверхностей расположены в плос­ кости Qy, перпендикулярной к оси оо, о'о'. Одна винтовая поверхность с производящей кривой линией имеет правое направление, другая — левое направление.

Ходы (цилиндрические винтовые линии) точек, расположенных на производящих ли­ ниях поверхностей и находящихся на одина­ ковых расстояниях от оси оо, о'о', пересека­ ются между собой, и точки их пересечения принадлежат искомой линии пересечения. Например, ходы точек 33' и 44' производя­ щей кривой линии пересекаются ходами точек bb' и dd! производящей линии abed, a'b'c'd'.

Заданные поверхности имеют одинако­ вый шаг, а производящие их линии лежат в одной плоскости. В соответствии с этим горизонтальные проекции точек пересече­ ния ходов находят на биссектрисах углов, вершины которых расположены в точке о, а стороны проходят через горизонтальные проекции 3 и 4, b к d указанных выше точек. Точка Зв, например, являеѴся горизонталь­ ной проекцией точки пересечения хода точ­ ки 33' производящей кривой линии с ходом точки bb' производящей линии abed, a'b'c'd'. Фронтальная проекция З'в точки пересече­ ния этих ходов находится на пересечении фронтальных проекций ходов точек bb' и 33'. Эту проекцию можно построить, используя угловое смещение точки bb' или 33'. Опреде­

холов.

Ход точки ее производящей кривой ли­ нии пересекается ходами точек 11' и 22' производящей линии abed, а'Ь'e'd' в точках, горизонтальными проекциями которых яв­ ляются точки еі и е2, расположенные на бис­ сектрисах углов еоі и ео2. Фронтальные про­ екции е\ и е{ этих точек находятся на фрон­ тальной проекции хода точки ее'. Построе­ ниями, аналогичными указанным, опреде­

линии.

Точка аа производящей линии abed, a'b'c'd' и точка 55' производящей кривой линии приняты за начальные точки одновре­ менных обходов. Рассмотренное пересечение винтовых поверхностей относится к случаю врезки.

На рис. 365 показаны построения линии пересечения винтовой поверхности с ци­ линдром.

Винтовая поверхность задана базовой гелисой левого направления и производящей линией — окружностью радиусом г, лежа­ щей в горизонтальной плоскости Q у, пер­ пендикулярной к оси винтовой поверхности. Цилиндр задан очерками. Направляющая линия — окружность радиусом R — лежит в плоскости Qy.

Линия пересечения построена по точкам пересечения цилиндра производящей линией винтовой поверхности в различных ее поло­ жениях. Горизонтальные плоскости произ­ водящей линии винтовой поверхности пере­ секают цилиндр по окружностям радиу­ сом R.

Линии пересечения винтовых поверхнос­ тей соосными с ними поверхностями вра­ щения мы часто встречаем при обточках на поверхность вращения винтов с прямоуголь­ ной и треугольной резьбой.

На рис. 366 винт с квадратной нарезкой обточен на поверхность вращения.

Линии пересечения поверхности враще­ ния кольцевыми винтовыми коноидами, ко­ торыми представлены верхняя и нижняя полки нарезки, строят по точкам пересечения кольцевых коноидов параллелями ряда то­ чек производящей линии поверхности вра­ щения. Плоскости этих параллелей Пересе-

При пересечении между собой поверх­ ностей второго порядка линиями пересече­ ния в общем случае являются пространст­ венные кривые линии. В некоторых частных случаях взаимного расположения поверх­ ностей рассматриваемой группы линиями их пересечения могут быть кривые второго порядка. Известно, что поверхность второго порядка пересекается плоскостью по кривой второго порядка.

Если плоскость пересекает две пересе­ кающиеся поверхности второго порядка, ли­ ниями сечения являются две кривые второго порядка, пересекающиеся в четырех точках. Через эти точки проходит линия пересечения поверхностей. Она является кривой четвер­ того порядка; ее называют биквадратной

кривой.

Так как порядок линии пересечения равен произведению порядков поверхностей, ли­ нией пересечения поверхностей второго по­ рядка всегда является алгебраическая, в об­ щем случае пространственная, кривая чет­ вертого порядка.

Р и с . 368

Кривая четвертого порядка может рас­ падаться на более простые кривые низших порядков. Например, линией пересечения двух цилиндров с параллельными осями является биквадратная кривая, которая рас­ падается на четыре прямые — общие обра­ зующие цилиндров. Имеются случаи распа­ дения биквадратной кривой на две кривые второго порядка.

Большое разнообразие форм биквадрат­ ной кривой и ее свойства описываются рядом теорем.

Т е о р е м а 1. Если две поверхности вто­

рого порядка пересекаются по одной плоской кривой линии, то они имеют и вторую плос­ кую кривую линию пересечения.

Известно, что любая плоская кривая на поверхности второго порядка является кри­ вой второго порядка.

Вторая кривая линия пересечения тоже является кривой второго порядка, поскольку порядок этой линии определяется как раз­ ность порядков биквадратной кривой — кри­ вой четвертого порядка и порядка первой линии.

С л е д с т в и е 1. Если сфера пересекает

какую-либо поверхность второго порядка по

одна из распавшихся кривых пересечения поверхностей второго порядка является мнимой.

На рис. 368 построена линия пересечения сферы с конусом, направляющей линией которого служит параллель ab, а'Ь' сферы, а вершина ss' находится во фронтальной меридиональной плоскости сферы. Эти поверхности заданы фронтальными очер­ ками.

Окружность ab, а'Ь' является первой ли­ нией пересечения заданных поверхностей. Второй линией пересечения является окруж­ ность cd, c'd', расположенная во фронтальнопроецирующей плоскости.

Например, сфера, вписанная в конус вра­ щения, касается его по окружности (рис. 369); или два цилиндра второго порядка касаются друг друга по прямой линии (рис. 370).

Возможен частный случай, когда биквад­ ратная кривая вырождается в точку. Здесь две поверхности касаются друг друга в точке.

На рис. 372 показан пример такого пере­ сечения поверхностей второго порядка. Здесь эллиптический цилиндр пересекается с ци­ линдром вращения. Оси поверхностей пере­

секаются и взаимно перпендикулярны. По ­ верхности имеют двойное прикосновение в точках IV и 22'. В этих точках они имеют

Р и с . 372