книги из ГПНТБ / Ху, Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях

тельных строк и дает лексикографически положительную строку. Для доказательства свойства 2 заметим, что к нулевой строке

прибавляется r-я строка, умноженная на flQs Поскольку г-я

ars

строка лексикографически положительна, нулевая строка лексико­ графически возрастает после каждой итерации. Нулевая строка в последовательности симплексных таблиц служит для установле­ ния линейного порядка на множестве всех базисов. В случае вырожденности, несмотря на то, что значение ( —z) остается постоянным, все базисы, соответствующие этому значению ( — z), упорядочены.

Таким образом, ни один базис не может повториться, а значит, симплекс-метод конечен. 'Рассмотрим для примера следующую таблицу:

Нулевой столбец

I

В качестве ведущего столбца можно выбрать четвертый или пятый столбец, поскольку оба они имеют одинаковые отрицательные относительные оценки (—3).

Если выбирается четвертый столбец, то ведущей строкой ста­ новится первая. Если выбирается пятый столбец, то ведущей строкой преобразования выбирается вторая строка.

Существуют примеры, построенные таким образом, что если при нулевом результате в проверке отношения всегда выбирать в качестве ведущей строки первую из строк-кандидатов, то обыч­

Эту задачу можно представить в следующем виде:

Матрица А* состоит из т + 1 строк и п + 1 столбцов. Итерация симплекс-метода, рассмотренная в этой главе, эквивалентна умно­

жению уравнения (2) слева на следующую квадратную матрицу: i г ... г. ... «**1

где г ф 0 и s ф 0.

Если все столбцы матрицы А разделить на базисные В и неба­ зисные N, то соотношение (2) можно записать как

- — 1-|

Xjv .

где св и c N — соответствующие компоненты вектора с;х г и х „ — базисные и небазисные переменные. Выбор хв в качестве началь­ ных базисных переменных эквивалентен умножению системы (4) слева на матрицу

где свВ 1 обозначено через я.

Результатом умножения (4) на (5) слева является уравнение

где относительные оценки Cj задаются посредством

Cj = Cj — яаj = с■j —Zj, где Zj = naj,

теперь имеется т уравнений с п Ц- т переменными, размерность множества решений системы (2) равна п + т — т = п. Верши­ ной множества решений системы (1) является точка, в которой п неравенств из т + п неравенств (1) выполняются как равенства, т. е. п компонент вектора х* равны нулю. Эти компоненты являют­ ся небазисными переменными.

Процесс выделения переменных с нулевыми значениями экви­ валентен вычеркиванию в матрице А столбцов, соответствующих этим переменным. Остальные компоненты вектора х* получаются

решением т уравнений с т неизвестными. Пусть х есть т-мерный вектор, компонентами которого являются базисные переменные,

а В — базис; тогда х = В -1Ь. Если х ^ 0, то х — вершина мно­

жества решений. Если х ^ 0, то эта точка является пересечением п гиперплоскостей вне множества решений.

Для того чтобы решить задачу (2) при помощи симплексметода, используется метод исключения Гаусса, в результате чего получается система, эквивалентная системе (2). Эта система имеет вид IxB + B ^ N x^ = B -1b, где В — базис, а целевая функция выражается через небазисные переменные. Для допусти­ мого базиса х в > 0, так что можно рассматривать х'в как слабые переменные. В пространстве небазисных переменных можно рас­ смотреть т неравенств B ^ N x^ ^ В _1Ь; точка \ N = 0 соответ­ ствует началу координат. Симплекс-метод начинает с допустимой вершины и затем переходит в соседнюю вершину так, чтобы значе­ ние целевой функции «улучшилось». Необходимыми условиями являются: .1) соседняя вершина должна быть допустимой; 2) значе­ ние целевой функции в соседней вершине должно быть «лучше», чем в предыдущей. В пространстве векторов х N возрастание от нуля одной из небазисных переменных, при котором остальные нвбазисные переменные остаются равными нулю, соответствует движению из начала координат по одной из координатных осей. При этом, поскольку п — 1 небазисных переменных равны нулю, п — 1 ограничений задачи выполняются как равенства. Другими словами, все соседние вершины начала координат (которые соот­ ветствуют текущему решению) связаны с началом координат п — 1 ребрами выпуклого многогранника. Возрастание от нуля некото­ рой небазисной переменной может привести к тому, что эта пере­ менная станет базисной. Для того чтобы получить в качестве реше­ ния вершину, необходимо заменить одну из базисных переменных на небазисную. Пусть xh — небазисная переменная и а* — соот­ ветствующий вектор-столбец. Если xh принимает значение 0,

то текущие базисные переменные х принимают значения х (0) = = В -1 (Ь — 0ад). Когда 0 возрастает от нуля, значение х (0) также меняется, подчиняясь при этом требованию х (0) ^ 0, т. в-

5 т. Ху

Рассмотрим наряду с первым другое химическое производство с вектором ограничений Ь* (объемом выпуска продукции), где имеется тп процессов, каждый из которых представлен единичным вектором ег (г = 1, . . ., тп). Тогда i-й процесс необходимо осу­ ществлять с интенсивностью bf, поскольку только один процесс е,- производит i-й вид продукта. Общая стоимость работы тппроцессов при использовании технологий с интенсивностями х*, . . ., х* имеет следующий вид:

'2cfxf = '2]c*bt.

\г

Если с* = св В -1 и Ь* = Ь, то по отношению к производству с заданным выходом продукции Ь эксплуатационные расходы второго производства будут такими же, как и в предыдущем слу­ чае. Обозначим свВ -1 = я = (я^ . . ., ят ) = с*. Можно счи­ тать, что Я; является ценой, которую мы платим за единицу г-го продукта на первом производстве. Пусть а;- — любой небазисный вектор, представляющий ;'-й технологический процесс на первом производстве. При единичной интенсивности использования /-м процессом производится ац единиц i-ro продукта (г = 1, . . ., тп). Поскольку в рассматриваемой системе каждая единица i-ro веще­ ства стоит я г денежных единиц, стоимость продукта, произво­ дящегося технологическим процессом aj, составит яа^. Обозначим яау через Zj. Реальные эксплуатационные расходы /-го процесса составляют cj. Таким образом, если cj — Zj = Cj — яа;- ^ 0, то данный процесс использовать не следует. Если с7- — Zj < 0, то использование процесса aj принесет некоторую экономию. После того как вместо некоторого базисного вектора в базис вводится aj с максимально большой возможной интенсивностью, появляются новые цены я', отличные от старых я. Отсюда я ; называется

теневой ценой i-й строки относительно данного базиса. Вычисле­ ние Cj — яa^• в литературе называется операцией оценивания. Операция оценивания служит для выяснения, должен ли быть введен вектор aj в базис.

Заметим, что базис В является оптимальным, если В -1Ь ^ О и cj — свВ _1ау ^ 0 для всех j. Пусть Ь получит небольшое при­

оптимальным базисом и для новой правой части b + АЬ. Посколь­

5*

откуда

Таким образом, лг показывает, как изменяется z в зависимости от изменения bt. В задаче 1 § 1.1, если ограничение по к-му пита­ тельному веществу bh увеличится на единицу, а все остальные ограничения останутся без изменений, то минимальная общая стоимость рациона увеличится на iik. Подобным же образом, если bk уменьшится на единицу, а все остальные ограничения останутся без изменений, то минимальная общая стоимость рациона умень­ шится на л й.

Упражнения

1. Дана линейная программа: минимизировать

Найдите четыре вектора, являющихся соответственно: а) допусти­ мым решением; б) базисным недопустимым решением; в) базисным допустимым решением; г) базисным оптимальным решением. Для получения использовать симплекс-метод.

2. Какой вид должны иметь относительные оценки при неба­ зисных переменных, чтобы оптимальное решение было единствен­ ным? Какой вид они будут иметь в случае существования других оптимальных решений?

3. Рассмотрим задачу: минимизировать

z = 10 — 2;г4 — Зх5

при условиях

Используйте х± и х2 в качестве начальных базисных переменных, а для введения в базис всегда выбирайте лексикографически мини­ мальный столбец. Проверяйте ваши вычисления на каждом шаге

ГЛАВА 3

ДВОЙСТВЕННОСТЬ

3.1.Теорема двойственности (Гейл, Кун, Таккер [71])

Впредыдущих главах были изучены вопросы существования неотрицательных решений системы линейных уравнений и нера­ венств и геометрический смысл базисных решений. В этой главе будет рассмотрен еще один аспект задач линейного программиро­ вания. Оказывается, с каждой задачей линейного программирова­ ния можно сопоставить другую задачу линейного программирова­ ния, связанную с исходной рядом интересных соотношений. Будем называть первую задачу прямой задачей линейного про­ граммирования, а вторую — двойственной. Для того чтобы сде­ лать взаимосвязь задач более понятной, вводятся следующие множества индексов:

/ Запишем обе задачи рядом, а между ними поместим множества индексов, относящихся к соответствующей строке как первой, так и второй задачи: