книги из ГПНТБ / Ху, Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях

Пример 2. Рассмотрим задачу: минимизировать

z = ад + ад + 2xs + 8ад,

при условиях

Это представление не является диагональной фо'рмой относи­ тельно каких-либо переменных. Пусть ад и ад — начальные базис­ ные переменные. Умножив уравнение (1) на 4 и сложив с уравне­ нием (2), умноженным предварительно на 3, получим

5а:! + 5ад + 4ад = 15,

что равносильно

Умножив уравнение (1) на 2 и сложив с уравнением (2), получим

оценки, соответствующие базисным переменным, ненулевые, умно­ жим первую строку на 8, а вторую — на 2 и вычтем их из нулевой строки. Результат приведен в табл. 2.5.

шения дает min ( у / у > у / т ) — 7/з, т- е- 3/г должен стать веду­

щим элементом. Результат преобразования приведен в табл. 2.6.

Искусственные переменные можно получить из слабых пере­ менных, используемых для превращения неравенств в уравнения. Действительно, если исходные ограничения задачи линейного программирования заданы в виде неравенств

2 dijX j^bi,

О

то, добавив слабую переменную в каждое неравенство, получим

J]aijXj + Si = bi.

j

Если bt ^ 0, то S; можно использовать в качестве начальных базисных переменных.

Различие между искусственными переменными х\ и слабыми переменными st состоит в следующем. В оптимальном решении задачи все искусственные переменные должны быть равными нулю, поскольку в исходной задаче таких переменных нет. С дру­ гой стороны, вполне возможно, что в оптимальном решении слабые переменные будут иметь положительные значения. Для того чтобы искусственные переменные стали равными нулю, можно предста­ вить целевую функцию следующим образом:

где M t — достаточно большие положительные числа. (В задаче максимизации М г должны быть большими по абсолютной величине отрицательными числами.) Этот способ, называемый методом штра­ фа, предложен Чарнесом, Купером и Хендерсоном [26]. Идея метода соответствует тому, что искусственным переменным при­ даются заведомо большие цены. Такой способ приводит к нулевым значениям искусственных переменных в оптимальном решении.

Существует и другой способ получения начального допусти­ мого базиса. В этом способе, как и в первом, в качестве начальных базисных переменных используются искусственные переменные. Рассматривается новая целевая функция §, представляющая собой сумму искусственных переменных. Требуется минимизировать |, используя z-уравнение как одно из ограничений. Если исходная система уравнений имеет допустимое решение, то все искусствен­ ные переменные должны стать равными нулю. Следовательно,

минимальное значение | = 2 х? должно быть равно нулю. Если

г

min g > 0, то исходная система уравнений не имеет допустимых решений. Если min g = 0, то можно опустить целевую функцию g = 2 xi и использовать оптимальный базис g-формы в качестве

столбцов, любая система т столбцов матрицы В линейно зависима. Из рассмотренного выше случая 1 следует, что любое базисное решение вырождено. Таким образом, избыточность влечет за собой вырожденность любого базисного решения. Обратное неверно. Рассмотрим следующую систему уравнений:

Любое базисное решение вырождено, но система неизбыточна, поскольку она содержит невырожденную матрицу третьего поряд­ ка, составленную из первых трех столбцов. Причина вырожденности здесь та же, что в случае 2.

Если получено невырожденное базисное решение, значит, суще­ ствует невырожденная подматрица В матрицы А. Это означает, что система Ах = Ь неизбыточна. Таким образом, если существует невырожденное базисное решение, то система неизбыточна. С дру­ гой стороны, неизбыточность системы еще не гарантирует суще­ ствования невырожденного базисного решения. Рассмотрим для примера следующую систему:

Система неизбыточна, поскольку ее матрица содержит подматри­

же вырожденного базисного решения или тот факт, что все базис­ ные решения вырождены, не помогут выяснению вопроса об избыточности системы. Для этой цели можно использовать искус­ ственные переменные.

Введение искусственных переменных не только дает нам начальный базис в симплексном алгоритме; их также можно исполь­ зовать для выяснения совместности и избыточности исходной системы уравнений. Если в конце первой фазы | > 0, то у исход­ ной системы нет ни одного допустимого решения, т. е. исходная система несовместна. Если же | = 0 и в базис не входят искусствен­ ные переменные, то можно начать вторую фазу. Если | = О и в базис входят некоторые искусственные переменные с нулевым значением, то можно заменить искусственные переменные в базисе

Рассмотрим систему т ограничений

зовать в качестве начальных базисных переменных.

Рассмотрим доказательство конечности симплекс-метода, про­ блему вырожденности и процедуру, используемую в том случае, когда проверка отношения приводит к нулевому результату (т. е.

проверка отношения дает min = 0). Для этого необходимо

ввести лексикографическое упорядочение векторов. Вектор назы­ вается лексикографически положительным (отрицательным), если его первая отличная от нуля компонента положительна (отрица­ тельна). Так, вектор [0, 0, 2, —7, 4] лексикографически положи­ телен, а [0, —3, 7, 4, 8] лексикографически отрицателен. Запись х >• 0 показывает, что вектор х лексикографически положителен. Будем говорить, что вектор Xj лексикографически больше векто­ ра х 2, если (Xi — х2) >- 0. Так, вектор [0, 0, 2, —7, 4] лексико­ графически больше, чем вектор [0, —3, 7, 4, 8], поскольку их разность [0, 3, —5, —11, —4] лексикографически положительна.

Вспомним, что симплекс-метод состоит в систематическом пере­ боре различных базисов, последовательно улучшающих целевую функцию до тех пор, пока не будет получен оптимальный базис. Если в симплекс-методе ни один базис не будет выбран дважды, то алгоритм конечен. Заметим, что все элементы нулевой строки в симплексной таблице однозначно определяются базисом. Если значение (—z), записываемое в верхнем левом углу симплексной таблицы, все время увеличивается, то различным значениям (—£) соответствуют различные базисы, т. е. в этом случае симплекс­

метод представляет собой конечный алгоритм, поскольку суще­

образом, значения (—z), соответствующие базисам, задают линей­ ный порядок на множестве базисов.

Пусть z и г' — значения функции цели в двух следующих друг за другом таблицах. Значение (—z) может не измениться при переходе от одной таблицы к другой, если базисное решение

димо принять меры предосторожности для того, чтобы один и тот же базис не повторился и тем самым была бы гарантирована конеч­ ность.

Пусть в начальной таблице все строки, кроме, быть может, нулевой, лексикографически положительные. (Если нет, то можно добавить искусственные переменные или переставить местами столбцы и переобозначить переменные.) Тогда конечность будет обеспечена, если принять следующее, немного более сложное пра­ вило выбора ведущего элемента. При выборе ведущего столбца

деляет ведующую строку. Заметим, что первая компонента этого вектора получается из обычной проверки отношений. Другими словами, если проверка отношений приводит к нулевому резуль­ тату, то проверяются отношения с числителем, взятым из следую­ щего столбца, и так до тех пор, пока не будет получен ненулевой результат. Если принять это усложненное правило выбора веду­ щего элемента, то необходимо доказать два свойства: 1) в каждой таблице все строки, кроме, быть может, нулевой, лексикографи­ чески положительны; 2) нулевая строка лексикографически возра­ стает после каждой итерации.