книги из ГПНТБ / Ху, Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях

дующей таблицы. Приведенные рассуждения лежат в основе

модифицированного симплекс-метода. Модифицированный сим­ плекс-метод сохраняет исходную таблицу, а на каждой итерации

определяются: строка относительных оценок с, вводимый в базис

вектор и текущее значение Ь. Эта информация вместе с обращени­ ем текущего базиса определяет В -1 для следующей таблицы. Если

ведущий элемент и произвести преобразование таблицы, чтобы получить В -1 для следующей таблицы. Таким образом, на каждой итерации вычисляется не более чем п — т относительных оце­

нок Cj, столбец b и вектор as. Поскольку исходная таблица содер­ жит единичную матрицу размера т X т, а все относительные оценки, соответствующие столбцам этой матрицы, равны нулю, то в дальнейших вычислениях на месте единичной матрицы будут появляться элементы матрицы В -1, а на месте относительных оценок — элементы вектора (—л) для текущей таблицы (см. § 2.4). Зная л и В -1 данной таблицы, можно найти с; по формуле Cj — ~ Cj — я&]. Если Cj неотрицательно, то aj вычислять не следует. Найдя Cj < 0, вычислим соответствующий ему вектор aj для вве­ дения в базис. Заметим, что

В исходной таблице обращением единичной матрицы является сама матрица, а л = 0, поскольку л = свВ -1 и св = 0. Поэтому к единичной матрице в исходной таблице можно добавить стол­ бец [1, 0, . . ., 0]:

Это делается для того, чтобы исходная таблица использовалась так же, как и все другие. Решим сначала следующий числовой пример, используя обычный симплекс-метод, а затем тот же самый пример решим при помощи модифицированного симплексметода:

максимизировать х0

106 ГЛ. 5. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД

Полученное решение х0 = 20, xk = 16, х 3 = 6 оптимально. Заме­ тим, что в модифицированном симплекс-методе не обязательно

вычислять все Cj. Как только найдено Cj <с 0, соответствующий столбец может быть введен в базис.

5.2. Изменение исходной информации

Поскольку исходные данные задачи линейного программирова­ ния не всегда задаются точно, важно знать, как изменение инфор­ мации влияет на решение задачи.Пусть исходная задача имеет вид:

минимизировать

Z = СВХВ + СдтХд-

при условиях

Рассмотрим хв в качестве базисных переменных. Тогда задачу

(1) можно представить в эквивалентной форме (2): минимизировать

z = свВ_1Ь -)- (cN —cBB_1N) хЛг

при условиях

условие двойственной допустимости не зависит от Ь, решение ис­ ходной задачи хв остается двойственно допустимым. Решение исходной задачи хв будет также прямо допустимым, если

Таким образом, поскольку оптимальный базис В исходной задачи определяет двойственно допустимое решение задачи с указанным изменением информации, его можно использовать для нахождения оптимального решения, продолжая решение двойственным сим­ плекс-методом.

2. Вектор с заменяется на с + А (св, c N). Оптимальное реше­ ние исходной задачи остается прямо допустимым. Оно будет

Вмодифицированном симплекс-методе проверка этого условия

вточности совпадает с операцией оценивания столбца с целью выяснить, требуется ли вводить его в базис.

Упражнения

Решите следующие примеры при помощи модифицированного симплекс-метода.

1. Минимизировать

3.Рассмотрим задачу линейного программирования:

ненулевой вектор из Ет. Найдите условие, при котором базис В

вектор из Еп, у которого компоненты, отвечающие базисным столбцам, равны нулю. Найдите условие, при котором базис В является оптимальным для всех X ^ 0. Объясните свои ответы.

задачи, а уп+1: уп+2, ■. ., уп+т — небазисные переменные двой­ ственной. Базисные переменные обеих задач выражены через соответствующие небазисные переменные. Рассмотрим два типич­ ных уравнения из таблицы:

Если а ц — ненулевой элемент (i ф О, j ф О ) , то он может быть

использован в качестве ведущего. Это означает, что переменная Xj заменит в базисе xn+i, a yn+i заменит в базисе переменную у }.

Поделив уравнения (3) на ац и выделив xj и уп+ц получим

Выражения (4) можно использовать для исключения небазисных переменных xj и yn+i в любом уравнении из табл. 6.1. Результаты преобразования можно проследить по табл. 6.2 и 6.3, где а —

того же столбца, что и р, и из той же строки, что у. Все перемен­ ные, кроме соответствующих ведущему столбцу и ведущей строке, остаются после преобразования на прежних местах.

Базисные решения для обеих задач можно получить из табли­ цы, положив небазисные переменные равными нулю. Текущие небазисные переменные записываются сверху или слева от табли­ цы. Например, табл. 6.4 получается из табл. 6.1 после одной итерации. Соответствующие базисные решения имеют вид'—x'n+i =