книги из ГПНТБ / Ху, Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях

10 ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА

риваются те же вопросы, но с другой точки зрения. Таким обра­ зом. этот раздел может служить дополнением к их книге.

В главе 12 излагаются результаты, полученные доктором Р. Е. Гомори и автором. В ней предлагается совершенно новый подход к задачам, обычно рассматриваемым в функциональном анализе. Все результаты приводятся в очень сокращенной форме. Читателям, интересующимся этими вопросами, рекомендуется прочитать работу [92].

В главах 13, .14 и 15 подробно рассматриваются алгоритмы, основанные на методе отсекающей плоскости Гомори [79], [80], ~ [81], и алгоритм разбиения Вендерса [18]. В главе 16 разбирается

Р. Д. Юнгом, излагается его прямой алгоритм целочисленного программирования [225] и алгоритм Гловера [76]. В главах 18—20 приводятся новые результаты д-ра Гомори [86],-некоторые из ко­ торых сообщены автору в личных беседах. К сожалению в книгу не вошли результаты Эдмондса и других о паросочетаниях [55], [56], [57], [6], [216] и результаты Фалкерсона [69], Минти [154],

Татта [194] и других о связи между теорией матроидов и сетями. Я был вынужден исключить эти вопросы в силу недостаточного знакомства с ними.

Здесь нужно сказать несколько слов о библиографии. В начале каждого параграфа обычно указывается работа, лежащая в его основе. Эта работа не обязательно является первой оригинальной статьей по рассматриваемому вопросу. Если имеется обзор, в кото­ ром материал представлен лучше, то ссылка делается и на него.

я намеревался опустить их, но работы, указанные в добавлениях к главам, сильно увеличили список литературы. Сюда же включе-

20

ГЛАВА 1

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

1.1. Задачи линейного программирования

Приведем три задачи, которые можно сформулировать как задачи линейного программирования.

Задача 1. Представим себе домашнюю хозяйку, собирающую­ ся в магазин за продуктами. Предположим, что в рацион семьи входят т различных питательных веществ, в том числе не менее Ъt единиц первого вида веществ, Ъ2 единиц второго вида, . . ., Ът единиц m-го вещества. В магазине продается п различных про­ дуктов. Каждый продукт можно представить вектором aj, состоя­ щим из т компонент, причем t-я компонента вектора означает количество i-ro питательного вещества, содержащегося в единице данного продукта. Поэтому матрица А = (аи) размера т X п может быть использована для указания соотношения между произвольным продуктом и количеством содержащихся в нем питательных веществ. Каждый столбец матрицы соответствует одному виду продукта. Таким образом, a tj — количество г-го питательного вещества, содержащегося в единице /-го продукта. Пусть xi, ж2, . . ., хп — количества соответствующих продуктов, покупаемых хозяйкой. Для того чтобы рацион семьи содержал все необходимые питательные вещества, необходимо выполнение усло­ вия

Условие (1) может выполняться при различных х, но домашнюю хозяйку интересует лишь то решение, которое минимизирует общую стоимость всех покупок. Если ct, с2, . . ., сп — цены соответствующих продуктов, то общая стоимость z записывается

Задача состоит в минимизации функции (2) при условиях

(1) И(3).

при условиях

п

Ц а я = Ь, X j^O (7 = 1, . . п).

1=1

1.2. Эквивалентные формулировки

Задача линейного программирования состоит в нахождении минимума линейной функции, переменные которой удовлетворяют линейным неравенствам, т. е. мы хотим минимизировать

где Xj — переменные и bt, cj — заданные константы. Линейная функция z в (1), которую мы хотим минимизировать, называется

целевой функцией, а неравенства (2) и (3) — ограничениями.

Некоторые из условий (2) могут быть равенствами. В этом случае они также называются ограничениями.

Сразу можно заметить три особенности задачи линейного программирования: 1) ограничения представляют собой линейные неравенства (уравнения); 2) целевая функция, которую надо минимизировать, является линейной; 3) на некоторые (все) пере­ менные наложено требование неотрицательности. В большинстве классических методов оптимизации фундаментальным аппаратом является дифференцирование, поскольку в точках максимума или минимума производные обращаются в нуль. В нашем случае целевая функция линейна, поэтому максимум или минимум достигается в граничной точке области определения, в которой, вообще говоря, не все односторонние производные обязаны обра­ щаться в нуль. Требование неотрицательности переменных можно было бы заменить условием xj = и), где и} Sg 0, но это привело бы к нелинейным ограничениям, что не позволило бы решать задачу классическими методами оптимизации. Для решения задач линейного программирования (иногда называемых линейными прог­ раммами) требуется новый аппарат.

Ниже приводится несколько формулировок, эквивалентных условиям (1), (2) и (3). В дальнейшем мы будем использовать форму записи, наиболее целесообразную в каждом конкретном случае.

I. Нахождение минимума функции эквивалентно *) нахожде­ нию максимума этой функции, взятой с противоположным знаком. Поэтому можно заменить условие (1) на следующее:

найти максимум функции

П

z'=-5jCj Xj .

5=1

II. Ограничения в форме неравенств (2)

п

У I

3= 1

можно представить в виде равенств, использовав новые перемен­ ные st (st 0), называемые слабыми переменными:

IV. Если на переменную Xj не наложено условия неотрицатель­ ности, ее можно заменить двумя неотрицательными переменными

Xj и xj, положив

X j = x \ — X j ,

x j^ O .

!) В том смысле, что точка минимума функции z совпадает с точкой максимума функции г', если z = — z'.— Прим, ред.

Вектор х назовем неотрицательным, если каждая его компо­ нента неотрицательна, т. е. xj ^ 0 для всех /, положительным, если xj > 0 для всех /, и полуположительным, если xj ^ 0 для всех j и Xj > 0 хотя бы для одного /.

Прежде чем приступить к изучению способа нахождения вектора х, минимизирующего (1') и удовлетворяющего условиям (2') и (3'), необходимо ответить на вопрос о существовании реше­ ния (2') и (3'). В следующем параграфе мы изучим свойства реше­ ний систем линейных неравенств.

1.3. Неравенства

Будем говорить, что вектор х является решением системы неравенств Ах ^ Ь (или равенств Ах = Ь), если х удовлетворяет

системе Ах ^ b (или Ах = Ь). Компоненты вектора х могут быть положительными, отрицательными или нулевыми.

Т е о рем а 1.1. (О разрешимости системы линейных уравнений.)

Из двух систем линейных уравнений

Д оказательство. Сначала докажем, что (1) и (2) не могут иметь решений одновременно. Предположим противное. Умножив (1)

Полученное противоречие доказывает невозможность одновремен­ ной разрешимости систем (1) и (2).

Теперь докажем следующее утверждение. Если система (1) не имеет решений, то система (2) имеет по крайней мере одно

цов матрицы равен рангу системы строк, то ранг системы строк матрицы [Аг, Ь] также равен г + 1. Поэтому любую (г + 1)-мер-

В Подразумевается, что А есть {т X «)-матрица.— Прим. ред.

ную вектор-строку, в том числе и [0, 0, . . ., О, А,], можно выра­ зить линейной комбинацией базисных вектор-строк матрицы [АГ,Ь]. Обозначим коэффициенты линейной комбинации через y t; тогда.

Любой небазисный вектор можно выразить в виде линейной ком­

Теорема 1.2. (О неотрицательном решении системы линейных уравнений.) Имеет место только одна из следующих альтернатив: либо система

имеет неотрицательное решение, либо имеет решение система неравенств

временно не могут иметь требуемых решений. Действительно пусть

Условия (5) и (6) противоречат друг другу, т. е. указанные в тео­ реме утверждения исключают друг друга.

2 *

тельного решения среди них нет. Покажем тогда, что система (4)

Рассмотрим систему (3) с числом столбцов, равным п. По пред­ положению она не имеет неотрицательных решений. Следователь­ но, таких решений не имеет и система (7). Тогда по индуктивному предположению найдется вектор у, удовлетворяющий условиям (8). Если при этом окажется, что уап ^ 0 , то у будет удовлетворять

системе (4): уА ^ 0, yb < 0. Таким образом, доказан индуктив­ ный переход, а вместе с ним и теорема.

Если же уап <1 0, то положим

ирассмотрим систему уравнений

П— 1

i = l