книги из ГПНТБ / Ху, Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях

получится сеть, которая в силу (4) будет удовлетворять исходным

пропускной способностью дуг.

Таким образом, исходная задача сводится к синтезу равномер­ ного поддерева, т. е. такого, у которого все требования rtj рав­ ны г. Для того чтобы осуществить такой синтез, достаточно начер­ тить цикл, проходящий через все узлы синтезируемого поддерева

Р и с . 9.21.

(в любом порядке), а затем положить пропускную способность каждой дуги цикла равной г/2. Когда поддерево состоит только из двух узлов, чертится соединяющая их дуга с пропускной способностью г. Ясно, что построенная сеть будет удовлетворять всем требованиям равномерного поддерева. Больше того, построен­ ная сеть обладает минимальной общей пропускной способностью дуг. Действительно, в такой сети с п узлами общая пропускная способность дуг равна п-г/2 , что совпадает с величиной нижней

Рассмотрим, например, рис. 9.22. Каждое равномерное подде­ рево может быть синтезировано, как показано на рис. 9.23. В ре­ зультате суммирования сетей на рис. 9.23 получится сеть, изобра­ женная на рис. 9.24, которая удовлетворяет всем требованиям, заданным на рис. 9.20 (а), и обладает минимальной общей пропуск­ ной способностью *).

При синтезе равномерного дерева узлы могут лежать на по­ строенном цикле в любом порядке. Например, вместо цикла, изображенного на рис. 9.23 (а), можно взять цикл на рис. 9.25 (а),

!) Нетрудно видеть, что если все требования rtj целочисленны, то задача синтеза сети всегда имеет оптимальное решение, в котором пропускные способности дуг являются или целыми, или полуцелыми числами,— Прим,

перев.

Р и с. 9.22.

должна обладать минимальной общей пропускной способностью.) Причина, по которой величина потока может превышать тре­ бование Гц, заключается в следующем: может оказаться, что при синтезе равномерного дерева получится цикл, обладающий мини­ мальными разрезами, отличными от минимальных разрезов синте­ зируемого равномерного дерева. Следовательно, при синтезе рав­ номерного дерева надо строить такой цикл, у которого пропускные способности минимальных разрезов равны соответствующим дли­ нам дуг синтезируемого равномерного дерева. Например, в цикле

разрезом с пропускной способностью 5. В цикле на рис. 9.25 (а) разрез (Ni, N 2, N 3 | N t, N 5) имеет уже пропускную способность, равную 5.

Если синтезировать равномерное дерево таким образом, чтобы оно являлось деревом разрезов построенного цикла, то при сло­ жении всех построенных циклов их минимальные разрезы тоже как бы «складываются», образуя минимальный разрез в резуль­ тирующей сети; при этом исходное дерево Т доминирующих тре­ бований становится деревом разрезов в полученной сети. Поэтому

Таким образом, все доминирующие требования выполняются как равенства.

Перейдем к построению цикла, для которого равномерное дерево является деревом разрезов. Для построения такого цикла нужно, чтобы любой дуге дерева соответствовал в цикле разрез из двух дуг, каждая пропускной способности г/2 .

Рассмотрим процедуру расстановки пометок, которая по дан­ ному дереву Т строит нужный цикл.

Ш а г 1. Произвольному узлу из Т присвоить пометку 1.

Ш а г 2. Пусть некоторые узлы из дерева Т получили пометки 1, 2, . . ., к. Проверить, найдется ли непомеченный узел, смеж­ ный узлу с пометкой к. Если да, то присвоить этому непомеченно­ му узлу пометку к + 1. Если найдется несколько непомеченных узлов, смежных узлу к, то какому-то из них присвоить пометку к + 1. Если среди узлов, смежных узлу к, нет непомеченных,

то перейти к узлу к — 1 и проверить, найдется ли непомеченный

узел, смежный узлу к — 1. Если да, то пометить его А; + 1; если нет, то перейти к узлу к — 2 и проверить, найдется ли непомечен­ ный узел, смежный узлу к — 2 , и т. д.

Ш а г 3. После того как все узлы дерева Т окажутся помечен­ ными, построить следующий цикл: 1, 2, . . ., п, 1. Этот цикл является искомым.

На рис. 9.26 приведены два возможных варианта расстановки пометок в дереве с помощью описанной процедуры.

Докажем, что для цикла, полученного в результате расстанов­ ки пометок, дерево Т является деревом разрезов. Для этого рассмотрим произвольную дугу 11} дерева. Например, возьмем

Если дугу li} удалить из дерева, то оно распадется на две компо­ ненты связности В и С, одна из которых будет содержать узел N t, а другая — N j х). Пусть к — наибольшая из пометок узлов, попавших в ту же компоненту, что и Nj. Тогда узел с пометкой

J) Нам нужно доказать, что в синтезирующем цикле компоненты В жС соединены ровно двумя дугами. Для этого достаточно показать, что если помечен какой-то узел из С, то перейти обратно в В можно лишь после того, как будут помечены все узлы из С. Предположим, что узел 1 лежит в В. Из алгоритма видно, что в С мы могли попасть только по дуге 1 ^ . Значит,

узел i уже был помечен. Следовательно, нет ни одной дуги дерева, которая вела бы из С в непомеченный узел из В. Так как все узлы в С по алгоритму получают индексы большие, чем уже помеченные узлы в В, то попасть в В мы можем только «обратным ходом», просматривая все помеченные в С узлы.— Прим, перее.

узлов, попавших в С, то узел с пометкой j — 1 также должен

разделяющие в цикле те же множества узлов, что и дуга ltj в де­ реве.

Упражнения

1.Найти потоко-эквивалентное дерево для сети, изображен ной на рис. 9.1.

2.Привести алгоритм, превращающий потоко-эквивалентное

дерево в потоко-эквивалентный путь. Например, дерево на рис. 9.18 является потоко-эквивалентным пути на рис. 9.27.

Ри с . 9.27.

3.Решить задачу синтеза сети с минимальной пропускной спо­ собностью, если заданы требования, представленные на рис. 9.28:

а) найти доминирующую сеть;

Решить задачу синтеза многополюсной сети с минимальной про­ пускной способностью, чтобы при этом требования точно выпол­ нялись как равенства.

Дополнение

1. Предположим, что имеется неориентированная сеть с п узла­ ми и требуется найти максимальные потоки между р узлами неко • торого заданного подмножества узлов. Алгоритм, предложенный Аккерсом [2], заключается в упрощении сети таким образом, что­ бы упрощенная сеть оставалась потоко-эквивалентной исходной

Р и с . 9.30.

сети по отношению к заданному подмножеству узлов. Пусть N t — некоторый узел, не принадлежащий заданному подмножеству узлов и инцидентный некоторым трем узлам, как показано на рис. 9.30 (а). Тогда узел N t может быть удален из сети, а сеть примет вид, изображенный на рис. 9.30 (б). Если применить этот

ваниям к потоку (см. Гомори и Ху [90]).

Нерешенные задачи

1. Пусть пропускные способности дуг в неориентированной сети принимают только значения 0 и 1. Каковы необходимые и до­ статочные условия, которым должны удовлетворять элементы квадратной матрицы, чтобы они являлись величинами максималь­ ных потоков между всеми парами узлов в некоторой сети? (Заме-

190 ГЛ. 9. МНОГОПОЛЮСНЫЕ МАКСИМАЛЬНЫЕ ПОТОКИ

тим, что неравенство треугольника в этом случае является необ­ ходимым условием, но не достаточным.)

2. При синтезе сети минимальной пропускной способности в оптимальном решении пропускные способности дуг могут быть полуцелыми числами. Как построить сеть минимальной пропуск­ ной способности, чтобы пропускные способности дуг были бы все целыми числами?

3. Задана сеть с ограниченными пропускными способностями

от N I-, N 2 ', . . . , N h> и обладающее минимальной пропускной спо­ собностью с (1 , 2 , . . . , к\ 1 ', 2 ', . . . , к').

4. Задана неориентированная сеть с ограниченными пропуск­ ными способностями дуг. Найти множество дуг, удаление которых из сети разбивает ее на к компонент, причем это множество долж­ но обладать минимальной пропускной способностью. (Заметим, что при к = 2 и к — п — 1 задача тривиальна.)

5. Пусть пропускные способности дуг не ограничены, а зада­ ны ограниченные пропускные способности узлов. Рассмотреть для этого случая задачи реализации, анализа и синтеза сети.

192 ГЛ. 10. КРАТЧАЙШИЕ ЦЕПИ И ПОТОКИ МИНИМАЛЬНОЙ СТОИМОСТИ

Попытаемся удалить из этого графа как можно больше дуг так, чтобы при этом сохранилось по одной цепи из N s в каждый узел N t. (Если существует только одна кратчайшая цепь из узла N s в узел N t, то нельзя уже удалить ни одной дуги.) Если имеется, напри

цепи — Ам или А и). После удаления всех таких «лишних» дуг останется граф, который будет деревом. Таким образом, если некоторая дуга А и принадлежит этому дереву, то кратчайшей цепью из N t в N j будет сама эта дуга А ц. Алгоритм, рассматривае­ мый ниже, позволяет получить такое дерево.

Итак, надо построить дерево, которое содержит кратчайшие цепи из узла N s во все остальные узлы сети. Дуги сети, принад­ лежащие этому дереву, будем называть дугами дерева, а дуги, не принадлежащие ему — дугами вне дерева. После того как дерево будет построено, каждая кратчайшая цепь будет состоять из дуг дерева. В начале алгоритма все дуги сети считаются дугами вне дерева. В процессе работы алгоритма количество дуг дерева посте­ пенно увеличивается от 0 до п — 1 , где п — число узлов данной

сети.

Работа алгоритма начинается следующим образом: полагаем, что узел N s принадлежит искомому дереву. Предположим теперь, что найдено т дуг дерева (т = 0, 1, . . ., п — 2). Длину кратчай­ шей цепи из узла N s в узел N h обозначим Lsk. Рассмотрим цепи из N a в Nh, содержащие, кроме дуг дерева, не более одной дуги вне дерева. Длину кратчайшей среди таких цепей обозначим L'sh. Если все цепи из N s в N h содержат на некотором шаге алгоритма больше одной дуги вне дерева, то полагаем L'sk = оо. Заметим, что величина L'sh зависит от т : она изменяется по мере увеличе­