Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Ху, Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

16.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 5221 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

10.3. ДЕКОМПОЗИЦИОННЫЙ АЛГОРИТМ

203

при всех дальнейших вычислениях останется (i, j) = j и (/, к) = к. Таким образом, выражение (2) правильно указывает, что в крат чайшей цепи за узлом N t идет узел Nj, а за узлом Nj — узел iVft. Теперь заменим исходную кратчайшую цепь из N p в N q другой, которая имеет ту же длину, что и исходная, но меньшее число узлов, т. е. введем новую базисную дугу A ik длины dl} + сД. Продолжая рассуждения рекуррентно, получим требуемое утверж дение.

Рассмотрим еще одну задачу [109]. Пусть имеется сеть с про пускными способностями дуг Ъц. Назовем пропускной способ ностью пути из узла Np в узел N q величину наименьшей из про пускных способностей дуг этого пути. Путь из N p в N q будем назы вать путем с максимальной пропускной способностью, если его пропускная способность не меньше, чем пропускная способность любого другого пути из N p в N q. Тернарная операция, аналогич ная введенной в этом параграфе операции (1 ), может быть исполь

зована для нахождения путей с максимальной пропускной спо собностью между всеми парами узлов сети. В этом случае тернар ная операция имеет следующий вид:

bih: = max [biA, min (bi}, bJk)]	(3)
для всех i, к Ф ], vi проводится последовательно для j	— 1,2, . . .

. . ., п.

Вместе с вычислением матрицы bih вычисляется справочная матрица размера т X п, аналогичная справочной матрице, рас смотренной выше. Элемент (г, к) этой матрицы полагается сначала равным к, а затем

(г, Д если bik < min (Ьц, bJk),

(г, к), если bih> min (Ьц, bJh).

10.3. Декомпозиционный алгоритм (Ху |1 И ], [113J)

Очень часто сеть не является сильно связной, т. е. состоит из менее чем п (п — 1) дуг. В этом случае соответствующая матри ца расстояний имеет много элементов, равных бесконечности. Это обстоятельство используется в декомпозиционном алгоритме, рассматриваемом ниже. Введем сначала несколько новых понятий.

Рассмотрим некоторое подмножество узлов в сети и обозначим его буквой А. Пусть X — некоторое другое подмножество узлов. Назовем множество X множеством, отрезающим А, если оно обладает следующим свойством: при удалении из сети множества X вместе со всеми инцидентными дугами сеть распадается на две несвязные компоненты, одна из которых содержит все узлы мно жества А и только эти узлы. Множество X, отрезающее А, назы вается минимальным отрезающим множеством, если никакое

204 г л . 10. К РА ТЧА Й Ш И Е Ц Е П И И ПОТОКИ М И Н И М А ЛЬН О Й с т о и м о с т и

собственное подмножество X не обладает указанным свойством. Ясно, что множество всех соседних с А узлов является минималь ным множеством, отрезающим А.

Сначала рассмотрим декомпозиционный алгоритм в его простей шей форме, а именно покажем, как разложить сеть на две части. Предположим, что наша сеть N разбита на три множества узлов:

N = A U X U В,	где X — минимальное	множество,	отрезаю
щее А. Обозначим через \| А \| мощность множества А.			Присвоим
узлам из множества А индексы 1 , 2 , . . . ,		\| А \|, а узлам из X —
индексы \| Л \| + 1,	\ А \| + 2, \| Л \| + \| X	\|. Тогда соответствую

щая матрица расстояний будет иметь вид, представленный в таб


лице 10.4, причем Daa =	[djj],	где N t 6 A,		Nj 6 A, DAB = [йгД
где N t £ A, Nj £ В и т. д. В		начале вычислений все			элементы
Dab и D Ва равны бесконечности.				расстояний		где
Мы ввели обозначение Da$ для матрицы				расстояний	[dtj],	где
N i £ a и Nj 6 Р- Иногда удобно использовать символ dap					для	обо
значения одного из элементов матрицы Daр.
	Таблица		10.4
D a a	d a x		D a b
d x a	Dxx		d x b
D b a	DBx		D B b

Введем новое понятие — условно кратчайшая цепь. Цепь назы вается условно кратчайшей, если она является кратчайшей при условии, что все узлы этой цепи принадлежат некоторому задан

ному	подмножеству узлов сети. Кратчайшее	расстояние между
Nt и	Nj обозначим d*) (при этом кратчайшая	цепь из Ni в Nj

может содержать любые дуги сети). Длину условно кратчайшей цепи из Ni в Nj обозначим d*j (у), где у — то подмножество, которо му должны принадлежать узлы этой цепи. Матрицу условно

кратчайших расстояний					[d*j(y)],	где	N t £ a, Nj £ р,			обозначим
Пар (у),	а	ее	элементы —d£p(y).			Так	как	вся	сеть	обозначена
буквой N,		то dj{N)—dj. Если				известно,		что	кратчайшая цепь
лежит в множестве у,				то
					d^(y) = d^(N).					(1)
Введем обозначение				А = А ЦХ ,		В — В\]Х. Будем считать, что
исходная сеть образована из двух сетей,								перекрывающих друг
друга.	Первая		из этих		сетей, называемая			Я-сетью,		состоит из

10.3. ДЕКОМПОЗИЦИОННЫЙ	АЛГОРИТМ	205
узлов Ni, принадлежащих А, и дуг Aij,	где N t, N j £ A .	Вторая

сеть, называемая 5-сетыо, состоит из узлов АД, принадлежащих 5, и дуг A kl, где АД, N ^ B .

Сначала выполним тернарные операции в А-сети. В результате получим условно кратчайшие цепи между всеми парами узлов

A-сети. В частности, получатся условно кратчайшие расстояния между всеми парами узлов из X. После этого выполним тернар ные операции в 5-сети, причем в качестве расстояний между узла ми из X возьмем условно кратчайшие расстояния, найденные ранее при вычислениях в A-сети. Затем выполним тернарные

операции снова в А-сети. Алгоритм декомпозиции для двух пере крывающихся сетей основан на следующей теореме.

Теорема 10.1. Пусть	N = А \ ) Х \ } В , причем удаление мно-
зкества X делает сеть несвязной. Пусть найдены условно кратчай
шие расстояния Dxx (А ).	Тогда кратчайшие расстояния между
любыми двумя узлами В-сети могут быть получены, если тернар
ные операции выполнять только в В-сети. (Заметим,			что А =
= N - В . )
Д оказательство. Е сли	кратчайшая	цепь лежит	целиком
в множестве В, то d%B (N)	= d%B (В), т.	е. достаточно выполнить

тернарные

операции

только

5-сети.

Рассмотрим

теперь

случай,

когда

кратчайшая

цепь

имеет

несколько участков, лежащих в

множестве А. Символически этот

случай

изображен на

рис.

1 0 .6 .

Рассмотрим

кратчайшую

цепь

из N p

в N q,

скажем

из АД в N e.

Так как эта цепь начинается и

кончается

в 5 ,

а X является мно

жеством, отрезающим 5 , то любой

участок рассматриваемой цепи,

ле

жащий

А,

должен

начинаться

и кончаться

в множестве

На

участка:

из АД в N 3 и из Ni

рис.

1 0 .6

изображены два

таких

в АД.

Если известны величины d*3 (А)

= d*3 (N — 5) и d*3 (А) =

= d*&(N — 5),

то можно

считать,

что именно в 5-сети имеется

две

дуги:

А 23

длины d*3 (N — B)

А 45

длины

d*5 (N — В).

Тогда

кратчайшая

цепь

из

N e состоит

из следующих

частей: цепи

из N t в

N 2, дуги А 23, цепи из N 3 в АД, дуга А 45,

цепи из N 5 в N q, причем все эти части лежат целиком в 5-сети

206 гл. 10. КРАТЧАЙШИЕ ЦЕПИ И ПОТОКИ МИНИМАЛЬНОЙ СТОИМОСТИ

Таким образом, при нахождении кратчайшей цепи достаточно рассматривать только 5-сеть. Заметим, что проведенные рассуж

дения не зависят от числа участков цепи, лежащих в А.

Ясно, что теорема остается справедливой, если в ее формули ровке поменять местами А ж В. щ

Введем теперь одну специальную операцию над матрицами, которая будет использоваться в декомпозиционном алгоритме.

Заметим, что, для того чтобы попасть из некоторого узла N t 6 А в некоторый узел N k 6 В, необходимо пройти по крайней мере через один узел Nj 6 X. Если перебрать все цепи, проходя

щие через каждый из узлов Nj £ X, и выбрать среди них кратчай шую, то в результате, естественно, будет найдено кратчайшее расстояние d*k. Таким образом, при фиксированных i и к наде выполнить следующую операцию:

4 = т ш ( ^ + 4 ),			/ = 1 , . . . , р ,	Ni £ A,	N k £B,	(2 )
s
где р —мощность	множества X.				имеют размеры
Пусть матрицы расстояний DAx(N) и А г в ( А )
соответственно па х р		и	р х щ • Операция	(2) напоминает		опера
цию умножения	двух	матриц, в которой		символ	« X » заменен
символом «4-»,	а суммирование заменено взятием минимума.
Будем называть операцию (2) композицией матриц.
Общее число сложений при выполнении всех операций (2)
равно па х пь х	р; таково же общее число сравнений.
Сформулируем теперь декомпозиционный алгоритм для случая
двух перекрывающихся			сетей.

Ш а г 1. Выполнить в сети А все тернарные операции приме нительно к матрице

А А А	А а х
_ А х а	Вхх\

В результате выполнения этого шага получим матрицы D*AA(A)r

Вах (А), DxA{A), Dx x (A).

Ш аг 2. Выполнить все тернарные операции применительно к матрице

Вхх {A) DXB

_Авх Авв_

В результате по теореме 10.1 получим Dxx(N),

A b b ( X ) .

D x b ( N ) , D%x(N)t

		10.3. ДЕКОМПОЗИЦИОННЫЙ АЛГОРИТМ		207
Ш а г	3.	Выполнить все тернарные операции применительно
к матрице
		~D*a a (A)	D*aX {A)
		D%a {A)	D*x x {N)_-
В результате по теореме ЮЛ получим DA±(N), DAX(X), DXA(N),
DXX{N).
Ш аг	4.	Используя операцию (4), получить DAB(N) и DBA(N).
Подсчитаем число операций сложения, требующихся для выпол

нения этого алгоритма. (Операций сравнения столько же.) Для

простоты будем считать, что

при

вычислении

матрицы размера

п X п требуется п3 операций сложения,

а не п (п — 1 ) (п — 2 ).

На шаге 1 алгоритма требуется выполнить ( | А | +

| X

|)3

опера

ций,

на

шаге

2 — ( | В | +

| X

|)3

операций,

на

шаге 3 —

( | А |

| X

|)3

операций, на шаге 4

— 2

| А |- | X | - | В |

опера

ций.

Таким

образом,

общее

число

операций

сложения

равно

(| А | +

| X |)3 +

В | +

| X |)3

2 | А |. | X

|- !

В |.

Общее

число операций сложения, если выполнять тернарные

операции

общей

сети

не

используя декомпозиционного алгоритма,

равно (| А |

| X

| +

| В |)3.

Положим,

что | А | =

| В |. Тогда

использование

декомпозиционного

алгоритма

позволяет

умень

шить

общее

число

операций

сложения на величину

5 | А \3

| А |2' | X

| — 3

| А |-1 X

— 2

| X |3. Таким образом,

деком

позиционный алгоритм уменьшает объем вычислений при

| А )

I *

I-

вычислений уменьшается на вели

Если | + |+=|.В |, то объем

чину 3| Л | . | В | . (| Л | +

| В | ) - | Л I3 — 3 | Л |2 . | Х | +

4 | Л | . | В | . | Х |

—

— 3 1А\-\ X !2 — 2 1X |3.

Например,

если

\ В \ =

- ^ п ,

| А \ = - ^

п,

I ^ I =

То п’ то °^ъем вычислений уменьшается на

п3

действий.

том случае,

когда сеть

имеет

большие размеры

«слабо»

связна, удобно разлагать сеть на несколько перекрывающихся сетей. Пусть, например, сеть можно разбить на 4 перекрываю щиеся подсети. Матрица расстояний для этой сети имеет вид, представленный на табл. 10.5, где незатемненные области состоят из элементов dtj — оо.

Чтобы построить матрицу расстояний такого вида, поступают следующим образом. Некоторое подмножество узлов выбирают в качестве А. Минимальное множество, отрезающее А, выбирают


в качестве	Х А.	В качестве В можно взять некоторое				множество
(не обязательно		минимальное),		отрезающее	А \ ] Х а ,&	в	качестве
Х в — минимальное множество,				отрезающее	A [J ХА (J В. (Заме
тим, что	минимальным		множеством, отрезающим В ,				является
^ а 1)Хв.)	В качестве С возьмем некоторое множество,						отрезаю
щее + (J ХА U В U Х в ,			а в качестве Хс — минимальное мно

208 ГЛ.	10. КРАТЧАЙШИЕ ЦЕПИ И ПОТОКИ МИНИМАЛЬНОЙ с т о и м о с т и
жество,	отрезающее A U Х А U В U Х в (J С. Этот процесс про

должается до тех пор, пока сеть не окажется разложенной на тре буемое число перекрывающихся сетей.

Сеть,

соответствующая

табл.

10.5,

разложена на 4 перекры

вающиеся сети:

А = А [ ] Х а ,

В =

Х а \] В \j Х в ,

С = Х в [)С {] Х с и

D = X C[]D.

Таблица 10.5

Ха

Хв

Х с

ч\

Da b

Daxb

Чйс

ПАХС

Pad

ХА

Vzr>c-

DXa b

лс

ПхА о

ч\

ха аа

ч; n\ ч

^ВА

\v Dbxa X

Е де

Явхс

Dgв

*В

П ХВ А

Dxb xa ;; - Р

^ \\д \\х;

Щ ^А вХс''

DxBg

DqA

°схА

Dcb

vN\'' ,\ЧХ

Deo

Х с

Вхс А

Пхс в

V/7NX\ \ '

b A JXcXci

'\ -Uy

X \

\ \ / с хЛА.wWnXVx-

DgA

ППХА

D ub

Похв

D gc

ЩШк.

Сформулируем общий декомпозиционный алгоритм для случая,

когда исходная

сеть разложена

на

перекрывающихся сетей:

А, В, .. ., G, Н.

Ш аг

1. Выполнить

тернарные

операции

последовательно

в т — 1

сетях А,

В, . . . ,

причем

полученные

для

некоторой

сети условно кратчайшие расстояния должны использоваться для вычислений в последующей сети. То есть, например, при выпол

нении	тернарных		операций		в	сети В — Х А U В (J Х в матрица
расстояний		Dxaxb	должна	быть		заменена матрицей		Dxaxb (A).
Заметим, что мы можем пользоваться теоремой 10.1, рассмат
ривая по очереди каждое из множеств A, A U Х А U Х в , . . .									в ка
честве	А,	фигурирующего		в	формулировке теоремы			10.1.	При
этом в качестве множества				В	из	теоремы 10.1	возьмем соответ
ственно	множества В U Х в U			. . .	\J В, С\] Х с [) . . .		\JH,	. . . .	Тогда

одна за другой будут получаться следующие матрицы условно кратчайших расстояний: D j^ A ), D^B(A U В), . . . , {А [I В U •

. .. UG) .

Шаг 2. Выполнить тернарные операции в т сетях в следу ющей последовательности: Н, G, . . . , В, А, причем полученные

10.3. ДЕКОМПОЗИЦИОННЫЙ АЛГОРИТМ

209

для некоторой сети кратчайшие расстояния использовать для вычислений в следующей сети. То есть, например, матрица рас стояний Dx„x„(N —Я) должна быть заменена матрицей (X).

По теореме 10.1 будут получены следующие матрицы расстояний:

D*S S (N),	. . . . Я §5 (Я), Dl-A {N).
Ш а г	3. С помощью операции (4) композиции матриц найти

кратчайшие расстояния между всеми парами узлов, не.лежащими

одновременно	ни в одном	из множеств	А,	В, . . .,	Я . Будем
использовать	обозначение	А © Х А © В	для	операции	компози
ции матриц,	где N t ^A, N j d X A, N ^ 6 В. Должны быть выпол
нены операции А ® Х А ф		В и В ф Х А © А, но для			простоты
будем записывать только		одну из них.

Операции композиции матриц должны выполняться в следую щем порядке:

А ® Х а ® В и Х в ,

AU Х А U В ® Х в @С U Хс,

А[ ] Х а \ ] В \} Х в \}С ® x c ® d и X D,

A U Х А U • • • U F ® X f ®G U X q,

А { ] Х а {] . . . и С ф Х е ф Я .

При этих вычислениях матрица DAxB(N), полученная при выпол

нении	операции	П ф Х Аф Б и ^ в > используется в последующих
вычислениях и т. д.
Оценим число арифметических действий в этом декомпозицион
ном	алгоритме	для	случая,	когда \|,4\| = \| Я \| = . . . = \| Я \| = t,
а \| Х А \| = \| Хв \| =		. .. =	\| HG\| = б.	Подсчитаем число операций сло

2 (*+ S)3 + ( m - 2 )(* + 26)3. .

На шаге 3 —

2 {t + (2t + 8) -f- . . . + [(m — 2) t -f- (m —3) 8 ]} • 8 (t + 8 ) + + 2 [(m— 1 )f + (m — 2 ) 6 ] 6£ = m( m — l ) i 28 +

+ 2 (m — 1) (m — 2) tb2,-f (m — 2) (m — 3) 83.

Таким образо..., общее число операций сложения равно

(2 т — 1) t3-f- (иг2 + 11m — 15) t2b -f-

+ (2m2 + 18m — 35) tb2 + (m2 + 11m — 23) 83. (5)

Если, не 'используя декомпозиционного алгоритма, выполнить тернарные операции непосредственно на всей сети, то общее

14 т x v

210 ГЛ. 10. КРАТЧАЙШИЕ ЦЕПИ И ПОТОКИ МИНИМАЛЬНОЙ СТОИМОСТИ

число операций сложения будет равно
[mt + (т — 1 ) б]3.			(6)
При достаточно больших т выражение (5)	близко к т28 (t +		б)2,
а выражение (6) — к т3б (t + б)3. Таким	образом,	при т	оо
отношение выражений (5) и (6 ) стремится	к	•

После разложения (декомпозиции) исходной сети на сети

А, В, . . Н каждая из них в свою очередь может быть разло жена на меньшие сети, и этот процесс декомпозиции может быть продолжен и дальше.

Заметим, что каждое из множеств узлов А, Х А, В, Х в . . .

не обязано быть связным. В качестве множества А можно брать любое подмножество узлов. После выбора А множество Х А опре деляется однозначно. В качестве множества В можно взять любое множество, отделяющее A (J Х А\ множество Х в определяется однозначно — это минимальное множество, отделяющее А у Х А U

у х в.

10.3. ДЕКОМПОЗИЦИОННЫЙ АЛГОРИТМ	211
Описанная выше декомпозиция (разбиение) сети	может быть

названа линейной, так как при этом т пересекающихся подмно жеств А, В, . . ., Н расположены как быв линию (рис. 10.7 (а)). Можно рассмотреть декомпозицию сети, в которой подмножества

А,	В, . .	Н	пересекают		друг друга произвольным	образом
(рис. 10.7		(б)). Полученное при этом разбиение сети можно полу
чить с помощью линейной					декомпозиции. Для этого надо взять,
например,		2 *	= Е,	В*	= A \}F , C * = B \ j C [ } D ,	D*	= G,
E*	= H,	рассмотреть		линейную декомпозицию исходной			сети

Р и с . 10.8.

на сети А*, В*, С*, Е * и затем осуществить линейную декомпози цию сети В* на две меньшие — A, F, а. сети Е* на три меньшие —

В, С D.	При произвольной декомпозиции сети число операций
больше,	чем при линейной.
В заключение параграфа обсудим одну идею, которая поясняет
принцип	декомпозиционного алгоритма.

Пусть имеется сеть с п узлами, и надо найти в ней кратчайшие пути между р выделенными узлами, р ^ п. Будем говорить, что некоторая сеть с р узлами эквивалентна по расстоянию исходной сети с п узлами, если кратчайшие расстояния между р (р — 1 )

парами выделенных узлов в обеих сетях одинаковы. На рис. 10.8 изображены две сети, которые эквивалентны по расстоянию отно сительно выделенных узлов N t, JV2, N s, N t .

Понятие эквивалентности по расстоянию может быть исполь зовано для удаления из сети на некотором этапе вычислений тех узлов и дуг, которые не влияют на этом этапе на вычисления крат чайших расстояний. На рис. 10.9 приведены некоторые примеры сетей, эквивалентных по расстоянию. В частности, если сеть с 4 узлами, изображенную на рис. 10.9 (с), превратить в изобра женную на этом же рисунке сеть, с 3 узлами, то все кратчайшие расстояния между узлами N±, N 2, N 3 могут быть найдены в но вой сети.

Используя. простые преобразования сети, изображенные на рис. 10.9, можно удалить из сети п — р узлов и построить новую

14*

212 гл. 10. КРАТЧАЙШИЕ ЦЕПИ И ПОТОКИ МИНИМАЛЬНОЙ стоимости

сеть с р узлами, эквивалентную по расстоянию исходной сети. Затем к новой сети можно применить тернарные операции или

	(а)
G F=\|=©	min (с!и с/г )
G F=\|=©	( б)

декомпозиционный алгоритм. Можно считать, что, когда в дока зательстве теоремы 10.1 вычислялась матрица D x x ( A \ j X ) , из сети N было удалено все множество узлов А.

10.4.Потоки минимальной стоимости

Вгл. 8 каждой дуге сети соответствовала пропускная способ

ность bt], указывающая максимальное количество потока, кото рое можно пропустить через эту дугу. Пусть теперь, кроме того,

каждой дуге A iS поставлена в соответствие дуговая стоимость	ci},
т. е. стоимость доставки единицы потока из узла N t в .узел	N }
по дуге Aij. Необходимо найти поток'из источника в сток, имею
щий заданную величину и обладающий минимальной стоимостью.

Формально задача ставится следующим образом: минимизировать

Z = 2 C i j E i ]
г, 3
при условиях
— V ,	j =	S ,
0 ,	/ =4 = s, t,
{v,	j =	t,

0 ^ . х ц ^ Ь ц (при всех i, j).

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 5221 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ