книги из ГПНТБ / Ху, Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях

Так как существует много минимальных разрезов, возникает естественный вопрос: какой из минимальных разрезов получается в конструктивном доказательстве теоремы о максимальном потоке

г = 1

любые два минимальных разреза. Тогда из теоремы 8.2 следует, что (Xi П Х2, X t f| Х 2) — тоже минимальный разрез. Пусть (Х3, Х 3) —еще один минимальный разрез. Снова используя теоре­

нибудь узел из X, если величина потока в сети равна с(Х, X). Отсюда следует, что множество X не содержит в качестве собствен­

ного подмножества ни одного из множеств Х 4, таких, что (X;, X, ) — минимальный разрез. В частности, X не может содержать в каче-

т

стве собственного подмножества и П -^г- Следовательно, учиты-

i —1

вая, что множество X является одним из множеств Х 4, получим

т

х = n Xt. а

г= 1

8.2.Метод расстановки пометок для нахождения максимального потока

Мы уже рассмотрели конструктивное доказательство теоремы о максимальном потоке и минимальном разрезе. Теперь остано­ вимся подробнее на алгоритме нахождения максимального потока. Как уже отмечалось в § 8.1, задача о максимальном потоке в сети , может быть сформулирована как задача линейного программиро-

\у вания. Однако метод расстановки пометок не является частным случаем симплекс-метода. В симплекс-методе происходит движе­ ние от одной вершины многогранника к другой, пока не будет достигнута оптимальная. Как станет ясно в дальнейшем, в методе расстановки пометок дело обстоит не так.

Метод расстановки пометок начинается с произвольного потока (в качестве начального можно взять нулевой поток). Затем пред­ принимается попытка получить поток с большей величиной. Вычисления заканчиваются, когда получен максимальный поток. Алгоритм заключается в систематическом поиске всех возможных путей из N s в N t, увеличивающих поток. Это осуществляется с помощью процедуры «расстановки пометок». Узлы получают специальные «пометки», указывающие направление, в котором

может быть увеличен некоторый дуговой поток. После того как найден некоторый путь, увеличивающий поток, определяют вели­ чину максимальной пропускной способности этого пути; далее поток увеличивают на эту величину, а все пометки на узлах сти­ рают. Затем начинается расстановка новых пометок узлов исходя из только что полученного потока.

Алгоритм состоит из двух шагов. Шаг 1 — это процесс, в ходе которого узлы получают пометки. Шаг 2 заключается в измене­ нии потока. Шаги 1 и 2 повторяются до тех пор, пока увеличение потока становится невозможным.

Ш а г 1 (процесс расстановки пометок). На шаге 1 каждый узел находится в одном из трех состояний: «помечен и просмотрен»,, «помечен и не просмотрен» или «не помечен». Вначале все узлы не помечены. Пометка произвольного узла N s всегда состоит из двух частей. Первая часть — индекс i узла N и который указы­ вает, что можно «послать» поток из N г в N j. Вторая часть помет­ ки — число, указывающее максимальную величину потока, кото­ рый можно «послать» из источника N s в N], не нарушая ограниче­ ний на пропускные способности дуг.

Прежде всего источник N s получает пометку [s+, е (s) = оо]„ Первая часть этой пометки означает, что можно послать поток из узла N g в этот же узел; символ оо означает, что величина потока не ограничена сверху. Теперь узел N s «помечен и не просмотрен», а все остальные узлы «не помечены».

Вообще выберем любой помеченный и непросмотренный узел N j. Пусть он имеет пометку В+, е (/)] или В“, s (/)]. Два узла будем называть соседними, если они соединены дугой. Из всех узлов, соседних с N j, выделим те узлы N k, которые не помечены и для

теперь «помечены и не просмотрены».) После этого всем соседним

узлы N h теперь также «помечены и не просмотрены».) Теперь все узлы, соседние с N j, имеют пометки. Тогда узел N j считается поме­ ченным и просмотренным, и его можно больше не рассматривать на этом шаге. Может оказаться, что некоторые соседние с N j узлы помечены, а остальные не могут быть помечены (либо все соседние с А /узлы не могут быть помечены); в этих случаях узел N j также-

увеличивающего поток. Е сли принять такую процедуру, то появление отри­ цательного дугового потока на шаге 2 (изменение потока) будет означать, что дуговой поток имеет направление, противоположное направлению пер­ воначального дугового потока.

144 ГЛ. 8. МАКСИМАЛЬНЫЙ ПОТОК

считается помеченным и просмотренным. Знаки «+» и «—» в пер­ вой части пометок указывают, как должен быть изменен поток на шаге 2 .

Продолжим приписывать пометки узлам, которые являются соседними для помеченных и непросмотренных узлов, до тех пор, пока либо узел N t окажется помеченным, либо нельзя будет боль­

поток максимален. Если же N t помечен, то на шаге 2 можно найти путь, увеличивающий поток.

III а г 2 (изменение потока). Предположим, что сток N t имеет пометку [Ат, е (£)]. Тогда заменим xht на xht + е (t). Если же он имеет пометку [А;- , е (/)], то xtk заменим на xth — е (t). Затем в любом из этих случаев переходим к узлу N k. Вообще если узел N h имеет пометку [у'+, е (А;)], то xjh заменим на Xjk + е (t) и перей­ дем к узлу N у, если узел N h имеет пометку [/“, е (А;)],, то xhj заме­

ним на xkj — г (t) и перейдем к Nj. Продолжим эти действия, пока не достигнем источника N s. После этого сотрем все старые пометки узлов и вновь перейдем к шагу 1 .

Чтобы обеспечить конечность процесса, будем предполагать, что дуговые пропускные способности btj целочисленны. (Ниже будет рассмотрена модификация метода, обеспечивающая конеч­ ность процесса при любых неотрицательных Ъц.)

Когда алгоритм заканчивается на шаге 1, то получается мно­

Отсюда следует, что (X , X) — минимальный разрез, поток через который равен его пропускной способности. Таким образом, получен максимальный поток. G другой стороны, каждый раз величина потока увеличивается по крайней мере на единицу (предполагаем, что пропускные способности дуг и исходный поток являются целочисленными). Поскольку величина максимального потока ограничена сверху пропускной способностью минимально­ го разреза (целым числом), то алгоритм расстановки пометок конечен х).

Рассмотрим сеть, изображенную на рис. 8.4. Каждой ориенти­ рованной дуге поставлено в соответствие 2 числа. Первое из них —.

1 1А Если вычисления начались с целочисленного потока, то все после­ дующие потоки (в частности, максимальный), получаемые при работе рас­ смотренного алгоритма, будут целочисленными. Этот простой, но важный факт известен под названием т е о р е м ы о ц е л о ч и с л е н н о с т и : если пропускные способности дуг b t j целочисленны, то сущ ествует максимальный поток, который целочислен.— П р и м , п ерев .

(рис. 8.4), посылая единицу потока по следующему пу*ги, увеличи­

потому что A i2 — ориентированная дуга. Но когда уже имеется ненулевой поток по дуге Л 12, можно послать поток из N 2 в N t, и в результате новый и прежний потоки по этой дуге взаимно уничтожатся.

алгоритм расстановки пометок всегда дает такой минимальный

разрез (X, X), что X — наименьшее среди упорядоченных по включению подмножеств узлов.

Если пропускные способности b(j не являются все целыми числами, то алгоритм может не быть конечным и может даже сходиться не к максимальному потоку. Такой пример построен Фордом и Фалкерсоном [67]. Это показывает, что метод расста­ новки пометок не эквивалентен симплекс-методу для задач линей­ ного программирования. Так как задача о потоке в сети является частным случаем задачи линейного программирования, а симплексметод работает при любых действительных числах, то должен существовать алгоритм решения потоковой задачи, в которой пропускные способности дуг являются любыми действительными числами.

Перейдем к рассмотрению такой модификации метода расста­ новки пометок, которая применима для любых неориентированных

с помощью метода расстановки пометок произвольный путь, уве­ личивающий поток; посылаем по нему максимально возможный поток. Если такой путь нашелся, 'то переходим к шагу 1; если же нет, переходим к шагу 3.

148 ГЛ. 8. МАКСИМАЛЬНЫЙ ПОТОК

принимать конечное множество различных значений. Каждый раз, когда мы возвращаемся к операции 3, величина потока при­

величина потока возрастает, то ни одно из этих значений не повторяется дважды. Таким образом, алгоритм конечен.

Этот же алгоритм можно использовать и в сетях с ориентиро­ ванными дугами, но доказательство этого факта довольно громозд­ ко *). Трудность заключается в том, что при осуществлении про­ цедуры изменения потока на шаге 2 поток по некоторой ориенти­

рованной дуге может взаимно уничтожиться с прежним, но ни одна дуга при этом не будет насыщена потоком. Поэтому нельзя утвер­ ждать, что на шаге 2 найдется по крайней мере одна новая дуга,

насыщенная потоком.

Теперь перейдем к изучению следующего вопроса: какое коли­ чество итераций в методе расстановки пометок требуется для нахождения максимального потока?

Каждый путь, увеличивающий поток, дает возможность увели­ чить величину потока по крайней мере на единицу. Если величина максимального потока равна v, то для нахождения максимального потока достаточно не больше чем v раз найти путь, увеличивающий поток. Предположим теперь, что мы умножили на 10 все пропуск­ ные способности дуг. Тогда величина максимального потока в новой сети будет равна 10и. Это означает, что для нахождения максимального потока в сети достаточно самое большее 1 0 ы раз

найти путь, увеличивающий поток. Следовательно, полезно было бы иметь такую верхнюю оценку количества итераций в процессе расстановки пометок, которая не зависела бы от величины макси­ мального потока, не известной до начала вычислений. Такая верхняя оценка была получена впервые Эдмондсом и Карпом 158]. Эта оценка справедлива и тогда, когда все пропускные способно­ сти дуг — действительные числа. Рассмотрим подробнее эти резуль­ таты 2).

Сделаем несколько замечаний и приведем модификацию метода расстановки пометок. Для, удобства будем считать, что сеть, имеющая п узлов, всегда содержит п (п — 1 ) дуг, хотя некоторые

дуги могут обладать пропускной способностью, равной, нулю. Если задан поток F в некоторой сети, будем использовать символ1*

триваемый алгоритм может не быть конечным. В этой же работе приводится [ модификация алгоритма, которая уже применима для лю.бых ориентирован- \яы х сетей.— Прим, перев.

2) В переводе исправлены имеющиеся в оригинале погрешности и вне­ сены уточнения, содержащиеся в работе Эдмондса и Карпа [58*], появив­ шейся после выхода в свет данной книги.— Прим, перев.

можно считать, что дуги А ц в сети «не существует», поскольку все

не существует, а имеется дуга i 2) с пропускной способностью, равной 1. В дальнейшем, говоря о сети N (F), будем иметь в виду

Р и с . 8.7. Р и с . 8.8.

сеть, отличающуюся от исходной сети, в которой еще не было потока. Метод расстановки пометок, таким образом, порождает некоторую последовательность сетей: N (Fi), N (F2), . . ., N (Fm), где Fm — максимальный поток. Поуок Fk+l получается из пото­ ка Fk с помощью добавления в сеть N (Fh) некоторого пути, увели­ чивающего поток.

При описании метода расстановки пометок мы до сих пор не указывали, в каком порядке следует просматривать помеченные узлы. Будем теперь придерживаться правила «первым помечен ■— первым просмотрен». Так, в рассмотренном выше примере (рис. 8.4)

каждый раз будет получаться увеличивающий поток путь, который содержит минимальное число дуг (если поток в сети еще не макси­

щем поток, окажется насыщенной потоком. Рассмотрим сеть, изображенную на рис. 8.7, где числа рядом с дугами означают

х) В гл. 10 будет рассмотрен алгоритм Дийкстры решения задачи о крат­ чайшем пути в сети. В случае когда длины всех дуг равны 1, он сводится

ная последовательность сетей. В сети N (Fh) найдется по крайней мере одна дуга, которая не содержится в N (.Fft+1), где Fk+i — поток, полученный из Fk с помощью добавления в сеть N (Fh)

Назовем кардинальной длиной пути число дуг в этом пути.

Определим кардинальное расстояние между N s и N t в сети N (Fk)

как длину кратчайшего увеличивающего поток пути, ведущего из N s в N t в сети N (Fh). Если не существует пути, увеличивающего поток из N s в N t, то кардинальное расстояние между N s и N t полагаем равным оо. Будем обозначать кардинальное расстояние между N s и N t через lhst.

Заметим, что следует различать путь из N s в N t, увеличиваю­ щий поток, и цепь из N s в N t, по которой проходит поток (кото­ рую будем называть потоковой цепью). Например, на рис. 8 . 8

кратчайшая потоковая цепь N s, N и N 3, N t имеет кардинальную длину 3, в то время как кратчайший путь, увеличивающий поток, здесь такой: N s, N 2, N 3, N t, М4, N t (следовательно, кардинальное расстояние между N s и N t равно 5). На рис. 8.9 кратчайшая пото­ ковая цепь имеет кардинальную длину 3, а кардинальное рас­ стояние между N s и N t равно оо.

Определим кардинальное расстояние l\v между двумя узлами N u и N v в сети N (Fh) ■как длину кратчайшего увеличивающего поток пути, ведущего из N u в N v в сети N (Fh). Если такого пути не существует, то полагаем luv = оо.