книги из ГПНТБ / Ху, Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях

небольшое отличие от записи, используемой в гл. 5: ранее стоящий справа столбец b теперь является нулевым столбцом. В верхнем

творяющая требованиям к потоку, будет самой дешевой. В частно­ сти, можно взять такую сеть: [2, 3, б, 0, 2]. Здесь, чтобы про­

способности 3; чтобы пропустить 3-й продукт из N 3 в N t величи­

ны 3 используется снова дуга i = 3, для чего ее пропускная способ­ ность увеличивается еще на 3 единицы (в результате становится

в табл. 11.2. В данном случае скорректированный столбец снова имеет вид [5, 0, 0, 6 , 5].)

После очередной итерации симплекс-метода получится таб­ лица 11.3 (кроме самого правого ее столбца). Здесь я = [О, О, 1/10, 0, 1/5], а самая дешевая сеть такая: [10, 5, 0, 6 , 0]. Применив

итерацию симплекс-метода к табл. 11.3, получим табл. 11,4.

16*

В табл. 11.4 я = (1/10, 0, 1/10, 0, 1/10). При таком я любая допустимая сеть обладает стоимостью яа^-, большей или равной 1 .

= [2, 1, 0, 6/5, 0]. На рис. 11.10 изображены 3 сети, которые обеспечивают выполнение соответственно 50, 30 и 20% всех тре­ бований к потоку, заданных на рис. 11.9.

Перейдем к изучению задач о многопродуктовом потоке мини­ мальной стоимости. Рассмотрим задачи, аналогичные (1) и (2), усложненные наличием дуговых стоимостей. Пусть каждой дуге i сети соответствует величина с; — стоимость перевозки по этой дуге единицы потока. Требуется перевезти заданное общее коли­ чество продуктов из источников в стоки с минимальными затра­ тами.

Пусть Ъ0 — заданное общее количество продуктов. Введем, как и в задаче (1 ), матрицу [ац] инциденций дуги-цепи и обозначим

S 0 , S j ^ ^ O j

В реальных коммуникационных сетях требования rpq (t) зави­ сят от времени t, так как с течением времени меняется нагрузка сети. Трудность решения задач анализа и синтеза зависит от вида функций rpq (t). Рассмотрим 3 возможных случая.

Случай 1. Величины rpq (t) не зависят от времени; все требова­ ния к потокам должны выполняться одновременно.

Анализ сети для этого случая проводится в § 11.2 и заклю­ чается в решении задачи линейного программирования с большим числом переменных с помощью модифицированного симплексметода. Для получения столбцов, вводимых в таблицу, решается вспомогательная задача нахождения кратчайшего пути. В случае двухпродуктового потока задачу удается решить без привлечения аппарата линейного программирования (см. § 1 1 . 1 или [106]).

Синтез сети заключается в решении многополюсной задачи о кратчайшем пути (см. [111]). Используя величины ctj в качестве

способность, равную требованию грд к потоку. Искомая сеть полу­ чается в результате «наложения» друг на друга всех найденных кратчайших цепей.

между некоторой парой полюсов.

Анализ сети заключается в нахождении максимального (одно­ продуктового) потока между всеми парами полюсов. Для неориен­ тированных сетей решение имеет простую и наглядную форму

(см. гл. 9 или [89]).

Синтез сети, если сеть неориентированная и все ctj одинако­ вые, был рассмотрен в гл. 9. Если Сц различны, используется аппарат линейного программирования (см. [90]). Решается задача линейного программирования с большим числом ограничений. Для уменьшения размера симплексной таблицы запоминаются только строки, используемые при вычислениях. Для получения строк, вводимых в таблицу, решается вспомогательная задача о макси­ мальном потоке.

ных отрезков, то получится Т систем неравенств типа (3), соот­ ветствующих каждому из отрезков. На каждом из них получается задача, рассмотренная в случае 1 1).

9 Если период Т разбит на такие мелкие отрезки, что rpq (г) можно считать на них независимыми от времени.— Прим, перев.

252ГЛ. 11. МНОГОПРОДУКТОВЫЕ потоки

Вэтой формулировке имеется т переменных и очень большое число строк, каждая из которых соответствует своему я). Если

можно было бы записать все я], то задача (9) решалась бы как обычная задача линейного программирования. Следовательно,

вся трудность заключается в получении векторов я,t-, являющихся векторами коэффициентов тех неравенств, которые используются в вычислениях.

Задачу (9) можно решать двумя методами — двойственным и прямым.

Сначала рассмотрим двойственный метод. Он состоит из двух частей — основной и вспомогательной. В основной части исполь­ зуется таблица двойственного симплекс-метода; вычисления начи­ наются с получения двойственно допустимого базиса и соответ­ ствующего двойственно допустимого у. С помощью вспомогатель­ ной части формируются неравенства, используемые в основной части.

Двойственный метод состоит из следующих шагов:

1)Выбор строки: среди неравенств (9) выбирается то, которое не удовлетворяет текущему значению у.

2)Выбор столбца, осуществляемый по обычным правилам двойственного симплекс-метода.

3)Выполнение преобразований Гаусса применительно только

кобратной матрице, где ведущий элемент получается в результате выбора строки и столбца на шагах 1 и 2 .

Шаги 2 и 3 представляют собой обычные шаги модифицирован­ ного симплекс-метода, а шаг 1 обладает специфическими осо­

бенностями.

Вычисления в основной части могут быть начаты с любого двойственно допустимого вектора у (например у = [0 , 0 , . . ., 0 ],

который является двойственно допустимым, так как по условию задачи с > 0). Поскольку в самом начале еще не получены нера­ венства, формируемые во вспомогательной части, то в основной части пока нельзя осуществить итерацию двойственного симплексметода. Тогда переходим к вспомогательной части, где решается следующая задача:

максимизировать

i

при условиях

Здесь вектор у — фиксированный двойственно допустимый вектор, полученный в основной части; t = к фиксировано; вели­