книги из ГПНТБ / Ху, Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях

ГЛАВА 11

МНОГОПРОДУКТОВЫЕ п о т о к и

11.1.Двухпродуктовые потоки (Ху [106])

Вгл. 8 рассматривалась задача нахождения максимального'

потока из источника N s в сток N t при наличии ограничений вида ХИ ^ Ьц на пропускные способности дуг. Если в сети имеется несколько источников и несколько стоков и поток может идти из любого источника в любой сток, то задачу можно свести к зада­ че с одним источником и одним стоком. Это осуществляется добав­ лением одного нового источника и одного нового стока.

Если ввести ограничение, что поток должен идти из некоторых выделенных источников в некоторые выделенные стоки, то полу­

В задачах об однопродуктовом потоке одна неориентированная дуга всегда может быть заменена на две ориентированные дуги с противоположными ориентациями. При этом потоки, идущие

х) Поток x\j считается положительным, если он идет по дуге A tj от узла N { к узлу Nj, если же он идет от узла N j к узлу N t , то считается отри­

цательным; = — X s-,:— Прим, перев.

31

224 Г Л . 11. М Н О ГО П РО ДУ К ТО В Ы Е п о т о к и

в противоположных направлениях, можно взаимно уничтожить. Иначе обстоит дело с многопродуктовыми потоками. Два разно­ продуктовых потока', идущих по одной дуге в противоположных

вуют ли допустимые потоки x\j, т. е. удовлетворяющие ограни­ чениям

(т. e. требуется выяснить, совместны ли эти ограничения).

Как уже говорилось раньше, однопродуктовую задачу о пото­ ке всегда можно представить как задачу линейного программиро­ вания с целевой функцией z = сх и ограничениями вида Ах = Ъ. Матрица А обладает свойством абсолютной унимодулярности, и следовательно, базисное оптимальное решение всегда целочис­ ленно. Это, вообще говоря, уже неверно в задачах о многопро­ дуктовом потоке. Большинство многопродуктовых задач не может быть решено методом расстановки пометок или его ва­ риациями.

Рассмотрим один специальный класс многопродуктовых задач— задачи о двухпродуктовом потоке в неориентированной сети. Для них справедлива теорема, аналогичная теореме о максимальном потоке и минимальном разрезе. Кроме того, они обладают свой­

и в случае псевдосимметричной сети х).)

Поскольку и доказательство теоремы, и описание алгоритма достаточно громоздко, мы сначала обсудим интуитивную идею, лежащую в их основе.

х) Псевдосимметричной называют сеть, для каждого узла N t которой

2 Ьи четна (см. [173]).— Прим, перев.

Пусть имеются потоки двух продуктов в сети. Будем максими­ зировать поток первого продукта, как это делается в обычной однопродуктовой задаче. После того, как в процессе максимиза­ ции получится требуемая величина г (1 , 1 ') потока 1 -го продукта, будем увеличивать поток 2 -го продукта от нуля до требуемой величины г (2 , 2 '), стараясь сохранять неизменной величину

потока 1-го продукта. Это делается путем создания в сети цикла для потока 1-го продукта. Добавление такого цикла либо увеличит дуговые потоки 1 -го продукта, либо уменьшит их, в зависимости

от направления дуговых потоков, уже имеющихся в сети. Алго­ ритм, представленный ниже, находит такой цикл для потока 1 -го

продукта, что при добавлении этого цикла в сети найдутся пути, увеличивающие поток 2 -го продукта.

Обычно разрез обозначался символом (X, X), а пропускная

способность разреза — символом с (X, X). По причинам, которые станут ясными в дальнейшем, будем теперь использовать символ

соответствующие понятия, когда разделяется много пар узлов. Приведенным множеством, разделяющим т пар узлов, называет­

Лемма 11.1. Удаление приведенного множества, разделяюще'го

кпар узлов, разбивает сеть не более чем на к + 1 компонент связ­

ности.

Д оказательство. Каждая дуга связывает два узла. Поэтому если удалять одну за другой дуги приведенного разделяющего множества, то число компонент связности каждый раз либо не меняется, либо увеличивается на единицу. Каждый раз, когда

15 т. ху

число компонент связности увеличивается на единицу, по край­ ней мере одна новая пара узлов оказывается разделенной. (В про­ тивном случае множество удаляемых дуг не было бы приве­ денным.) Поэтому, когда число компонент связности станет равным к + 1 , все пары узлов заведомо должны оказаться раз­

деленными. |

Обозначим через i — j новый узел, полученный в результате склеивания узлов N t и N , в один узел (т. е. Ьц делаем произ­ вольно большой величиной). Справедлива

Л емма 11.2. с (1, 2; l',2') = min [с (1 -2 ; 1 '-2 '), с (1 -2 '; 1'—2)].

Рис. 1 1 .1 .

более чем на 3 компоненты связности. На рис. 11.1 эти компонен­ ты изображены в виде прямоугольников, а линии между прямо­ угольниками обозначают множество дуг, связывающих эти ком­ поненты.

Если сеть имеет вид, представленный на рис. 11.1 (а), то с(1, 2; 1', 2') = с (1—2; 1'—2'). Если же сеть имеет вид, пред­ ставленный на рис. 1 1 . 1 (б), то с (1 , 2 ; 1 ', 2 ') = с (1 —2 '; 1 '—2 ).

Остальные случаи расположения узлов 1, 1', 2, 2' в компонентах связности рассматриваются аналогично. Следовательно,

с (1 , 2 ; Г , 2 ') = min (с (1 —2 , 1 ' - 2 '), с (1 - 2 ', 1 ' - 2 )).и

Лемма 11.2 позволяет найти с (1, 2; 1', 2') посредством реше­ ния двух обычных задач о максимальном потоке. Согласно ей для нахождения минимального множества, разделяющего две пары узлов, достаточно рассмотреть только два разбиения мно-

Дуговые потоки одного и того же продукта, протекающие по некоторой дуге в противоположных направлениях, можно анну­ лировать, что не изменит величины этого потока. Поэтому можно

каждая дуга обладает положительной остаточной пропускной способностью: b'ij bij — | x\j \ ± xjj > 0. Следовательно, можно дополнительно пропустить по этой цепи поток 1-го продукта,

цепи установим положительное направление следующим образом. Если после удаления дуги A из цепи узел N t будет связан с уз­ лом N 2 посредством дуг этой цепи и узел Nj будет связан с узлом N y посредством дуг этой цепи, то положительным направлением дуги Aij считается направление от N t к Nj. Заметим, что поло­ жительное направление дуги устанавливается относительно неко­ торой цепи из N 2 в N y . Будем говорить, что дуговой поток xi} имеет прямое направление, если он идет от N t к Nj, и обратное, если он идет от Nj к N t. Заметим теперь, что если N,r 6 Х 2Ь, то существует цепь из N 2 в Лг2', в которой каждая дуга A i} имеет

1) Индексы соответствуют первым буквам английских слов backward (обратный) и forward (прямой).— Прим, перев.

называется прямым путем из N 2 в N 2>. Прямой и обратный пути могут быть найдены с помощью метода расстановки пометок. Для простоты мы иногда будем называть эти два пути двойным путем

имеются обратный и прямой пути. Заметим, что обратный и пря­ мой пути идут из узла N 2 в узел N 2>, и слова «из N 2 в А 2->>будем иногда опускать.

существовать цепь из Ni в N i-, содержащая две дуги из (Х2Ь, Х 2Ь), одна из которых имеет x}h р> 0 .

Следовательно, если для некоторой дуги Ац разреза (Х2Ь, ХгЬ)

Введем следующие обозначения!

x) = miax\j, где минимум берется по всем ненулевым дуговым потокам x\j > 0 прямого направления на дугах прямого пути;

хь = min x\j, где минимум берется по всем ненулевым дуговым потокам x\j > 0 обратного направления на дугах обратного пути;

Теперь рассмотрим алгоритм, с помощью которого можно определить, допустимы ли потоки / ( 1 , 1 ') и / ( 2 , 2 ') и, если они

допустимы, построить их. (Этот же алгоритм может быть исполь­

предполагать, что г (1, 1'), г (2, 2') и — четные числа. (В одно­ продуктовой задаче о максимальном потоке предполагается, что btj — целые числа.) В вычислительном отношении это не является ограничением, потому что рациональные дуговые пропускные способности можно свести к четным целым числам.

Алгоритм построения двухпродуктовых потоков, называемый

методом циклического потока, заключается в следующем ([106]).

Ш а г 0. Найти / (1, 1'), равный г (1, 1') (если это возможно), исходя из заданных bij. Это обычная задача нахождения однопро­ дуктового потока. Для ее решения можно воспользоваться мето­ дом расстановки пометок Форда и Фалкерсона [65].

Если окажется, что max / (1, 1') < г (1, 1'), то заданные огра­ ничения на поток являются несовместными. В противном случае перейти к шагу 1. (Если требуется найти max [/ (1, 1') + / (2, 2')],

задача о максимальном потоке (т. е. требуется определить, при­

надлежит ли узел N 2' к Х 2 или нет). Если при этом получается / ( 2 , 2 ') ^ г (2 , 2 '), то алгоритм построения допустимых потоков

закончен. Если же / (2, 2') < г (2, 2'), перейти к шагу 2.

Ш а г 2. Найти двойной путь из JV2 в N 2>. Если его не суще­ ствует, то заданные ограничения на поток являются несовмест­ ными. (Если решается задача максимизации потоков, то получен max [/(1, 1') + / (2, 2')].) Если же двойной путь существует, то положить h — min (x\f, 0,5bbt) *). (Если существует несколько прямых и обратных путей, то можно выбрать из них любую пару путей.)

Двойной путь можно рассматривать как цикл. Поэтому можно отправить поток 1 -го продукта величины h от N 2 к N 2' по обрат­

ному пути, а затем дальше от N 2>к N 2 по прямому пути. Очевидно, что эта операция не изменит величины / (1 , 1 '), и в каждом узле N t

дуговые потоки одного продукта, идущие в разных направлениях, взаимно уничтожатся.) Перейти к шагу 3.

Ш а г 3. Увеличить / (2, 2') на 2h. Для этого надо направить поток 2 -го продукта по прямому и по обратному пути, т. е. h еди­

ниц потока по каждому из путей. После этого величина / (2, 2')

Шаги 1, 2, 3 повторяются, и в конце концов либо совокупность заданных ограничений окажется недопустимой, либо будет пост­ роен поток, удовлетворяющий заданным ограничениям.

Рассмотрим сеть, изображенную на рис. 11.2. На рис. 11.3— 11.6 линии из длинных черточек со стрелками указывают направление потока 1 -го продукта, из коротких черточек со стрелками — на­

правление потока 2-го продукта. Сплошные линии изображают дуги, на которых нет дуговых потоков. Возле каждой дуги указы­ вается 3 числа: первое число — Ъц, второе — хц, третье — xfj. Если имеется только одно или два числа, это означает, что осталь­ ные числа — нули. На рис. 11.2 числа рядом с дугами означают их пропускные способности Ьгу. Мы хотим найти m a x / ( 1 , 1 ' )

и max [ / ( 1 , 1 ') + / ( 2 , 2 ')].