книги из ГПНТБ / Ху, Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях

и у^1) образуют пару оптимальных решений, поскольку z = —х0 = = + 7/3 = y0= w .

3.4. Геометрическая интерпретация двойственности и дополняю­ щей нежесткости (Гомори [83])

градиент функции в этой точке должен быть линейной комбинаци­ ей этих нормалей к поверхностям-ограничениям. В задаче линей­ ного программирования каждое неравенство определяет допу­ стимую область — полупространство. Для того чтобы допустимая точка х была оптимальной, необходимо, чтобы градиент в х 6 т. Ху

84 ГЛ. 3. ДВОЙСТВЕННОСТЬ

В этом случае оптимальное решение удовлетворяет как слабой, так и сильной форме условий дополняющей нежесткости.

С другой стороны, если вектор с — такой, как показано на рис. 3.3 (т. е.' с — нормаль к одной из гиперплоскостей; а4х —

— bj = 0 ) , то оптимальная вершина в кружке не удовлетворяет

рис. 3.4, являющаяся также оптимальным'решением, удовлетворя­ ет и сильной, и слабой форме дополняющей нежесткости:

Упражнения

1. Рассмотрим задачу линейного программирования: минимизировать

z = xt + хг + х3

при условиях

^ з< 4,

Xi + хъ= 3.

Запишите условия двойственной задачи с двойственными пере­ менными:

а) не имеющими ограничений на знак, б) подчиненными требованию неотрицательности.

2.Приведите примеры прямой и двойственной задач, ни одна из которых не имеет допустимых решений.

3.Покажите, что если прямая задача обладает вырожденным оптимальным решением, то двойственная задача имеет более чем

одно оптимальное решение.

4. Если оптимальное решение удовлетворяет некоторому огра­ ничению задачи линейного программирования как строгому нера­ венству, то двойственная переменная у,, соответствующая этому неравенству, равна нулю. Если оптимальное решение удовлетво­ ряет ограничению как равенству, то двойственная переменная уг, соответствующая этому ограничению, принимает положительное значение. Дайте экономическую интерпретацию этому результату.

Дополнение

Доказательство теоремы двойственности, предложенное в на- . стоящей главе, основывается на теореме 1.4, которая в свою оче­ редь использует теорему о разделяющей гиперплоскости или экви­ валентные ей утверждения. Можно доказать теорему двойственно­ сти, пользуясь симплекс-методом (см. Данциг [37]). Другое доказательство теоремы двойственности, использующее вычис­ ления, приводится в приложении В.

ГЛАВА 4

ДВОЙСТВЕННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД

4Л. Двойственный симплекс-метод (Лемке [141])

Как видно из гл. 3, с каждой задачей линейного программиро­ вания тесно связана другая задача, двойственная к ней. В гл. 2 -был изложен способ решения задачи линейного програм м ирован и я,

называемый симплекс-методом. В этой главе будет описан другой способ решения задачи линейного программирования, называемый двойственным симплекс-методом. Эти два метода связаны между собой теорией двойственности.

Напомним, что симплекс-метод для задачи минимизации состоит из следующих шагов.

1. Из п вектор-столбцов матрицы А выбирается т векторов

вкачестве базиса.

2.С помощью метода исключения соответствующие базисным столбцам компоненты вектора с преобразуются в нули, а ( и X т)- матрица базисных столбцов приводится к единичной. В результате

все компоненты правой части Ь должны стать неотрицательными.

(Если не удается легко получить такой базис, то в качестве векто­

бец аг, выбранный по правилу проверки отношения так, чтобы сохранялось условие bt ^ 0.

4. Элемент ars — ведущий. С помощью метода исключения базис преобразуется. Возврат к шагу 3.

Если на шаге 3 все с} ^ 0, то текущее решение является опти­ мальным. Заметим, что на каждом шаге симплекс-метод сохраняет

прямую допустимость решения, т. е. > 0, а в конце Cj ^ 0. Поэтому текущее решение в последней таблице является и прямог и двойственно допустимым, а следовательно, оптимальным.

Напомним, что условие cj ^ 0 влечет за собой двойственную допустимость. Действительно, если

cj — cj — jtajiX) (для всех /),

т. е. с = с — яА >-0, или с^>яА, то я —допустимое решение двой­ ственной задачи.

Двойственный симплекс-метод начинает с двойственно допусти­ мого решения и сохраняет его двойственно допустимым на протя­ жении всех шагов. Двойственный симплекс-метод реализуется посредством таких же таблиц, что и прямой симплекс-метод. Сна­ чала определяется, какая переменная должна быть выведена из базиса, а затем — какая должна быть введена в базис. Двойствен­ ный симплекс-метод для задачи минимизации состоит из следую­

Заметим, что в роли ведущего элемента могут выступать толь­ ко отрицательные элементы.

Шаги 1 и 2 повторяются до тех пор, пока среди bt не найдется ни одного строго отрицательного (bt <С 0).

Решим следующий пример двойственным симплекс-методом: минимизировать

Система представляет собой диагональную форму относительно хх и хъ. Представив условия задачи в виде обычной симплексной таблицы, получим табл. 4.1. Заметим, что a0j ^ 0 (;' = 1, . . ., 4), следовательно, табл. 4.1 двойственно допустима. В ее левом столб­ це имеется элемент а10 = —4 <С 0, т. е. таблица не является прямо допустимой. Выберем переменную xt для вывода из базиса. Среди коэффициентов первой строки а12 = —3 и а14 = —1 могут служить в качестве ведущих. Поскольку

4.2. Столбцовая таблица (Бил [8])

Симплекс-метод на протяжении всех вычислений сохраняет прямую допустимость решения. Двойственный симплекс-метод сохраняет двойственную допустимость. В симплекс-методе вначале определяется, какой вектор подлежит вводу в базис, в двойствен­ ном симплекс-метоДе сначала определяется, какой вектор из базиса выводится. Вычисления в обоих методах основываются на методе исключения по строкам. При т < in эксперименты показали, что число итераций, требуемых для решения задачи, обычно колеблет­ ся от 2т до 3т.

Если т > п, т. е. неравенств больше, чем переменных, следует использовать метод исключения по столбцам. Рассмотрим сле­ дующую задачу:

минимизировать

Если —Ь ^ 0 , то, полагая s = —Ь и все небазисные переменные х = 0, получим прямо допустимое решение. Подобным же обра­ зом, если с ^ 0, то, полагая s = —Ь и х = 0, получим двойствен­ но допустимое решение. Заметим, что любая переменная (базисная или нет) выражается через небазисные переменные. В исходной