книги из ГПНТБ / Ху, Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях

же образом, если таблица не является прямо допустимой, то выби­ рается ведущая строка и производится проверка отношения эле­ ментов этой строки к элементам нулевой Строки. Если проверка отношения дает нуль, т. е.

то для сохранения прямой или двойственной допустимости табли­ цы используется лексикографическая упорядоченность.

Рассмотрим задачу: максимизировать

Задача (1) сведена в табл. 4.4. Заметим, что она соответствует минимизации функции— ш1), так что здесь a0j ^ 0. Это означает, что если положить все небазисные переменные yj — 0 (/ = 1, 2,

условие ai0 ^ 0 соответствует тому, что при равенстве нулю всех небазисных переменных ограничения выполняются.

Последовательные таблицы 4.5, 4.6 и 4.7 содержат результаты соответствующих итераций метода. Ведущий элемент преобразо­ вания в каждой таблице помечен звездочкой. Обратите внимание на то, что обозначения строк слева от таблиц не изменяются. Текущие небазисные переменные записываются сверху от таблицы.

Проверяя w = яЬ, получаем 13/2 = 1 *(2) + 1 -(4) + 1/2 (1) + + 0 (1).

Как было показано, исходную задачу можно записать в матрич­

П р и м , p e d i

множества небазисных переменных. Поэтому можно записать

"1- X = р X/

где х' —новые небазисные переменные и

“1

1

1

а тп

«

1

1

1_

Другими словами, А* умножается справа на Р.

Пусть в задаче линейного программирования ограничения имеют вид равенств, а переменные неотрицательны; тогда, если ограничений меньше, чем переменных, естественно использовать строчную таблицу, а в других случаях — столбцовую таблицу. Несмотря на то что свободную переменную всегда можно заменить двумя неотрицательными, поступать подобным образом не очень удобно, поскольку общее число переменных при этом увеличи­ вается г). Поэтому, если исходная задача содержит свободные переменные, большей частью бывает удобнее решать двойственную к ней задачу. Прежде чем записать двойственную задачу, полезно в исходной освободиться от ограничений в виде равенств, посколь­ ку они будут порождать свободные переменные в двойственной задаче. Для этой цели обычно используется техника преобразова­ ния линейной программы с ограничениями-равенствами в линей­ ную программу с ограничениями-неравенствами, после чего переходят к двойственной задаче. Преобразованная и исходная задачи должны быть эквивалентны в том смысле, что оптимальные значения их целевых функций равны и можно из преобразованной задачи восстановить величины переменных исходной задачи.

Имеется четыре следующих стандартных преобразования:

1. Замена уравнения, содержащего неотрицательную перемен­ ную х-г, неравенством. Предположим, имеется уравнение —2а:! +

+ 4а;2 — 2а:3 = 2 и a:t ^ 0. Тогда его можно заменить неравен­ ством 4а:2 — 2а:3 ^ 2 .

*) См. § 1,2.

начальное допустимое решение задачи (2), то мы движемся в точ­ ку J и затем в точку D. Если начальное допустимое решение есть Н, то мы перемещаемся в точку G, затем в точку F, затем в D.

В прямом симплекс-методе элементарное преобразование свя­ зано с заменой в текущем базисе одного из векторов на небазисный.

от того, какой из векторов, АЕ или А С, составляет меньший угол с вектором (—Ь). В любом случае на следующем шаге будет до­ стигнута точка D. Если начальным допустимым решением являет­ ся точка В, то на следующем шаге может быть достигнута точка D (или С), поскольку и С и D принадлежат одной гиперплоскости

свектором нормали а6.

Упражнения

1.Рассмотрим задачу минимизировать

z = - 2 я 4 — 3*5

при условиях

* 1 — * 3 —j— * 4 - j - 3 * 5 — 3 ,

хъ+ хз + ~ 2 xi 4* 2*5 = 24

хз > о (/ = 1, . . . , 5).

Решите эту задачу, использовав в качестве начальных базисных переменных *л и *2, выбрав для ввода в базис лексикографически минимальный столбец. Проверяйте правильность решения посред­ ством вычисления на каждом шаге z = яЬ.

2.Рассмотрим задачу:

идвойственную к ней. Предположим, что В — матрица оптималь­ ного базиса. Покажите, что я = свВ -1 — оптимальное решение двойственной задачи, где вектор св состоит из компонент вектора с, отвечающих базисным переменным оптимального базиса. Исполь­ зуйте тот факт, что условие сх >. яЬ справедливо для любых допустимых решений х и я прямой и двойственной задач соответ­ ственно.

1 *

ГЛАВА б

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД

5Л. Введение (Данциг и Орчард-Хейс [43])

В симплекс-методе все элементы симплексной таблицы пере­ считываются на каждой итерации. Допустим, исходные ограниче­ ния задаются матрицей А размера т X п, а оптимальное решение получается после t-й итерации. Тогда, естественно, для решения задачи необходимо последовательно найти t (т + 1) (п -j- 1) чисел. При вычислениях, как только получена очередная таблица, можно переходить к следующей итерации. Все предыдущие таблицы, включая исходную, могут быть «забыты». Предположим, что исходная таблица сохраняется. Какой информацией необходимо располагать в этом случае, чтобы получить все элементы текущей таблицы? Пусть нас интересует 29-я таблица. Тогда достаточно знать матрицу В -1, соответствующую 29-й таблице, и индексы текущих базисных переменных. Все остальные элементы 29-й таблицы можно получить из элементов исходной таблицы и обра­ щения текущего базиса В 29-й таблицы. Заметим, что я = свВ -1, т. е. текущий вектор я получается умнояшнием вектора св из исходной таблицы на обращение текущего базиса В -1. (Индексы текущих базисных переменных указывают, какие компоненты

входят в св.) Вектор Ь задается произведением В _1Ь, где Ь берется из исходной таблицы; любой столбец а.) получается умножением В -1 на aj, где а} — столбец исходной таблицы и В -1 — обращение текущего базиса. Таким образом, если заданы В -1 и индексы базисных переменных, то, используя исходную таблицу, можно получить все элементы текущей таблицы.

Пусть заданы исходная таблица и матрица В -1, соответствую­ щая 29-й таблице. Какие элементы 29-й таблицы необходимы для того, чтобы получить матрицу В -1, соответствующую 30-й табли­ це? Такими элементами являются компоненты небазисного столбца

из 29-й таблицы, который доляшн быть введен в базис, и Ь из 29-й таблицы. Вектор а;- является кандидатом для вводив базис, если Cj < 0 *). Таким образом, необходимо вычислить с, данной (29-й) таблицы, выбрать среди них cs < 0 и затем вычислить as = B _1as и b = B -1b. Это дает возможность найти В -1 для сле-

г) Рассматривается задача минимизации.— Прим. ред.