книги из ГПНТБ / Ху, Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях

Система (10) не может иметь неотрицательных решений. Действи­

Итак, система (10) не имеет неотрицательных решений. Приме­ няя индуктивное предположение к системе (10), получаем: суще­

тельном решении системы линейных неравенств.) Выполняется только одна из следующих альтернатив’, либо система неравенств

имеет неотрицательное решение, либо неотрицательное решение имеет система

УА > 0 , уЬ < 0.

Д оказательство. Пусть А* — произвольная (т X ?г)-матрица. По теореме 1.2 либо А*х* = b имеет неотрицательное решение, либо имеет решение система неравенств уА* ^ 0 , уЬ < 0. Поло­ жим А* = [А, I], х* = [х, s]. Тогда теорему 1.2 можно сформу­ лировать следующим образом:

а) либо система уравнений

Но утверждение (а) эквивалентно тому, что Ах ^ Ь имеет неотрицательное решение, а утверждение (б) эквивалентно тому, что уА ^ 0 и уЬ < 0 имеет неотрицательное решение. Теорема доказана полностью. ш

Поскольку теорема 1.3 верна для любых А и Ь, мы можем за­ менить А и Ь на —А* и —Ь*. Затем умножим обе части неравенств на —1, что изменит смысл неравенств на противоположный. Освободившись от (*), оформим полученный результат в виде следствия.

где К т = —К,

имеет по крайней мере одно такое решение х, что

Кх + х > 0.

Д оказательство. Через К ; обозначим i-ю строку из К. Докажем,

1.4. КОНУСЫ, ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА И ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ 23

Положим в следствии 1.1 b = е; и А = К. Если неотрицатель­ ным решением обладает система (13), то существует такой хг ^ 0 , что

с координатами точки. Пусть дан вектор а; множество точек прямой, содержащей начало координат и данный вектор, может

а другим — уходящим в бесконечность. Луч, выходящий из нача­ ла координат и содержащий вектор а, есть множество

{х | х = Ха, X > 0}.

Часть прямой, заключенная между двумя точками, вместе с этими точками называется отрезком. Отрезок от точки а до точки b можно представить как множество в виде

1.4. КОНУСЫ, ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА И ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ 25

Пример 8. Будут ли конусами отрезок и прямая, проходящая через две данные точки?

Определим операции над выпуклыми конусами и установим

Очевидно, сумма двух выпуклых конусов есть также выпуклый конус. Например, сумма двух прямых, проходящих через начало координат (двух выпуклых конусов) есть плоскость, содержащая эти две прямые. Сумма двух полупрямых есть конус, рассмотрен­ ный в примере 6.

Если Cj и С2 — выпуклые конусы, то их пересечение Сх (] Сг определяется как

Cl П с г = {х I х 6 Cl и х 6 С2}.

Очевидно, пересечение двух выпуклых конусов есть также выпуклый конус. Например, пересечение двух полупространств в Е2 образует выпуклый конус, показанный на рис. 1.2.

Для выпуклого конуса С определим двойственный ему конус С* следующим образом:

С* = {у | у х < 0 для всех х £ С}.

Двойственный конус состоит из векторов, образующих неост­ рые углы с векторами из С (рис. 1.3). В примере 1 двойственным

С = (аД + (а2) + . . . + (ап).

Направляющие векторы этих полупрямых называются образую­ щими векторами выпуклого конуса.

Из определения суммы выпуклых конусов ясно, что любой вектор в конечнопорожденном конусе можно представить как

называемую выпуклой линейпой комбинацией точек Xj, . . ., хд.

Докажем эквивалентность этих двух определений выпуклого множества. Очевидно, первое определение является частным слу­ чаем второго. Поэтому множество, выпуклое по второму опреде­ лению, является выпуклым и по первому. Индукцией по к пока­ жем, что верно и обратное утверждение. При к = 2 определения совпадают. Предположим, что при к = т из выпуклости по пер­ вому определению следует выпуклость по второму, и докажем это утверждение при к = т + 1.

Заметим, что крайняя точка выпуклого множества всегда является граничной точкой множества, но обратное неверно.

Рассмотрим систему уравнений

Ах = b (А есть (т X гс)-матрица),

которую можно записать в виде

Э;Х = bt (i = 1, . . ., т),

где ai есть i-я вектор-строка матрицы А. Множество точек, удов­ летворяющих г-му уравнению, образует гиперплоскость

а;х = bt.

Если все уравнения независимы, то число п — т называется размерностью выпуклого множества {х | Ах = Ь}.

Пусть дано множество Р, не обязательно выпуклое. Для этого множества можно найти выпуклое множество X , содержащее Р,

т. е. х £ Р =#• х £ X.

Выпуклой оболочкой множества Р называется х) пересечение всех выпуклых множеств X t, содержащих Р.

Выпуклая оболочка конечного числа точек называется выпук­ лым многогранником, натянутым на эти точки. Очевидно, что выпуклый многогранник натянут на свои крайние точки.

Рассмотрим понятие минимума функции / (х). Часто в литера­ туре под минимумом функции понимается локальный или отно­ сительный минимум, поскольку сравниваются значения функции лишь в небольшой окрестности. Определим это понятие более точ­ но: функция / (х) достигает строгого локального минимума в точ­

Поскольку в общем случае локальный и глобальный минимумы функции не совпадают, возможным путем для нахождения гло­ бального минимума может оказаться сравнение всех локальных минимумов. Вместе с тем, как будет показано, для определенного класса функций, называемых выпуклыми, глобальный минимум функции совпадает с локальным.

1.4. КОНУСЫ, ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА II ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ 29

Функция / (х), определенная на выпуклом множестве X , назы­ вается выпуклой, если

/ [Ах, + (1 - А) х 2] < А/ (Xl) + (1 - X) f (х2) (0 < Я, < 1)

для любых Х(, х2 f X.

Функция / (х), определенная на выпуклом множестве X,

любые две точки этой поверхности, либо расположен над поверх­ ностью, либо принадлежит поверхности. Для строго выпуклой функции все точки отрезка, кроме концевых, лежат выше поверх­ ности.

Теорема 1.5. Если / (х) — выпуклая функция, определенная на замкнутом ограниченном выпуклом множестве X, то локальный минимум (строгий или нестрогий) функции / (х) совпадает с гло­ бальным минимумом функции / (х).

Доказательство. Хотямножество X задается в /г-мерном про­ странстве; рисунок, иллюстрирующий теорему, для наглядности выполнен в плоскости (рис. 1.4).

Пусть / (х) достигает локального минимума в точке х0, т. е. су­

Полученное противоречие доказывает теорему. Заметим, что мы не предполагали наличия в точке х* глобального минимума. Мы лишь допустили, что х* — любая точка, где / (х*) < / ( х 0).

Существование глобального минимума в замкнутой ограниченной области гарантируется теоремой Вейерштрасса.и

В противоположность выпуклой, вогнутой функцией называет­ ся такая функция, определенная на выпуклом множестве, что

/ [Лх, + (1 - X) х2] > Xf (Xl) + (1 — X) f (х2) (0 < X < 1) (3)

для любых Хь Х2 6 X.

Если в данном выше определении нестрогие неравенства заме­ нить на строгие, то функция будет называться строго вогнутой.