книги из ГПНТБ / Ху, Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях

купность гиперплоскостей с направляющим вектором с. Опти­ мальным решением является вершина, принадлежащая опорной гиперплоскости с направляющим вектором с. Оптимальное реше­ ние не единственно, если гиперплоскость z = сх параллельна одной из гиперплоскостей, пересе­ кающихся в оптимальной вершине.

Во второй интерпретации задачи линейного программирования рас­ сматривается m-мерное пространство условий, где Ь представлено векто­ ром (или точкой). Каждый столбец

ществует, если точка Ь лежит внутри конечно порожденного конуса, натя­

натянут на т векторов. Если векторов меньше, чем т, то получаем вырожденный случай. Каждому вектору aj поставим в соответствие стоимость су, оптимальное рещение задачи совпа­ дает с минимальной по стоимости линейной комбинацией векто­ ров &j, равной Ь.

Рассмотрим задачу линейного программирования: минимизировать

X i + А х 2 + Ъ х ?

при условиях

Геометрическая интерпретация этой задачи дана на рис. 1.7. Заметим, что оптимальным решением будет xt = 2/3; х2 = 0Г х3 — V3. Если ограничения заменить на неравенства, например ajXj ^ Ь, то задача сводится к отысканию комбинации векторов,, дающей точку, расположенную выше и правее точки Ь.

Нерешенная задача. Рассмотрим задачу линейного программи­ рования:

минимизировать

Z = сх

при условиях

Ах = Ь,

х > О,

где А — матрица ранга т. В теории линейного программирования говорится о том, что всегда можно отыскать оптимальное решение с не более чем т ненулевыми компонентами. (Предполагается, что задача имеет по крайней мере одно оптимальное решение.) Какой смысл имеет утверждение, что оптимальное решение содер­ жит не более q ненулевых компонент (q < ш)?

Г Л А В А 2

СИМПЛЕКС-МЕТОД

2Л. Введение

В главе 1 были изучены фундаментальные теоремы линейного программирования. В этой главе, а также в гл. 4, 5, 6 и 7 будут

рассмотрены вычислительные методы. Будем говорить, что задача линейного программирования записана в канонической форме, если все ее ограничения (кроме Xj ^ 0 ) представляют собой равен­

ства. Если все ограничения имеют вид неравенств, то задача запи­ сана в стандартной форме. Рассмотрим задачу линейного програм­ мирования в канонической форме: найти минимум функции

Теорема 1.9 устанавливает, что если существует допустимое решение, то существует базисное допустимое решение. Теоре­ ма 1.13 утверждает, что если существует оптимальное решение, то существует базисное оптимальное решение. Таким образом, для получения оптимального решения можно поочередно выбирать т столбцов из матрицы А и решать систему из т уравнений с т

неизвестными. Но такой метод потребует решения примерно ^

систем уравнений, что практически невозможно, даже для неболь­ ших значений га. Задачу линейного программирования можно решить за небольшое количество шагов, используя способ, назы­ ваемый симплекс-методом [29]. Высокая эффективность симплексметода помогла распространению линейного программирования и сделала практически разрешимыми прикладные задачи в про­ мышленности и военном деле.

Разберем симплекс-метод на небольшом числовом примере. Рассмотрим задачу линейного программирования:

Система (1'), (2') и (3') состоит из трех уравнений с четырьмя неизвестными. Применяя метод исключения Гаусса, получим сле­ дующую систему:

Такая система называется диагональной формой относительно неизвестных z, xt и х2. Решение z = 8 , xv = 5, х2 = 3, х3 = О

непосредственно следует из записи в диагональной форме. Заметим, что Xi и х2 называются базисными переменными, а х3 — небазис­ ной переменной (см. § 1.5).

Так случилось, что в полученном решении xt и хг неотрицатель­

Поскольку требуется минимизировать z, увеличим х3, насколько

максимальное значение х3, оставляющее xt и х2неотрицательными, получается из условия

симплекс-метод, только недостаточно систематически описанный. Прежде чем воспользоваться методом, необходимо ответить на ряд вопросов.

I. Пусть дана система уравнений. Рассмотрим пространство решений этой системы. Пространством решений является множе­ ство всех точек, удовлетворяющих системе уравнений. Если число переменных равно числу уравнений и матрица коэффициен­ тов невырожденная, то пространство решений состоит из одной точки, так как система имеет единственное решение. Если пере­ менных больше, чем уравнений, то пространством решений обычно является прямая, плоскость или пространство более высокой размерности. Говорят, что две системы совместных уравнений эквивалентны, если они имеют одно и то же пространство решений.

Т еорем а 2.1. Процедура исключения Гаусса не изменяет про­

странства решений системы совместных уравнений.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Процедура исключения Гаусса состоит и*

двух элементарных операций:

а. умножение уравнения Ei на ненулевую константу kt и замена уравнения Ei уравнением кхЕ 4;

б. сложение уравнений Ei и Е 2 и замена уравнения Е 2 урав­

эквивалентны.

II. В рассмотренном примере мы начинали с допустимого реше­ ния Xi = 5, х2 = 3, и допустимость сохранялась на протяжении всего процесса. Если бы мы выбрали диагональную форму отно­ сительно z, Xi и х3, то получили бы

откуда z = —1, Xi = —4, х3 = 3. Обсуждение процедуры нахож­ дения допустимого начального решения будет проведено в § 2.3.

III. Если z-уравнение принимает вид

Предположим, система представлена в диагональной форме отно­ сительно других переменных. Нельзя ли получить z-уравнение

Имеется по крайней мере два способа ответить на эти вопросы. Сначала дадим ответ, для которого не требуется материала первой главы. Заметим, что пространство решений системы линейных уравнений не изменяется при процедуре исключения Гаусса. Таким образом, решение, удовлетворяющее уравнению (4), являет­ ся решением исходной системы. В уравнении (4) все переменные неотрицательны, следовательно, а00 является нижней границей z, если не рассматривать остальных уравнений диагональной формы относительно z, xit . . ., хт. (Ограничения не могут умень­ шить нижнюю границу минимизируемой функции.) Если из ос­ тальных уравнений диагональной формы следует, что х3 ^ О (/' = 1 , . . ., т), то а00 действительно является минимальным зна­

чением функции z.

Используя материал гл. 1, можно дать другой ответ на постав­ ленные вопросы. Рассуждения при этом будут более длинными, однако они имеют прозрачный геометрический смысл. Целевая функция z, если она линейна, изображается гиперплоскостью. Остальные уравнения также являются гиперплоскостями, и их пересечение вместе с условиями Xj ^ 0 определяет пространство

решений. Поскольку гиперплоскости выпуклы, их пересечение тоже выпукло, и следовательно, пространство решений есть вы­ пуклое множество. Для линейной функции, являющейся выпуклой и определенной на выпуклом множестве, локальный минимум совпадает с глобальным. Уравнение (4) ■определяет локальный минимум z. Кроме того, базисное решение определяет вершину (или крайнюю точку) выпуклого множества, а мы знаем, что линей­ ная функция, являясь вогнутой, достигает своего минимума в край­ ней точке (по теореме 1.13, если существует оптимальное решение, то существует и базисное оптимальное решение). Поэтому мы представляем систему в диагональной форме (относительно опре­ деленных переменных), что дает нам базисное решение.

ный. Пусть a0s = min a0j < 0, т. е. a0s — минимальный отрица-

з

тельный элемент. Столбец s называется ведущим столбцом.

логии с «наискорейшим» спуском. На шаге 2 операция отыскания

шения. Она используется для получения в результате преобразо­ вания ai0 ^ 0 .

Шаги алгоритма повторяются до тех пор, пока на 1-м шаге все элементы нулевой строки не станут неотрицательными. Тогда, если положить в текущей таблице базисные переменные, записан­ ные слева от таблицы, равными ai0, будет получено оптимальное решение.

Решим пример, используя симплексную таблицу.

Пример 1. Рассмотрим задачу: минимизировать

2 = 11 — Х 3 — £4 — Х5,

при условиях

Перепишем ее в следующем виде:

Полученная запись является диагональной формой относительно

—z, х\, хг. Запишем ад, хг слева от табл. 2.1, чтобы показать, что