Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Ху, Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

16.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 5213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

6.2. ПРЯМО-ДВОЙСТВЕННЫЙ МЕТОД						121
при условиях
	2xi —х2+ Зх3 —2х4= 3,
—	Зх2—				= 1 ,	(6)
x j > 0		(j = l,		2,	3, 4).
Двойственная задача к (6 ) имеет вид
найти максимум	w =	Зя4 +		я 2
	w =	Зя4 +		я 2
при условиях	2 я1		я 2		1 ,
	2 я1		я 2		1 ,
	—Я1 -f- Зя2 ^ 1 ,					(7)
	3я1 —		4 я 2	2,		(7)
	3я1 —		4 я 2	2,
	— 2 я !	+	4я 2	^	8.
Вектор (яь я 2) = (0,	0) — допустимое				решение задачи (7).	При

таких значениях вектора я все ограничения задачи (7) выполняют

ся как строгие неравенства,	поэтому множество индексов / пусто.
Выпишем условия вспомогательной задачи:
минимизировать
Е=		а .	а
Е=		X i +	X 2
при ограничениях
4	=	3,
4	=	1,	(8)
4 > 0			(г = 1 , 2) .

Выпишем оптимальное решение задачи, двойственной к задаче (8 ):

(nt, я2) = (1, 1),	а целевая функция	£ =		4.
	с2 —(0, 0) а2			J_	(для яа;- > 0 ).
	(1, 1) а2		~	2	(для яа;- > 0 ).
	(1, 1) а2		~	2
Таким образом,	новое допустимое	решение			задачи		(7) имеет вид
я' = я + 01Я = (О, 0) + 4 -(1,			1 ) = (		2 ’	2	)■
					L	_ 1

Подставляя значения я' в условия (7), видим, что второе ограни чение превращается в равенство. Поэтому вспомогательная задача принимает следующий вид:

найти минимум

£ =

122 ГЛ. 6. МЕТОД ОДНОВРЕМЕННОГО РЕШЕНИЯ

при условиях

— Ж2 + Ж1 = 3,

3;г2 - \- х 2 = \ ,

(9)

X 2, х \ , я2> 0 .


О пти м а л ьн ы м	реш ением		задачи,		двойственной к вспом огатель
н о й (9 ), будет	я = (1, Vs)		с	яЬ =	1 = 10/з-
	0	— С1/2i ‘•/г) al			_ 1 — 4/2_	^
	01 “	(1 , i/s) а!			*/з	Ю •
Вновь полученное допустимое				решение —
	Л ' =	(112> V 2) +		VlO (1> Vs) = (4/ 5’ 3/б)’

Подставляя полученный результат в условия задачи (7), видим что первое и второе ограничения выполняются как равенства. Остальные ограничения превращаются в строгие неравенства. Следовательно, новая вспомогательная задача имеет вид:

минимизировать

е.

l ^

i +

X z

при условиях

2xi—

a;2 + ^i =

—

X i

- j - 3

2 +

X 2 =

(10)

л __а

X i ,

х 2 ,

X I ,

х 2 > и .

2 , х2 = 1

при

| =

— оптимальное

решение задачи (1 0 ).

Это

означает,

что

(xi,

х2, х 3, xt)

— (2 ,

1 ,

0 , 0 ) — оптимальное

решение задачи (6 ). Заметим, что выполнены условия дополняю

щей нежесткости:

(ct — я а 1) х 1 =	(1 — (4/ 5,	3/ б) [	2 ,	— 1	] ) - 2	=	0,
(с2 — я а 2) г 2 =	(1 — (4/ в,	3/s) [ — 1,		3	] ) - 1	=	0,
(с3—я а 3) х 3 =	(2 — (4/ 5,	3/&) [	3,	— 4 ]) • 0		= 0,
(с4— я а 4) г 4 =	(8 — (4/ 6,	Vs) [ — 2,		4 ] ) - 0		=	0.

Зная идею рассмотренного метода, опишем процесс решения при мера еще раз с помощью таблиц, подобных симплексным. Табли ца 6.17 включает в себя исходную целевую функцию задачи (6 ),

а также функцию |, представляющую собой сумму невязок. Заме тим, что в 1 -строке звездочкой помечены две позиции, расположен

ные над единичной матрицей. Числа, появляющиеся в этих пози циях в следующих таблицах, равны значениям 1 — ^ и 1 — я 2

соответственно.

	6.2.	ПРЯМО-ДВОЙСТВЕННЫЙ МЕТОД		123
Вычитая из ^-строки третью			и четвертую строки,	получим
табл.	6.18, которая	является стандартной для минимизации £
с х\ и ж® в качестве		исходных базисных переменных. Поскольку
все	коэффициенты	в z-строке	неотрицательные, л =	(0 , 0 ) —

допустимое решение задачи (7). Умножая соответствующим обра зом третью и четвертую строку на (0 , 0 ) и вычитая их из z-строки,

получаем ту же самую z-строку. (В вычитании не участвуют эле менты, соответствующие искусственным переменным.) Результат вычитания не изменит табл. 6.18. Поскольку все коэффициенты z-строки неотрицательны, ни один из столбцов под xi, х2, х3 и ж4

не может быть использован во вспомогательной задаче. Вспомога тельная задача «заключена» в первых трех столбцах и последних

трех строках табл. 6.18. Из	этой подтаблицы видно, что £ = 4
и 1 — iti = 0, 1 — я 2 = 0	или Я1 = 1, я 2 = 1. Заметим, что

значения (—яа7-) записаны в позициях ^-строки, а значения (Cj—

— ли,-)— в позициях z-строки. Таким образом, значение 0j опре деляется, как

0 i = mm	- з а ;
0 i = mm	mm
	з а ,-

Умножая g-строку на 1/2 и прибавляя z-строку, получим табл. 6.19 {в сложении не участвуют элементы, соответствующие переменным

х1 и х%). Эта процедура равносильна Cj — ла}- + 0i (—яа;), или

Cj — (я + 0 4л) aj, или Cj — я'а;.

Теперь, поскольку коэффициент в z-строке под х2 равен нулю, этот столбец может быть использован во вспомогательной задаче. Преобразовав последние три строки табл. 6.19 при помощи итера ции симплекс-метода, получим табл. 6 .2 0 .

Вследствие того что все коэффициенты в g-строке под ж“, х%

их2 неотрицательны, g = 10/3— решение вспомогательной задачи

иоптимальное решение я задачи, двойственной к вспомогательной,

задается	1 — я4 = 0 и	1 — я 2	= 2/3. Иначе говоря, п± = 1 и
.Я'2 = 1/3.	Значение 04 определится следующим			образом:
	0 ! = min	Уг	3/2	3_
		-5/з	-6/з	10

Итак, (я;, я;) = (1/2, 1/2) +		3/io(l,	Уз) = (*/5 , 3/s).

Прибавляя g-строку, умноженную на 3/10, к z-строке (исключая элементы, соответствующие искусственным переменным), получим табл. 6.21. Теперь, поскольку коэффициенты в z-уравнении под Xi и х2 равны нулю, соответствующие им столбцы могут быть использованы во вспомогательной задаче. В табл. 6.21 эти столб цы помечены стрелками. Применяя итерацию симплекс-метода к последним трем строкам табл. 6.21, получим табл. 6.22. Посколь

ку g	=	0 , эта таблица оптимальна при z = 3, xt = 2 , х2 = 1 ,
х 3 =	0 ,	т4 = 0 .

				Таблица 6.17
	1	х°			х2	х2	Ж4
— Z	0			1	1	2	8
- 1	0		' l *	0	0	0	0	J t Я
<	3	1	0	2	- 1	3	- 2	0
2	1	0	1	- 1	3	- 4	4	0
2				Таблица 6.18
				Таблица 6.18
	1			Xt	х2	х3
— Z	0			1	1	2	8
- £	- 4	0	0	- 1	- 2	1	- 2	Я Я
*?	3	1	0	2	- 1	3	— 2	0 1
<	1	0	1	- 1	3*	- 4	4	0 1
<
			„а	Таблица 6.19
	1	яа	„а	Xi	#2	*3	4
	1	яа	Х2,			*3	Я
		1	Х2,			5/2	7
— Z	- 2			1 / 2	0	5/2	7
- 1	- 4	0	0	- 1	- 2	1	- 2	Я Я
ха	3	1	0	2	- 1	3	- 2	1 / 2 1
1	3	1	0	2	- 1	3	- 2	1 / 2 1
„а	1	0	1	- 1	3* - 4		4	1 / 2	1
X2	1	0	1	- 1	3* - 4		4
				Таблица 6.20			хк
	1	<	ха	Xi	Х 2	*3	хк
		<	хг
— Z	- 2			1 / 2	0	5/2	7
- 1	-1 0 /3	0	2/3	-5 /3	0	- 5 /3	2/3	Я	я
ха	10/3	1	1/3	5/3	0	5/3	- 2 /3	1 / 2	1
х2	1/3	0	1/3	- 1 /3	1	- 4 /3	4/3	1/2	1/3
				Таблица 6.21
	1			1	1		^4
	1	*?	*2	* 1	х2	*3	^4
— Z	- 3	*?	*2	* 1		*3	36/5
— Z	- 3			0	0	2	36/5
- 1	-1 0 /3	0	2/3	- 5 /3	0	-5 /3	2/3	Л	я
ха	10/3	1	1/3	5/3*	0	5/3	- 2 /3	4/5	1
х2	1/3	0	1/3	- 1 /3	1	- 4 /3	4/3	3/5	1/3
				Таблица 6.22
	1	*?	*2	Х 1	д:2	х3	*4
— Z	—3	*?	*2				36/5
— Z	—3			0	0	2	36/5
- 6	0	1	1	0	0	0	0	Я	Я
XI	2	3/5	1/5	1	0	1	- 2 /5	4/5	0
х%	1	1/5	2/5	0	1	- 1	18/15	3/5	0

ГЛАВА 7

ПРИНЦИП ДЕКОМПОЗИЦИИ

7.1. Принцип декомпозиции (Данциг и Вулф [46], [47])

Обычным приемом в матричном исчислении является разбиение большой матрицы на несколько блоков, с тем чтобы производить дальнейшие вычисления с каждым из блоков. Подобный прием бывает особенно удобен, когда некоторые подматрицы имеют специальную структуру, например представляют собой единичные или нулевые матрицы. Последнее замечание относится к тому случаю в линейном программировании, когда матрица А имеет специальную структуру. Необходимо подчеркнуть, что принцип декомпозиции, описанный ниже, может использоваться для любой матрицы А, но достоинства этого метода становятся наиболее оче видными, когда матрица А имеет специальную структуру.

Рассмотрим задачу линейного программирования: минимизировать

Z =	с х	(1 )
при условиях	х ^	0.
Ах = Ь,	х ^	0.

Во многих случаях матрица А имеет структуру, показанную на рис. 7.1, где коэффициенты, стоящие вне указанных блоков, равны нулю.

Такую структуру может иметь линейная программа, составлен ная для большой фирмы с несколькими филиалами. Для каждого филиала составлена своя линейная программа, т. е. Агхг = bj, а для управления всей фирмой выписана матрица ограничений, включающая все ограничения, относящиеся к филиалам. Некото рые из матриц A i могут быть пустыми, например, в том случае, когда в фирме имеются отделы, не участвующие непосредственно в сфере производства, скажем отдел управления кадрами (отсюда Ai — пусто), но в матрице ограничений, относящейся ко всей фирме, эти отделы присутствуют. Заметим, что вектор Ь задачи

(1)	также разбивается на р	+ 1 векторов Ь0, . . ., Ьр.	Подобным
же	образом вектор с разбивается на р вектор-строк		щ, с2, . . .
.. .	., ср. Поэтому задачу (1)	можно переписать в следующем виде:

минимизировать

Z = 2 c i x i

5 = 1

126	ГЛ.	7. ПРИНЦИП ДЕКОМПОЗИЦИИ
при условиях
	V	=Ь0,
	2	=Ь0,
	3=1	Арс^Ь ,-	(/ = 1	(2 )
		Арс^Ь ,-	(/ = 1	(2 )

xj > 0 .

Каждое из подмножеств ограничений AjXj = b; определяет выпук лое многогранное множество Sj. Предположим, что Sj — ограни-

п\

п г

п з

п р

Ьо

Ь,

Ъ ъ

ьз

ЬР

Р и с . 7.1.

чено, и через xi} (i = 1 , . . sj) обозначим крайние точки много

гранника Sj. Тогда любое решение Xj можно представить в виде

X j —2 ^ i j X i j ,

i = i		(3)
		(3)
2	hij^^O.
i=1
Допустим, что известны все Xij.	Положим
l j j = lujXij,	Cij = Cj'X;'j .	(*>
Тогда задачу (2) можно переписать в виде
минимизировать
v	sj
Z=2 2 Cij^ij

i= 1 i= l

	7.1. ПРИНЦИП		ДЕКОМПОЗИЦИИ				127
при условиях
V	sj
2 2 ^ i A i j — Ьо,							(5)
3 = 1i=l
	si	Ч- = 1		(7 = 1, • • •, Р) ,
	2	Ч- = 1		(7 = 1, • • •, Р) ,
	7—1
				(i = 1 ,	• .. , sj).
Если в задаче (5) найдены все			,	то из условия (3) можно полу-
чить х;- в предположении, что			!	x i} известны.		Задачу (5) можно
наглядно представить, как на			ге. 7.2.
^111* • *	^12i••	ч cs%Z	^13i * • ' 1 Cs33			^Ipl* *' 1 Cgpp
^11■>^21’ *‘ • ’ ^5,1	^ гЛ п т- - ,h ii		^13ч - ч ^ з 3			‘ * *1^SpP
1 , 1 , . . . , 1
					I	I
	1 , 1 , . . . , 1				I	I
					1	1
						I
			1 , . . . , 1			I
						I
						1...... 1
		Р и с . 7.2.
Преобразование задачи из формы (2)					в форму (5)		уменьшило
	р
число строк с т 0 +	2 mi Д° то +		Р- С другой стороны, количество
	з= 1
				р		р
переменных значительно		возросло		с 2	пз Д°	2 sj •	К счастью,
				3= 1	3 = 1

нет нужды использовать сразу все переменные Хц и знать все х;;. Поскольку матрица на рис. 7.2 содержит т0 + р строк, для формирования допустимого базисного решения необходимы т0 -f- + р векторов. Пусть исходное допустимое базисное решение полу чено. Воспользуемся модифицированным симплекс-методом. Допу

стим, что известен вектор цен (л, л), где л — вектор с та

компонентами и л — вектор с р компонентами. Заметим, что лю бой столбец на рис. 7.2 имеет вид [1;;, е^]. В соответствии с симп

лекс-методом небазисный вектор подлежи^ вводу в базис, если его

V - . 4

128 ГЛ. 7. ПРИНЦИП ДЕКОМПОЗИЦИИ

относительная оценка отрицательна, т. е. если

Cij—Cij (it,	я) [1 г/, еД < 0 .
Пусть
я = (я^, Яг, . . . , Яр).
Тогда
Ci j = Cf j	Я1г_у Яj .

Среди небазисных векторов могут быть векторы из множеств

S 2 и т. д. Если минимальная относительная оценка для каждого Sj

неотрицательна, т. е. Су ^ 0 , то текущее решение оптимально.

Поэтому станем искать в каждом Sj вектор с минимальной отно

сительной оценкой.	Поскольку в данном Sj компоненты	одни
и те же для всех векторов, то решим следующую задачу:
найти
min {сц —я1*Д = min (с^-—яЬД xij
i	i

при условии x t j 6 S j . (Другими словами, мы хотим найти вершину

многогранника Sj, в которой сj — яL;- достигает минимума.) Полученная задача является задачей линейного программирова ния:

минимизировать

(Cj — nLj ) xj

при условиях

AjXj = bj, ху> 0.

(6)

Поскольку целевая функция задачи (6 ) линейна, минимум ее

всегда достигается в вершине, т. е. в некоторой хг;-. Если

(Cj яЬ j ) X i j Яу<С 01),

то вектор [1^, еД должен быть введен в базис, для чего выполняет ся обычная итерация симплекс-метода. Следует отметить одну особенность. Если вектор [1;7-, еД должен быть введен в базис, то, прежде чем выполнять итерацию симплекс-метода, этот вектор необходимо умножить на обращение текущего базиса В-1. Необ

ходимость умножения на В-1 вытекает из того, что вектор (я, я) был получен умножением матрицы условий задачи (5) на В-1. Поскольку вектор [1*7-, еД входит в условия задачи (5), он должен быть умножен слева на матрицу В"1, такж, как все остальные вектор-столбцы условий (5). Операция умножения вектор-столбца

1) Ху — оптимальное решение задачи (6).

7.2. ПРИМЕР

129

исходной таблицы на обращение текущего базиса называется

коррекцией.

Если после решения р линейных программ

min(c; — nLj)xij — n j > 0

(для / = 1 ,

р),

то текущее решение является оптимальным.

7.2.

Пример

Рассмотрим линейную программу:

минимизировать

Х \ -р 8ж2 “ИЪ х 1

6ж2 -f- х 3

при условиях

Xi -|- 4х2

xt -j- 2.x2

х3 — 7,

2хх-\-Ъхъ

= 5 ,

5^1+

6 ,

(1 )

Зх( + 4х'-|-

Зж' = 12,

Заметим, что в задаче (1)

X i ,

х 2 ,

х [ , ж', ж '> 0 .

Li = (1,

4),

L2=

( 4 - ,

А )

bo = 7 ,

b±=

[5,

6 ],

b2 =

12,

A i=

[ 5

1 ] ’

A2 =

[3 ,4 ,3 ],

ci — (1,

8 ),

c 2 =

(5,

6 ,

1).

Выпуклое множество £4 состоит лишь из одной точки хи =

[1, 1].

Выпуклое

множество

S 2 — треугольник

вершинами

х12

= [4, 0,

0],

х 22 =

[0,

0], х32 =

[0,

4].

Для того чтобы получить исходное базисное решение, необходимо

та +	р = 1 + 2 векторов. Поэтому предположим, что в качестве
начальных выбираются векторы х11?				х12,	х 22	(заметим,	что х32
знать не обязательно):
hi =	LlXll =	(1, 4) [1, 1] = 5,		с„ =	(1,	8 ) [1, 11 =	9,
la =	L2x12 =	(V4, 2, 5/4) [4, 0, 0] =	1,	с12 =	(5,	6 , 1) [4, 0, 0] =		20,
hz —^2х 22 =		(1/4) 2, 5/4) [0, 3, 0] =	6 ,	с22 =	(5,	6 , 1) [0, 3, 0] =		18.

Следовательно, задача приобретает вид: минимизировать

9Яц-(- 2ОЯ12 18Я224~ ...

9 т. ху

130

при условиях

ГЛ. 7. ПРИНЦИП ДЕКОМПОЗИЦИИ

5 А .ц 4 - Я 12 “Ь 6А-22 + ■ • • = 7 ,

Я,14	=1,	(2)
^12 “Г	^-22 + • • • ;= 1 •

Задача (2) является канонической задачей линейного программи рования с неизвестными Яг;-. Если воспользоваться методом штра фа (см. § 2.3), то с каждой искусственной переменной должна быть связана достаточно большая положительная оценка. В нашем случае поступим иначе. В табл. 7.1 искусственным переменным отвечают нулевые оценки, и какие бы на их месте ни появлялись в дальнейшем значения относительных оценок, положительные

					Таблица 7.1
	1	„а	а	„а	Хц	Х\2	Я22		константы
	1	x t	*2	хз	Хц	Х\2	Я22		константы
— Z	1 0		0	0	9	20	18	.	0
		1			5	1	6	.	7
			1		1	0	0	.	1
ха				1	0	1	1	.	1
3

или отрицательные, они не будут влиять на окончание работы алгоритма. Точки в табл. 7.1 показывают, что существуют другие столбцы, не включенные в таблицу.

				Таблица 7.2
	1	Х а	х а	Х а	Ян	Я12	Я22	константы
		1	2	3	Ян	Я12	Я22
— Z	1	2/5	— и	- 2 0 ,4	0	0	0	—28,6
Ян	0	0	1	0	1	0	0	1
Я12	0	- 1 /5	1	6/5	0	1	0	4/5
Я22	0	1/5	— 1	- 1 /5	0	0	1	1/5

После введения Яи , Я12, Х22 в базис получается табл. 7.2. Из нее видно, что (л:, щ, п 2) = (—2/5, И , 20,4),

7 48

(cj j t L j ) х 4 = {(1 , 8) — ( — 2/5) (1, 4 )} [X i , x 2] = - ^ x i + ~ x ^

Следовательно, для Si имеем: минимизировать

, 48

"g- x l + -g" х 2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 5213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ