книги из ГПНТБ / Ху, Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях
.pdf
INTEGER PROGRAMMING
AND NETWORK FLOWS
T. C . HU
Professor, Mathematics Research Center
and
Department of Computer Sciences
University of Wisconsin
Addison-Wesley Publishing Company
Reading, Massachusetts
Menlo Park, California-London-Don Mills, Ontario
1970
Т. ХУ
ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ И ПОТОКИ В СЕТЯХ
Перевод с английского П. Л. Бузыцкого Е. В. Левнера Б. Г. Литвака
Под редакцией А. А. Фридмана
\ |
Л |
\з-ж л
<ъиз -ЦАТЕМАТ.
__Я И Т ^ Р ^ У Р Ы
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1974
'К
УДК 51.38 + 519.9
’ЭКЗЕМПЛЯР
iЧИТАЛЬНОГО ЗАЛА
Щ- d W U
Книга посвящена новым,направлениям в целочисленном Программиро вании и теории потоков в сетях. Ее автор — известный специалист в области математического программирования. Излагаются оригинальные результаты автора о реализуемости, анализе и синтезе многополюсных потоков. Впервые развиваются новые аспекты целочисленного программирования, связанные с/ теоретико-групповым подходом к анализу целочисленных задач.
Книга содержит большой фактический материал, написана хорошим языком и читается легко. Она представляет несомненный интерес для спе циалистов в области дискретной математики, математического программи рования, теоретической кибернетики и математической экономики. Ее можно использовать как учебное пособие для студентов и аспирантов указанных специальностей.
Редакция литературы по математическим |
наукам |
v 20204-032 32—74 © Перевод на русский язык, |
«Мир», 1974 |
Х 041(01) —74 |
|
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Книга Т. Ху посвящена теории и методам решения дискретных условно экстремальных задач. В ней рассматриваются разнооб разные аспекты проблемы нахождения экстремума линейной функ ции, на переменные которой наложены линейные ограничения и требование целочисленности. В литературе эта проблематика известна под названием целочисленное программирование или дискретное программирование.
Задачи такого типа весьма актуальны, так как к их решению сводится анализ разнообразных ситуаций, возникающих в эконо мике, технике, военном деле и других областях. Эта проблемати ка интересна и с математической точки зрения. Она естественно связана с проблемами комбинаторной и дискретной математики — древнейшими и неувядающими фрагментами классической мате матики. И там и тут явно или неявно многие вопросы связаны с перебором, перечислением (полным или частичным) вариантов — допустимых планов задачи. С появлением ЭВМ, ростом их произ водительности и расширением возможностей перебора повысился интерес к дискретным задачам и к дискретной (конечной) мате матике в целом.
Целочисленное программирование исторически выросло из непрерывного линейного программирования, сразу начало исполь зовать, его идеи, аппарат и методы. По мере развития в нем все чаще используются идеи и язык дискретной, конечной математики, и мы становимся свидетелями того, как синтез, идей и средств непрерывной и дискретной математики дает новые побеги и плоды...
Проблематика дискретных экстремальных задач менее развита по сравнению с непрерывными, хотя число публикаций по дис кретным задачам быстро растет. До последнего времени это, в ос новном, была журнальная литература. На русском языке указан ные вопросы затрагивались в книгах Л. Р. Форда и Д. Р. Фалкерсона [67], Е. Г. Гольштейна и Д. Б. Юдина [З*]1), а книга А. А. Кор бута и Ю. Ю. Финкелынтейна [9*] целиком посвящена этой тема-
. тике. Бедность литературы по дискретным экстремальным зада чам с одной стороны и появление новых результатов — с другой
х) Звездочкой отмечены работы, добавленные при переводе. — Прим, ред
о ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
вызывают естественную потребность в книгах, отражающих совре менные достижения в этой области.
Предлагаемая читателю книга Т. Ху, как нам кажется, с этой точки зрения весьма полезна. Она имеет ряд несомненных дос тоинств.
1) Книга построена автономно, в пей излагаются все основные факты, необходимые для ее понимания.
2) В ней весьма компактно и систематически изложен большой фактический материал, в частности много свежего материала, ранее известного лишь по журнальным статьям. «Старая пробле матика» (например, теория потоков) излагается оригинально,
сучетом последних научных результатов.
3)В книге впервые намечаются интересные связи с такими разделами математики, как функциональный анализ и теория дискретных групп.
Книга состоит из трех больших частей и трех приложений. Первая часть —«Линейное программирование»— содержит весь необходимый для дальнейшего чтения материал. Этот материал
достаточно традиционен, хотя и включает некоторые сведения, не излагавшиеся ранее в книгах (см., например, § 6.1, § 4.2).
Вторая часть —«Потоки в сетях»— по содержанию частично пересекается с упоминавшейся выше прекрасной книгой Л. Р. Фор да и Д. Р. Фалкерсона и по существу является продолжением этой книги. Упомянем здесь новый и впервые систематически излагае мых! в гл. 10, 11, 12 материал, посвященный многополюсным сетям, двух- и многопродуктовым потокам, потокам в непрерыв ной среде. При изложении алгоритмов решения потоковых задач автор уделяет большое внимание теоретическим оценкам эффек тивности соответствующих алгоритмов.
Третья часть —«Целочисленное программирование»— содержит весьма подробное изложение основных регулярных методов реше ния линейных целочисленных задач. В гл. 13, 14, 15 рассматри ваются известные алгоритмы Гомори, основанные на идее введе ния отсекающих плоскостей. В гл. 17 (написанной специально Р.Д. Юнгом) впервые достаточно ясно и подробно излагается пря мой алгоритм решения линейных целочисленных задач. Если в алгоритмах Гомори «движение» к оптимальному целочисленно му решению происходит по нецелочисленным планам и первый же достигнутый при этом целочисленный план будет оптималь ным, то в прямом алгоритме мы движемся от одного целочислен ного плана задачи к другому, лучшему, пока не достигнем опти мума.
Особо хочется остановиться на содержании гл. 19 и 20, отра жающих новые результаты, принадлежащие Р. Гомори. Факти чески здесь впервые систематически излагается теоретико-группо вой подход к решепию линейных целочисленных задач. Указан
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА |
7 |
ные связи с теорией групп представляются плодотворными и за служивают пристального внимания. В последнее время появилось
довольно много работ, |
связанных с этим направлением, однако |
|
у нас эта тематика до |
сих |
пор была мало известна. |
В приложениях А, В, С |
рассматривается процесс приведения |
|
целочисленной матрицы |
к |
нормальной форме Смита (лежащий |
в основе решения систем линейных уравнений в пространстве целочисленных векторов), приводится один из вариантов дока зательства теорем двойственности линейного программирования, и, наконец, кратко обсуждается схема типа упорядоченного пере бора для решения целочисленных задач.
В конце книги приводится обширная библиография (более. 2Q0 наименований) по затронутым в пей и смежным вопросам. Мы сочли целесообразным несколько расширить список литера туры, добавив ряд работ (в основном отечественных), либо вышед ших позже, либо оказавшихся вне поля зрения автора, и дающих некоторое представление о новых результатах в этой области.
Книга написана и читается достаточно легко, хотя в ряде слу чаев материал преподносится довольно конспективно (гл. 12, 16, 20). Как правило, изложение методов и алгоритмов сопровождает ся иллюстрацией численных примеров, помогающих уяснить суть дела и вычислительные аспекты.
Неудивительно, что при такой насыщенности фактическим материалом и большом объеме книги в пей обнаружились недо статки и погрешности. Ряд утверждений сформулирован неточно; некоторые теоремы доказаны при одних предположениях, а ис пользуются в более общих ситуациях; в ряде рассуждений (дока зательств) обнаружены пробелы; имеется немало опечаток. Порой автор, увлекшись содержательной стороной алгоритмов, не выде ляет в виде отдельных утверждений условий сходимости соответ ствующих алгоритмов к оптимуму, полагая, что внимательный читатель сам сможет их сформулировать. Все погрешности, заме ченные переводчиками и редактором книги, в русском тексте устранены — иногда путем введения соответствующих примеча ний, а порой уточнением или изменением авторского текста. Внося соответствующие изменения, мы старались придерживаться ори гинальных работ, которым (как указывал автор книги) он следо вал при изложении тех или иных результатов.
Книга предназначена для математиков, инженеров и специали стов, интересующихся проблемами теории управления, матема тической экономики, теоретической кибернетики, дискретной математики и их приложениями. Она будет полезна также аспи рантам и студентам старших курсов соответствующих специаль ностей.
Книга Т. Ху отражает значительный прогресс в развитии теории и методов решения дискретных условно экстремальных
8 |
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА |
задач. |
Внимательный читатель найдет в ней не только системати |
ческое изложение предмета, но и свежие идеи, подходы, откры тые вопросы, стимулирующие и порождающие интерес к самостоя тельной творческой работе в этой области. Ее появление будет, несомненно, способствовать интенсификации и расширению фрон та работ в области дискретных экстремальных задач, привлече
нию |
к работе в этой области большего числа специалистов. |
В |
заключение хочется выразить искреннюю благодарность |
Е. Г. Гольштейну, С. С. Лебедеву, А. А. Вотякову, Ю. К. Солн цеву, Б. В. Черкасскому, А. В. Найвельту, содействовавшим работе над переводом книги и прочитавшим отдельные ее разделы. Их советы и замечания помогли устранить ряд недостатков и по грешностей в оригинале и способствовали улучшению качества перевода.
А. А. Фридман
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
Эта книга содержит три раздела: линейное программирование, теорию потоков в сетях и целочисленное программирование. Основ ное внимание в ней уделяется методам решения задач и их теоре тическому обоснованию. Отбирая материал для книги, я обращал внимание главным образом на следующие три группы вопросов: 1) вопросы, которые представлялись мне наиболее важными, 2) вопросы, которые были мне хорошо знакомы, 3) вопросы, кото рые не излагались подробно в других книгах.
Раздел, посвященный линейному программированию, доста точно стандартен, в него включен весь материал, необходимый для понимания остальных разделов. В § 6.1 описан взаимный метод решения прямой и двойственной задачи Балинского и Гомори [7], который ранее не излагался в книгах по линейному программированию. В этом же разделе, § 4.2, вводится процедура исключения по столбцам, используемая в алгоритмах целочислен ного программирования (в отличие от процедуры исключения по строкам, используемой в обычном симплекс-методе).
Второй раздел, посвященный потокам в сетях, содержит мно го нового материала, отсутствующего в других книгах. В главе 8 приводится новое доказательство Вейнотта и Данцига [199] свойств абсолютно унимодулярных матриц. В этой же главе рассматривается полученная Эдмондсом и Карпом [58] оценка сверху количества действий для нахождения максимального потока. В главе 9 предлагается новая схема анализа многополюс ных потоков в сетях. Главы 10 и 11 целиком содержат новые результаты, полученные главным образом после 1962 года. Изла гаются методы решения задачи о кратчайшем пути (Флойд [63], Дийкстра [49], Ху и Торрес [ИЗ]), задачи о многопродуктовых потоках (Форд и Фалкерсон [66], Гомори и Ху [91], Ху [107]). Здесь не рассматривается метод дефекта Форда — Фалкерсона, так как он прекрасно описан в их книге [67]. Поскольку главное внимание в книге уделяется алгоритмам, а не приложениям, то в нее не включено описание системы ПЕРТ, которую можно рассматривать как специальное приложение теории потоков в сетях. В основном во втором разделе либо содержится материал, отсутствующий в книге Форда и Фалкерсона [67], либо рассмат-