книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

Таким образом, корреляционная энергия выражается через 4nao(q, со)— поляризуемость газа свободных электронов. При малых q функция ^4 (q, со) обладает в комплексной плоскости со

Это соотношение устанавливает явное соответствие между под­ ходом в рамках RPA и методом Гелл-Мана и Бракнера. Так,

где vF— скорость на поверхности Ферми, а функция Qq{h/vF) определяется по формуле (23.3), введенной Бракнером. По­ скольку такое соответствие установлено, вычисление /?,,орр по формуле (24.13) в предельном случае высоких концентраций приводит к результату Гелл-Мана и Бракнера в виде (23.9).

Успех приближения хаотических фаз при rs<§;l вполне поня­ тен, так как само введение этого приближения разумно в си­ стеме со слабой связью. Метод RPA поэтому дает разумные результаты для энергии слабо неидеальных систем. С этим же обстоятельством связана возможность использования метода коллективных координат в дебаевской плазме, о чем шла речь во второй главе.

Итак, при высоких плотностях электронного газа получаем достаточно точные выражения для энергии основного состояния

270

системы. Это справедливо и для результатов вычисления парной функции корреляции в приближении RPA [13].

На рис. 32 представлена парная функция корреляции элек­ тронов с параллельными и антипараллельными спинами для различных значений гя. Как видно из рисунка, в приближении RPA появляются заметные корреляции между электронами с антипараллельными спинами, причем корреляции выражены сильнее при переходе к меньшим плотностям. Так, при г., — 0,1

Рис. 32. Бинарная функция корреляции для электронов с антипа­ раллельными (а) и параллельными (б) спинами в приближении хао­ тических фаз.

значения g(r) мало отличаются от полученных в приближении Хартри—Фока, тогда как при rs — 1 отклонение значительно. Электроны с параллельными спинами в приближении RPA «избегают» друг друга в несколько меньшей степени, чем в при­ ближении Хартри—Фока. Тем не менее в любом случае элек­ троны с параллельными спинами значительно больше «сторо­ нятся» друг друга, чем с антипараллельными.

Следовательно, кинетические (связанные со спином) корре­ ляции оказываются более важными, чем динамические (связан­ ные с зарядом). К этому же выводу можно прийти, сравнивая обменную и корреляционную энергии при фиксированных значениях г.,. При r,s^ 2 функция g(r) отрицательна для ма­ лых г. Поскольку этого не может быть, то можно сделать вывод, что в области г„:> 1 приближение хаотических фаз оказывается слишком грубым. Можно привести и другие примеры, свидетель­ ствующие о неприменимости приближения RPA при плотностях электронов, характерных для металлов. При переходе к реаль­ ному случаю необходимо, во-первых, обобщить теорию электрон­ ного газа на случай г« = 2-1-5 и, во-вторых, учесть влияние перио­ дической ионной решетки. В этих направлениях кое-что сделано к настоящему времени, хотя и не построено хорошей радикаль­ ной теории.

271

§ 25. ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ ЛАНДАУ

ИЭЛЕКТРОННАЯ ЖИДКОСТЬ В МЕТАЛЛАХ

Встоль кратком параграфе невозможно изложить теорию, являющуюся обобщением полуфеноменологического рассмотре­ ния нормальной ферми-жидкости Ландау, на случай системы частиц с кулоновским взаимодействием. Приведем здесь лишь

делить как вырожденную систему, в которой взаимодействие частиц вне зависимости от силы этого взаимодействия не меняет коренным образом свойства системы. Другими словами, жи­ дкость сохраняет существенные свойства невзаимодействующих фермионов. Теория Ландау основана на использовании понятия элементарных возбуждений, с помощью которых можно описать ряд важных свойств системы, зависящих от низколежащих воз­ бужденных состояний квантовой жидкости. В § 21 обсуждалось возникновение элементарных возбуждений в идеальном фермигазе. Обратимся теперь к рлучаю взаимодействия частиц фермижидкости.

Сравним реальную жидкость с идеальным ферми-газом и установим однозначное соответствие между собственными со­ стояниями этих двух систем. Пусть собственное состояние идеальной системы характеризуется некоторой функцией распре­ деления п °. Представим теперь, что' взаимодействие между

фермионами включается бесконечно медленно. При таких адиа­ батических условиях система остается устойчивой, а собствен­ ные состояния идеальной системы переходят в собственные состояния системы взаимодействующих фермионов. Это утверж­ дение является, конечно, лишь предположением, и его можно рассматривать как определение нормальной системы ферми­ онов*. Адиабатически включив взаимодействие, получим состоя­ ние реальной системы, которому можно приписать функцию

При низких температурах существенны только низколежащие возбужденные состояния в непосредственной окрестности ферми-поверхиости. В этом случае время жизни элементарных возбуждений велико и само представление о квазичастицах имеет смысл. Напомним, что в идеальной системе квазичастица

* В отличие от -сверхпроводящей системы фермионов.

272

совпадает с частицей и существует простая линейная связьмежду энергией данного состояния и соответствующей функ­ цией распределения. При взаимодействии частиц связь между энергией состояния Е и функцией распределения квазичастиц. пр становится существенно более сложной. Не можно записать как функционал E[nv], который в общем виде найти не удается. Однако, если функция п р достаточно близка к функции основ­

ного состояния Яр , этот функционал можно разложить в ряд Тейлора. Это же справедливо, конечно, и для свободной энер­ гии F. С точностью до третьего порядка по 8п р это разложе­ ние можно представить в виде

рии ферми-жидкости Ландау. Первая функциональная произ­ водная представляет собой энергию квазичастиц. Квадратич­ ный член в правой части равенства (25.2) описывает взаимо­ действие между квазичастицами, а сама правая часть представ­ ляет собой основные члены разложения F—Н0 по степеням от­ носительного числа возбужденных квазичастиц, которое можно записать в виде

a = ( l,W ) V p | блр |.

Так как каждое суммирование по импульсам вносит множи­ тель V (объем системы), то функция f p, р- имеет порядок У-1. Это легко понять, если учесть, что функция / Р, р- представляет собой энергию взаимодействия квазичастиц с импульсами р и р'.

Предположим, что f Р, Р- непрерывна при р и р', близких к pF. Поскольку значение этой функции нужно знать на фермиповерхности в точках, где е р = е Р' =р., то / Р, Р' зависит лишь от направления векторов р и р' и от спинов о и о'. В отсутствие магнитного поля система инвариантна относительно обращения времени, так что

' р. о; р' , а, = / , р, —а; —р , —а (25.3)

273

соответствующие параллельной и антипараллельной ориентации спинов. Удобно записать их в виде

где /р, р- и /р, р' —-симметричная и антисимметричная по спи­ нам части энергии взаимодействия квазичастиц. Можно считать, что антисимметричный член f° , обусловлен некоторой энер­

гией обменного взаимодействия 2/ р, р- , которая появляется в случае параллельных спинов.

Если система изотропна, то соотношения (25.5) можно еще упростить. В этом случае для р и р', лежащих на ферми-поверх-

При этом функция f полностью определяется набором коэффи­ циентов /) и Последние удобно выражать в приведенных

.величинах, полагая

об энергии взаимодействия по сравнению с кинетической энергией.

По поводу последнего выражения необходимо сделать не­

масса отличается от принятой ранее для описания движения

ферми-поверхности. В этом случае понятие эффективной массы становится несколько искусственным. Тогда удобно ввести плот­

•274

При низких температурах все физические свойства системы зависят от плотности состояний на ферми-поверхности. Именно эта величина и записана в левой части равенства (25.7).

Рассмотрим теперь некоторые равновесные свойства фермижидкости. Одно из достоинств теории Ландау состоит в том,, что с помощью этой теории легко понять, на каких макроско­ пических свойствах системы взаимодействие элементарных воз­ буждений, или квазичастиц, сказывается сильно, а на каких — нет. Рассмотрим, например, теплоемкость жидкости в низко­ температурном пределе. При вычислении

Cv = (dE/dT)N

можно воспользоваться выражением для энергии, которая представляет собой функционал Е{пр]. Однако при достаточна низкой температуре удобнее исходить из выражения для сво­ бодной энергии (25.2) и вычислять теплоемкость по формуле

гр — локальная энергия квазичастицы, которая определяется как свободная энергия квазичастицы, добавленной к равновесной системе:

р

что непосредственно следует из формулы (25.2). Нетрудно ви­ деть, что интеграл / бпр p2dp имеет порядок (3~2. Поскольку теп­ ловое движение возбуждает квазичастицы в области р-1 от ферми-поверхности, доля возбужденных квазичастиц составляет 1/|Зр. Эта величина и является параметром разложения в выра­ жении (25.2). Пренебрегая членами порядка бп3, допускаем погрешность в энергии порядка (Рр.)-3. Вследствие этой неопре­ деленности бессмысленно точно вычислять температурную за­ висимость любой другой величины, встречающейся в теории. Необходимо оставлять лишь главные члены по р-1, ибо непра­ вильно рассматривать поправки порядка тех членов, которыми пренебрегаем. Квадратичный по Ьп член в правой части выра­ жения (25.2) имеет порядок р~4, т. е. пренебрежимо мал по сравнению с главным членом, имеющим порядок р~2. Следова­ тельно, «тепловая» свободная энергия К(р)—F0 описывается

275

выражением того же типа, что и для идеальной системы. Тогда прямое вычисление дает

где плотность состояний v(0) определяется выражением (25.8),

адля изотропной системы имеет вид

v(0) — Vm*pF/(nihii).

Согласно выражениям (25.9) и (25.13), приходим к уже хорошо знакомому выражению для теплоемкости, линейно зависящей от температуры:

При достаточно низких температурах можно определить эффек­ тивную массу по наклону экспериментальной прямой CV(T).

Приведенные рассуждения на основе феноменологической теории позволяют сделать важный вывод о том, что теплоем­ кость нормальной жидкости не зависит (с указанной выше точ­ ностью) от взаимодействия квазичастиц.

После этого краткого введения в теорию ферми-жидкости Ландау постараемся понять, каким образом в рамках феномено­ логической теории может быть учтено кулоновское взаимо­ действие электронов. Применяя процедуру адиабатического включения, можно и здесь установить соответствие между собственными состояниями реальной и идеальной систем. Так, для нормального металла основное состояние получается адиа­

системы невзаимодействующих частиц. Как и в случае нормаль­

медленно включая взаимодействие. Так как полный импульс сохраняется и при наличии взаимодействия, получившаяся квазичастица имеет те же квантовые числа, что и исходная блоховская волна, а именно импульс р, лежащий в первой зоне Бриллюэна, и индекс зоны п. Поэтому квазичастица имеет те же характеристики, что и блоховская волна, т. е. можно опре­ делить ферми-поверхность и т. д.

В отсутствие взаимодействия волна Блоха обладает энер­ гией е° р, которая зависит от р довольно сложным образом.

Всюду на ферми-поверхности можно определить скорость = у-р е“ р- Из-за наличия ионного периодического потенциала отлична от скорости свободной частицы Up/m. Пусть теперь взаимодействие включено. Квазичастицы имеют энергию е п . р ,

276

равную первой вариационной производной от энергии системы. Энергия еп,р постоянна на ферми-поверхности и равна хими­ ческому потенциалу ц. В каждой точке S? можно снова опреде­ лить скорость ир Ф%р/т. Отличие v p от hp/m обусловлено двумя причинами: а) влиянием периодической решетки на каж­ дый электрон и б) многочастичными эффектами, возникающими вследствие кулоновского взаимодействия.

В случае почти изотропной ферми-поверхности (к этому близки щелочные металлы) можно написать v PF =h рр/т*, где

эффективная масса т* учитывает влияние как периодического поля, так и взаимодействие электронов. Обычно эти два эффекта так тесно связаны, что разделить их невозможно.

Как и в случае ферми-жидкости, рассмотрение второй ва­

квазичастиц в металлах сильно усложняется.

Другая сложность, возникающая при рассмотрении электро­ нов в металлах, связана с большим радиусом кулоновского взаимодействия. Оказывается, что подход, аналогичный теории

.Ландау, имеет смысл, если считать, что / Р,Р- соответствует экра­ нированному взаимодействию квазичастиц [9]. При рассмотре­ нии поведения электронов в металлах следует учитывать также электрон-фононное взаимодействие, т. е. взаимодействие элек­ тронов с колебаниями решетки. Вклад этого взаимодействия в макроскопические характеристики различен. Так, электронфононное взаимодействие практически не влияет на спиновую восприимчивость и сжимаемость, но при вычислении теплоемко­ сти его следует учитывать.

В феноменологической теории электронной жидкости также существуют трудности, обусловленные дальнодействием куло­

логично возникновению расходимости при вычислении группо­ вой скорости частицы на ферми-поверхности в приближении Хартри—Фока). Только в случае устранения подобных расхо­ димостей можно получить аналог теории Ландау для заряжен­ ной ферми-жидкости [2, 9].

В заключение отметим, что основные положения теории Ландау остаются справедливыми не только при описании свойств электронной жидкости, но и при наличии периодического потен­

277

Г л а в а д е с я т а я

ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ И ЭЛЕКТРОННАЯ ЖИДКОСТЬ

немногим исключением) в рамках теории возмущенний по кон­ станте взаимодействия. В системе многих тел с дальнодействующими силами удается выйти за рамки теории возмущений путем выделения и суммирования бесконечного числа фейнмановских диаграмм, которые являются наиболее существенными в рассматриваемой задаче. При этом, однако, решение в явном виде удается получить, когда задача содержит малый параметр. Характерными примерами систем с малым параметром яв­ ляются уже рассмотренные системы кулоновских частиц: де­ баевская плазма и бракнеровский электронный газ, для кото­ рых можно получить корректное выражение для энергии в виде разложения по малым параметрам, характеризующим слабое взаимодействие частиц в системе. И в том, и в другом случае использовалась малость амплитуды рассеяния но сравнению со средним расстоянием между частицами. Как правило, практи­ ческий интерес представляют задачи, в которых безразмерный характерный параметр отнюдь не мал. Например, для системы кулоновских частиц при конечной температуре наиболее инте­ ресна область термодинамических величин, где кулоновская энергия на среднем расстоянии между частицами сравнима с температурой, когда дебаевский параметр порядка единицы. Трудности, возникающие при решении этой задачи, являются основным препятствием к получению уравнения состояния плазмы при значительных давлениях и умеренных температу­ рах. Проблема вычисления энергии основного состояния ма­ кроскопической системы при Г= 0 также не решена в наибо­ лее интересной области, где отсутствует малый параметр за­ дачи.

Так, в теории металлов необходимо знание корреляционной энергии электронной жидкости для вычисления энергии связи, которая непосредственно может проверяться экспериментально.

Даже в случае простых металлов плотность электронов про­ водимости такова, что опять имеем задачу без малого парамет-

279