книги из ГПНТБ / Клюев, А. С. Автоматическое регулирование

5-5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ПРОЦЕССА

Динамической ошибкой переходного процесса, возни­ кающей при изменении воздействия на систему (см. рис. 5-1), называется переменная во времени раз­ ность

щее переменное значение выходной величины в течение переходного процесса.

площадь на рис. 5-14,а, тем быстрее ликвидируется дина­ мическая ошибка.

Следовательно, величина заштрихованной площади может служить мерой качества автоматических систем регулирования с монотонными и апериодическими без перерегулирования переходными процессами.

Заштрихованная площадь на рис. 5-14,а измеряется определенным интегралом функции x(t) при изменении t от 0 до оо:

(5-47)

260

Интеграл Л называется линейной интегральной оцен­ кой качества.

Если известна передаточная функция системы и на вход системы поступило единичное ступенчатое воздей­ ствие, то значение линейной интегральной оценки нахо­ дится весьма просто.

Преобразуем по Лапласу выражение (5-46), учитывая, что согласно формуле (3-22) для замкнутой системы

L[h(t)\ = - ^ - ф(р) и что изображение постоянной вели­ чины h(оо)(при g0 = l) равно:

L[h(oo)\ — Ь[Ф (0) 1 ] = - ^ ^ . '

С учетом этого в преобразованном по Лапласу виде выражение (5-46) запишется как

Х(р) = фМ ^ і фМ .

Вместе с тем, полагая р— >-0 в выражении (2-7) и учитывая равенство (5-47), имеем:

\

Х (0 )= \x{t)dt = I

о

Таким образом, линейная интегральная оценка каче­ ства Л при поступлении на вход системы единичного ступенчатого задающего воздействия определяется через значения передаточной функции замкнутой системы для установившегося и неустановившегося ее состояний:

р->0 Р

Так, например, для системы, являющейся в динами­ ческом отношении апериодическим звеном с передаточ­ ной функцией, определяемой уравнением (2-22), линей­ ная интегральная оценка качества равна:

261

Линейная интегральная оценка качества реального дифференцирующего звена с передаточной функцией, определяемой выражением (2-53), равна:

О

ІіТр

Т р + 1

р->0 ~р

кТ.

Таким образом, апериодическое звено и реальное дифференцирующее звено имеют равные линейные ин­ тегральные оценки качества при одинаковых параметрах к п Т, по их динамические ошибки имеют противополож­ ные знаки относительно нового установившегося состоя­ ния.

Линейная интегральная оценка качества звеньев обо­ их рассмотренных видов тем больше, чем больше по­ стоянная времени звена п его коэффициент передачи. Если система имеет передаточную функцию иитегро-

Линейная интегральная оценка качества этой системы зависит от соотношения постоянных времени Г„ н Тя.

Если в переходном процессе имеются перерегулирова­ ния или этот процесс колебательный, то динамическая ошибка регулирования (см. рис. 5-14,6) за время пере­

оценкой качества, то из суммы положительных площадей будут вычитаться отрицательные площади и этот крите­ рий не будет однозначно связан с действительным каче­ ством системы.

Например, при установившихся незатухающих коле­ баниях выходной величины положительные и отрицатель­ ные площади, ограниченные кривой переходного процес­ са, будут равны и линейная интегральная оценка каче­ ства будет равна нулю. Если исходить из линейной инте­ гральной оценки качества, следует признать качество та­ кой системы очень хорошим; фактически Же эта система по качественным показателям практически непригодна для использования. В связи с этим при наличии перере­ гулирования в переходном процессе и колебательном

262

Квадратичная интегральная оценка качества равна площади, ограниченной кривой xz(t) (рис. 5-15,а).

Однако квадратичная интегральная оценка качества процесса регулирования в ряде случаев также не дает объективной оценки характера переходного процесса.

Рис. 5-15. Графическое представление квадратичной интеграль­ ном оценки качества процесса регулирования.

В качестве примера рассмотрим (рис. 5-15,6) кривые апериодического процесса (кривая 1) и колебательного процесса (кривая 2) с большим коэффициентом колеба­ тельности.

Как следует из рис. 5-15,6, интегральная квадратич­ ная оценка качества колебательного переходного процес­ са будет меньше, чем апериодического процесса. Факти­ чески же в данном случае более приемлемым является апериодический процесс.

Недостатки рассмотренных выше интегральных оце­ нок качества обусловили появление так называемого обобщенного интегрального критерия вида

2 6 3

где V(t) — квадратичная форма от отклонения регулш руемой величины и ее -производных, например

Физический смысл критерия Іѵ состоит в том, что минимизируется не только величина и длительность от­ клонения регулируемой величины от заданного значения,

с учетом ограничений отдельных динамических показа­ телей переходного процесса.

зато и более длительным.

Для большинства практических систем к переходно­ му процессу предъявляются требования минимизации квадратичного интеграла динамической ошибки (заштри­ хованных площадей на рис. 5-15) и скорости изменения регулируемой величины.

В этом случае обобщенный интегральный критерий качества запишется в виде

•=П-+Ч£)Чdt.

264

К переходным процессам в линейных АСР применим закон суперпозиции, как указывалось в гл. 1; это значит, что если входное воздействие представить как сумму со­ ставляющих воздействии и найти уравнения или постро­ ить кривые переходных процессов в системе для каждой составляющей порознь, то переходный-процесс, создавае­

рых имеют вид трапеции; при этом две стороны трапеции совпадают е осями кобрдинат со и Vф (со), третья парал­ лельна оси со, а четвертая наклонна.

Выбор трапеции в качестве типовой формы состав­ ляющих вещественных частотных характеристик обуслов­ лен следующими соображениями:

1) действительные вещественные частотные характе-

266

ристикп реальных систем регулирования легко расчленя­ ются на небольшое число трапецеидальных составляю­ щих;

2)вычисление ординат кривой переходного процесса для трапецеидальной вещественной частотной характе­ ристики достаточно просто и может быть облегчено ис­ пользованием таблиц;

3)точность расчетов достаточно велика.

Так как сумма переходных процессов от отдельных

са /г(т) для единичных трапеций с различными наклона­ ми четвертой стороны, мы можем с помощью таблиц и не­ сложных пересчетов построить переходные процессы для каждой составляющей вещественной частотной характе­ ристики и, просуммировав их ординаты, получить кри­ вую переходного процесса замкнутой системы.

Любая трапецеидальная вещественная частотная ха­ рактеристика (рис. 5-17) характеризуется высотой ІУфо(сй), интервалом пропускания частот юо, интервалом равномерного пропускания частот соц и коэффициентом

теризуется только коэффициентом наклона x=cöd.

Для единичных трапеций с различными величинами X могут быть вычислены ординаты переходного процесса в виде Іг(т), где т = ‘соо^ — безразмерный параметр време­ ни. Из сказанного ранее вытекает, что для единичной трапеции т = 1• t — t.

Величины ординат переходных процессов, вычислен­ ные для различных х и х, называются Л-функциями.

267

'Значения /i-функциіі приведены в приложении 2.

Для перехода от /г-фуикции к переходной функции x{t), соответствующей данной составляющей трапецеи­ дальной вещественной частотной характеристике с тем лее %, но с Д ф 0 ( с о ) ^ 1 и соо+ М , необходимо значения /г-функции умноліить на Дф0(ю), а для перехода к но­

П о таблицам й-функций (см. Приложение 2) находим значения ординат переходных функций /і(т) для единичных трапецеидальных вещественных частотных характеристик при х = 0 ,5 и х = 0 .

По /і-функцин для х = 0 ,5 находим переходные функции, соответ­ ствующие первой трапеции Хі(/) и третьей трапеции x3(t).

Рис. 5-18. Переходная функция системы с вещественной ча­ стотной характеристикой, изо­ браженной на рис. 5-16,а, вы­ численная методом трапецеи­ дальных характеристик.

268

Йо A-функции Для х = 0 находим переходные функции, соответствующие второй трапеции x2(t).

Результаты рабчетов приведены в табл. 5-1, где т, Л(Х_ 0) и

Л ^—0 ,5 ) взяты из таблиц Л-функций:

Построив кривые Х\((), x2(t) и x3(t) переходных процессов для составляющих трапецеидальных характеристик и просуммировав их ординаты графически (рис. 5-18), найдем кривую переходного про­ цесса системы:

*(0=*і(0+*2(0+*зС0.

имеющей вещественную частотную характеристику, вид которой представлен на рис. 5-16,а.

5-7. ПРИМЕРЫ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА АСР

ТщТв(—а+/со)3+ (Гщ+Тп) (—'а+;'«)2—

— а + / м + А О б А р = 0 .

269