книги из ГПНТБ / Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу

рых не определена функция f. Множество Ж/ дает ряд интересных примеров. Легко видеть, что 0 является пре­ дельной точкой множества Жf и вместе с тем (ввиду следствия 4 п. 4 § 2) не является алгорифмической пре­ дельной точкой y(f. Здесь мы имеем дело с любопытной ситуацией: хотя сколь угодно близко к 0 и есть точки

то Ж] дает пример алгорифмически замкнутого, но не замкнутого множества. Из непрослеживаемости Ж^ вы­

и не являющейся всюду определенной ни в какой окрестности нуля. Там же в подстрочном примечании приведены примеры эффектив­ ных функционалов типа функционала теоремы 6, принадлежащие Фридбергу и Мучнику. Эти примеры, выполненные специально для бэровского пространства, также значительно менее громоздки, чем примеры, даваемые теоремой 6,

плотна на конструктивной прямой, не является эффек­ тивно нигде не плотным множеством. Наконец, множе­

женной выше конструкции. Как, вероятно, помнит чи­

ности, как конструктивная прямая, так и бэровское пространство могут быть получены объединением после­ довательности замкнутых, согласованных, нигде не плот­ ных множеств. Таким образом, условие эффективной

заканчивает свою работу) соответствующий алгорифм. Вместе с тем представляется достаточно естественным рассмотрение таких операторов, у которых точки не­ определенности являются просто точками рассогласо­ ванности, так что задающий оператор алгорифм может быть применим к этим точкам. Именно, такой характер имело определение конструктивной функции, предло­

казе от требования согласованности области определе­ ния оператора) теорема непрерывности опровергается на примере. В данном пункте мы изложим этот резуль­ тат Слисенко.

2)невозможна окрестность нуля такая, что W не

Остается заметить, что утверждение 2) теоремы выте­

пространства КДЧ, индуцированное Жчг. Используя алгорифмическую замкнутость Ж), нетрудно показать, что Kv —полное КМП. Квазиоператор Ф", рассмотренный на этом пространстве, является всюду определенным

при отказе от требования сепарабельности, хотя в этом случае и остается в силе теорема неразрывности. Тре­ бование полноты в теореме непрерывности также су­ щественно: очевидно, существуют разрывные операторы из пространства рациональных чисел в себя.

За дальнейшими сведениями о характере непрерыв­ ности алгорифмических операторов при отказе от тех или иных ограничений на метрические пространства мы

единице, (алгорифмическая) последовательность таких точек, (кон­ структивно) сходящаяся к нулю, невозможна.

БИБЛИОГРАФИЯ

В настоящую библиографию, помимо непосредственно цитируе­ мых в книге источников, включены известные автору работы, отно­ сящиеся преимущественно к конструктивному (вычислимому, рекур­ сивному) анализу. (Опущен лишь ряд работ Гудстейна, упоминае­ мых в библиографии русского перевода его книг [1]—[2].) Первоначальные библиографические сведения в области интуицио­ нистского анализа можно найти в монографиях Г е й т и н г а [3] и Ф р е н к е л я , Б а р - Х и л л е л а [1].

Составление этой библиографии закончено в январе 1972 года.

Ад л е р (A d 1 е г А.)

[1]Some recursively unsolvable problems in analysis, Proc. Amer.

Math. Soc. 22, № 2 (1969), 523—526. А л е к с а н д р о в П. С.

[1]Введение в общую теорию множеств и функций, Гостехиздат, 1948.

Б а н а х , М а з у р (В а п а с h S., М а г u г S.)

[1]Sur les fonctions calculables, Ann. Soc. Pol. de Math. 16 (1937), 223.

Б И Ш О П ( B i s h o p E.)

[1] The constructive development of abstract analysis, Международ­ ный конгресс математиков (Москва, 1966), Тезисы докладов, 1966, 31—39.

[2] Foundations of constructive analysis, New York, 1967.

[3]The constructivization of abstract mathematical analysis, Между­ народный конгресс математиков (Москва, 1966), Труды, «Мир», 1968, 308—313.

[4]Mathematics as a numerical language, Intuitionism and Proof Theory, Proc. of the summer conference at Buffalo, N . Y., 1968,

North-Holland Publishing Co., Amsterdam — London, 1970, 53—71.

[1]Constructive derivation of the decomposition field of polynomial, Ann. Math. 37 (1936), 1—6.

[2]On the ordering of real algebraic numbers by constructive me­ thods, там же, 7—16.

Вe й л ь (W e у 1 H.)

[1]Das Kontinuum, Leipzig, 1918.

[4] Интеграл Лебега и понятие измеримости функций в кон­ структивном анализе, Зап. научн. семинаров Ленингр. отд.

Матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова 8 (1968), 21—28.

[5] Связь интегрируемости конструктивных функций по Риману

и Лебегу, там же, 29—45.

[6]Пространства 3?г и S в конструктивной математике, Com­ ment. Math. Univ. Carolinae 10 (1969), 261—284.

[7]Об измеримости множеств по Лебегу в конструктивной ма­ тематике, там же, 463—492.

[8]О дифференцируемости конструктивных функций, там же, 167—175.

[9]Линейные функционалы в конструктивных пространствах 9?т, там же, 357—390.

[10]Теоремы о среднем значении для конструктивного интеграла Лебега, там же 11 (1970), 249—269.

[11] О представимости функций слабо ограниченной вариации, там же, 421—434.

[12] Об интегрируемости производных от конструктивных функ­ ций, там же, 667—691.

[13]Необходимое и достаточное условие абсолютной непрерыв­ ности конструктивных функций, там же, 705—726.

[14]О суперпозициях абсолютно непрерывных конструктивных функций, там же 12 (1971), 423—451.

[15]Необходимое и достаточное условие представимости кон­

Де т л о в с В. К.

[1]Эквивалентность нормальных алгорифмов и рекурсивных функций, Труды Матем. ин-га АН СССР им. В. А. Стеклова 52, Изд. АН СССР, 1958, 75—139.

З а с л а в с к и й И. Д.

[1] Опровержение некоторых теорем классического анализа в кон­

[5]О некоторых различиях между базисными и подчиненными переменными в логико-математических языках, Сб. «Матема-' тические вопросы кибернетики и вычислительной техники», Ереван, 1963, 13—29.

[6]О дифференцировании и интегрировании конструктивных функций, ДАН СССР 156, № 1 (1964), 25—27.

[7]О спрямляемости конструктивных плоских кривых, ИАН Арм. ССР, сер. матем. 2, № 2 (1967), 69—82.

[3]Berechenbare Reihen, там же 6 (1961), 143—161.

[4]Konstrunktive Analysis, Mathematische Forschungsberichte, X I , Berlin, 1961.

Кл и в (С 1 е a v е J.)

[1]The Primitive Recursive Analysis of Ordinary Differential Equa­

[3]A note on computable functionals, Proc. Konikl. nederl. akad. wet. A59, № 3 (1956), 275—280.

[2]Zur Deutung der intuitionistischen Logik, Math. Z. 35 (1932), 58—65.

К о л м о г о р о в А. Н., Ф о м и и С. В.

[1]Элементы теории функций и функционального анализа, «На­ ука», 1972.

[2]Интегрируемые f^-конструкты над вероятностным простран­ ством, там же, 97—104.

[3]Законы больших чисел в конструктивной теории вероятностей, там же, 105—113.

[4]Некоторые вопросы конструктивной теории нормированных алгебр Буля, Труды Матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова 113, «Наука», 1970, 3—38.

К р а й з е л , Л а к о м б ( K r e i s e l G., L a c o m b e D.)

[1]Ensembles recursivement mesurables et ensembles recursivement ouverts ou fermes, Compt. rend. Acad. sci. Paris 245, № 14