книги из ГПНТБ / Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу

332

СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ

[ГЛ. 8

может

быть дифференцируемой

на

О Д 1 (легко

видеть,

что дифференцируемая на 0 Д 1

функция локально рав­

номерно непрерывна на ОД 1).

4.

Использование сингулярных

покрытий позволяет

конца главы,

мы будем

предполагать покрытие Ф

сингу-

1

лярным,

для

определенности,

-ограниченным.

О п р е д е л е н и е

4.

Будем

говорить,

что колебание

функции

f на

сегменте

х А у

не меньше

е, если

можно

указать

КДЧ

zu z2

из хАу такие, что

О п р е д е л е н и е

5.

Будем

говорить,

что

функцияf

эффективно

неинтегрируема

по

Риману

на

0 Д 1 ,

если

существует

натуральное

число

k

и

последовательности

W\ W2

интегральных

сумм f

на

О Д 1 такие,

что

при

любом п

и

n{Wl{n)),

n(W2(n))

<

2~п

Ш1{п))-№2{п))\^2-к*).

Л е м м а

1 ( К у ш н е р

[9]). Пусть

f — функция,

k —

натуральное

число

такие,

что

колебание

f

на

любом

сегменте

Ф(п)

не

меньше,

чем

2~k. Тогда

f

эффективно

неинтегрируема

по

Риману

на ОД 1.

у,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Можно

построить

алгорифм

перерабатывающий

всякое

рациональное

г

из

0 Д 1

в

натуральное

число так,

что

КФ С НЕОБЫЧНЫМИ СВОЙСТВАМИ

333

Построим

алгорифм

Е, перерабатывающий всякое п

в дробление

0 Д 1 ,

образованное рациональными чис­

лами

• | Ф ( у ( й - 2 - я - ' ) ) |

?

где 0 ^

k ^

2п+\

0 <

/ < 2".

(Сегмент

О Л 1

разби­

вается

на 2 n

+ I равных

частей,

затем для каждой

точки

k-2~n-1

находится содержащий

ее сегмент

покрытия Ф,

Обозначим для

краткости

Е (П)

=5= tn,

о * . . .

* In, ln

и построим алгорифм

Е1

такой,

что

при

0 ^

i ^

/„

— 1

О, если

сегмент

tn,

i A tnt

i + 1

входит

Е1

{п,

i) =F

в

некоторый

сегмент

0(y(k

• 2 - " - 1

) )

( 0 < * < 2 Л + 1 ) ,

1

в

противном

случае.

Нетрудно

убедиться,

что

(7)

я ( £ ( « ) ) < 2-*;

(8)

если

£'(">

0 ^ = 1 . т

о

сегмент ф(у(*п'1

+

*п''+'))

включен

в

сегмент

! , , | A i „ , i + | .

Действительно,

если El

(п,

i) =

0, то tn>

i A tn,

i +

x

вхо­

дит

в некоторый сегмент

ф{у{]х

• 2~п~1)).

Тогда

,

,

| Ф ( у ( / , - 2 - " - ' ) ) 1

^ п - п

Если же

£'(">

0 = 1 »

то

интервал

/ „ , I V ^

, I

+

I

не со­

держит

ни

одной

точки

вида k

• 2~n~l

{0^.к^2п+).

Следовательно,

опять

tn.

/+i

tn.

i

<

2 .

Свойство (7)

доказано.

КФ С НЕОБЫЧНЫМИ СВОЙСТВАМИ

335

I О*7' («)) -

5

(")) =2 £' (л, 0 • (/ (Рп, д

-

1 = 0

-f(4n.

/))

• (*«. *+. -

*„, i) > 2 " f

e

• (1 -

sn).

Так как sn<~

(^покрытие

Ф-^-ограниченное j,

то

l(W\n))-i{W2{n))^2-k-\

Кроме

того,

ввиду

(7),

n{Wl{n)),

n{W2{n))<2-n.

Лемма

доказана.

Можно

построить

Т е о р е м а

8 ( К у ш

н ер

[9]).

функцию

/6 такую, что

1'.

1)

на

всей оси 0 ^

/в (*) ^

2)

/ 6 эффективно неинтегрируема

по

Риману

на

0А1 .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В

качестве

/б

можно

взять

склейку последовательности Я.

Предоставляем читателю показать, что функция / 6

имеет

первообразную

на

0 Д 1 . На

основе

первообраз­

грала

и

интегрируемости:

1) функция интегрируема

на

0 А 1

тогда

и только

тогда,

когда

она имеет

первооб­

разную

на

0 А 1 ; 2)

КДЧ

z

является интегралом /

на

0 Л 1

тогда

и только тогда, когда существует

первооб­

разная

g

функции

/ такая, что

z — g(l) — g(0)

* ) .

интегрируемости шире, чем интегрируемость по

Риману.

В связи с теоремой 8 и сделанными после нее за­

мечаниями возникает вопрос о возможности

введения

интеграла

(теорема

10;

этот

результат

принадлежит 3 а-

с л а в с к о м у

и Ц е й т и н у

[2]).

О п р е д е л е н и е

6. Пусть

функция

f

полигональна

на

0 А I и

Xq* ...

*хп

(хо =

0, хп

=

1) — ее

z

определяю­

щее дробление. Будем

говорить,

что

КДЧ

является

полигональным

интегралом

f

на

ОД 1,

если

П-1

В § 3 гл. 7 (следствие 4) показано, что всякий по

лигональный

интеграл

/ является

интегралом

Римана

/.

О п р е д е л е н и е

7

( З а с л а в с к и й ,

Ц е й т и н

[2]),

Двухместное

отношение

I

назовем

обобщенным

интегра­

лом

на

ОД 1, если

для

любых

функций

f,

g

и КДЧ

г ь

z2

выполняется

если

f(x)^0

на

0 Д 1

и

I(f,Zi),

1)

(монотонность)

то Z\ ^

0;

2)

(аддитивность)

если

/ ( / , z{)

и

f(g,z2),

то

I({f

— g},

zi

— z2);

если

f

полигональна

на 0 Д 1

и

3)

(перманентность)

Z\ — полигональный

интеграл

\,

то выполняется

/ ( / ,

Z\)*).

Из

результатов

гл.

7

(теоремы

8,

10—11

§

1 и

след­

ствие 4 § 3)

следует,

что

двухместное

отношение

«КДЧ

КФ С НЕОБЫЧНЫМИ

СВОЙСТВАМИ

337

Отметим сразу два простых следствия свойств

1)—3)

обобщенного

интеграла.

I — обобщенный

Т е о р е м а

9.

Пусть

интеграл, f

и

g—

функции,

Z\,

z2—

КДЧ.

Тогда

1)

если

f =

g

на

ОД

1 и

I{f,z{),

I(g,z2),

то г, =

z2;

2)

если

/

( / ,

2 , ) ,

I(g,z2),

то

I({f-{0-g}},

Z

l -

- ( 0 - z 2 ) ) * ) .

Поскольку из

/ =

g

следует,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

что

{/ — g} ^

0

и

[g — /} ^

0

на

0 Д 1 , то

согласно

1)—2)

определения

6 получаем

zx — z2 ^

0 и z2

—

z ^ O ,

откуда

Z\ =

z2.

1),

Далее

функция {0} (равная тождественно 0 на ОД

тегралом

и,

следовательно, выполняется /({0 — g},

0 — z2),

откуда

вытекает

I({f-{0-g}},

2, — (0 —

построить

ограниченную

неотрицательную

функ­

цию

/7

так,

что, каков

бы

ни

был

обобщенный

ин­

теграл

1,

невозможно

КДЧ z, при котором вы­

полняется

I(f7,z)

(т. е. f7

Рис. 20.

неинтегрируема

относи­

тельно

/ ) .

Д о к а з а т е л ь с т в о ,

Пусть

у — эффективно

не

сходящаяся

шпекерова

последовательность

рациональ­

ных чисел такая,

что

(12)

0 < Y ( n ) < v H

0 < 1

(см. определение

12 и теорему б §

1).

(рис. 20)

Построим алгорифм F1 так, чтобы

Fl(n,

х) =

2п+3 i \ x - r n

+

2- •п-4 I

—

\Х-

\х

— sn

j +

+

I х

—

sn

—га—4 IN

— 2

Эта

*)

Очевидно,

U — {0 — g}} = {{ +

g},

г, — (0 — г2 ) = г, +

г2 .

громоздкая форма записи

объясняется тем, что в

определении

338

СИНГУЛЯРНЫЕ

ПОКРЫТИЯ

[ГЛ. 8

Напомним,

что Ф — у-ограниченное

покрытие

0 Д 1 ,

причем

Ф(л) =

г „ Д « „ . )

Обозначим

через

апАЬ„

сегмент гп

— 2~п~А Д

sn

+

_|_ 2~п-4

Нетрудно

проверить, что при любом я алгорифм

Fln

является

полигональной

на

О Д 1 функцией, причем

эта

функция

линейна

на

сегментах

гп — 2 - " - 4

Д

гп,

sn Д sn + 2~п -4 ,

равна

1 на сегменте Ф(я)

и обращается

в 0 вне сегмента

ап

Д

Ьп.

Построим алгорифм F2 так, чтобы

Я ( я ,

х)= 1 - m i n f l ,

2 Я ( А ,

* ) ) .

(13)

на всей

оси

0^F2n{x)^\;

(14)

F2n обращается

в 0 на

сегментах Ф(0),

Ф(я);

atAbi

( 0 < г ' < я ) ,

то

F2n(x)=l.

Построим

алгорифм

G1 ,

перерабатывающий

всякое я

в КДЧ, являющееся полигональным интегралом

F2n

на

О Д 1 (для чего предварительно нужно построить

алго­

дробление

PI).

Ввиду

(13),

(15)

и оценки

п.

п

а

£ | а й

АЬк

| = 2

| <D(*)| +

S 2~f t -3 < - ! + j =

получаем,

что

(16)

G'

(n)>j.

КФ С НЕОБЫЧНЫМИ СВОЙСТВАМИ

339

Рассмотрим

алгорифм

F3 такой,

что

Я ( 0 , д ) ~ - ^ - . Я ( 0 , * ) ,

Я ( / г + 1 , х ) ^

. Я ( я + 1 , х ) .

Л 3

При

любом

я

Fп

является

полигональной

функцией,

причем

((12) —(16))

Р\ ( х ) < 4 • у (0)

(17)

на

всей

оси 0 <

и при

я > 0

O < F 3 „ W < 4

- (

Y ( « ) - Y ( «

-

1));

(18)

Р п

обращается в 0 на сегментах

Ф(0),

Ф(я);

(19)

у(0)

является

полигональным

интегралом

Fo

на

0 Л

1;

(20)

при

я > 0

у (я) — у (я — 1) является полигональ­

ным

интегралом

гп

на

0 Л

1.

Построим алгорифм F так, что

*)==2яа я).

(21)

1=0

/ ч п ,

Ввиду

(18),

(21)

и

следствия

2

можно

построить

склейку

/7

последовательности

F по

покрытию

Ф.

По­

кажем, что />— искомая

функция.

Прежде

всего,

на

каждом сегменте

Ф(«)

п

(22)

f7

(х) =

F (я,

Л;) =

2 ^3 (*'. *).

Поэтому ((17))

на любом сегменте

Ф(я)

0 < / 7

( * ) < 4 - Y ( 0 ) +

S

4 - (у (0 — Y

-

1)) =

4 • Y (")•

Следовательно, на

всей

оси

0 < / 7 ( х ) < 4 ,

т. е. /7 — неотрицательная

и ограниченная функция.

Далее для любого х

из ОД 1 можно

найти

щ,

п2

так,

что sn ,

= гп.

и

r n i ^ * ^ s n ! .

Тогда

Я ( / , х) =

0

при

ТЕОРЕМЫ НЕВОЗМОЖНОСТИ

АЛГОРИФМОВ

341

Отсюда

согласно (23) получаем

(29)

f7{x)<F{lo,x)

+

2-N-x.

вательности у (ср. доказательство теоремы

4 § 3 гл. 3).

С л е д с т в и е

3.

Функция

/> неинтегрируема по

Ри-

ману на О

А1.

Функция

fj

не

является

равномерно

С л е д с т в и е

4.

непрерывной

на

OA 1.

С л е д с т в и е

5.

Функция

/7

не

имеет

первообразной

на О Д 1.

В связи

со следствиями 3—5

интересно

заметить,

что

цией

(это можно усмотреть

из оценок (25)

и (29)).

В

работе З а с л а в с к о г о

и Ц е й т и н а

[2] можно

§

3. Невозможность некоторых алгорифмов, связанных

с

интегрированием

1.

О п р е д е л е н и е 1.

Пусть

f — функция,

F — по­

следовательность функций.

Будем

говорить, что

алго­

рифм

у моделирует алгорифм 25

посредством

F

и f