Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

14.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 4532 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

312

СИНГУЛЯРНЫЕ

ПОКРЫТИЯ

[ГЛ. 8

О п р е д е л е н и е

Последовательность

сегментов

4х называется

сегментным

покрытием

множества

Ж,

если можно

построить

алгорифмы

ось

а 2

типа

(Ж-+Ж)

(характеристические

алгорифмы

покрытия

такие,

что при

любом

х £= Ж

Уа, (х)

= =

Utx%

(х)

Ua,

(х)

X ^

Уа2

(х)

(здесь

через

Uh, Vh обозначены

левый

правый

концы

сегмента

^(k)).

Сегментное

покрытие

назовем

О п р е д е л е н и е

дизъюнктным,

если

при

i=j=\

сегменты

4х

(t),

^ (\)

не

имеют

общих

внутренних

точек.

В качестве множества Ж у нас будут фигурировать промежутки положительной длины и множество всех КДЧ ZD, называемое ниже «конструктивной прямой».

Нетрудно показать, что характеристический алго рифм интервального покрытия всегда может быть по строен, исходя из самого этого покрытия. Для поясне ния понятия сегментного покрытия рассмотрим два про

стых примера. Пусть 4х !,	— такие		алгорифмы,		что
OA-			при	п =	О,
4х , (п) =			при	п=\,
		-/1+1	при	п ^ 2 ;
ОД -	при	четном		п,
А 1	при	нечетном		п.

Можно показать, что 4 х i не является сегментным по крытием OA 1, хотя и невозможен х из О А 1, не при надлежащий никакому сегменту Wi (i). Алгорифм W2 дает пример сегментного покрытия 0 А 1 , для которого тре бование существования пары характеристических алго рифмов нельзя заменить требованием существования одного алгорифма, указывающего для каждого х чис ло i так, что х е ^2(1) •

§ 1]	СУЩЕСТВОВАНИЕ				СИНГУЛЯРНЫХ ПОКРЫТИЙ					313
О п р е д е л е н и е				4.	Покрытие		(сегментное или			ин
тервальное)		Ч1-	множества			Ж назовем		рациональным,
если	все промежутки			W(n)		рациональные		(т. е.	концы
этих промежутков — рациональные							числа),	точным,		если
при	любом	п	Л¥(п)^Ж,			невырожденным,		если	всегда
\Ч{п)\Ф0.
Все рассматриваемые					в данной		главе покрытия		пред

полагаются рациональными и невырожденными. Поэто му соответствующие прилагательные, как правило, опу

скаются.

Последовательность

промежут

О п р е д е л е н и е

ков

Ф называется

г-ограниченной,

если

при

любом

ю .

1 =0

О п р е д е л е н и е

Покрытие

W (интервальное

или

сегментное)

промежутка

х \ у

называется

сингуляр

ным,

если последовательность

\Р

г-ограничена

при

неко

тором е,

меньшем

у — х.

Последовательность

промежут

О п р е д е л е н и е

ков

Ф назовем

регулярной,

если

при любом

\Ф(1)\<2-1.

О п р е д е л е н и е

Последовательность

рациональ

ных

интервалов

назовем

универсальной,

если

для

лю

бой

регулярной

последовательности

рациональных

интер

валов

Ф можно

найти 1Ф и /Ф такие, что

П Ф )

Ф ( / Ф ) -

3. Т е о р е м а

1 ( З а с л а в с к и й ,

Ц е й т и н

[2]).

Для

любого

осуществима

2~п-ограниченная

универ

сальная

последовательность

интервалов.

Доказательство этой теоремы использует диагональ ную конструкцию. Фиксируем произвольное п. Поль

зуясь универсальным	алгорифмом,	построим алгорифм
21 так, что для любого	алгорифма а	(в Ча)

(1)21 (£«3, £ ) ~ а ( £ + / г + 1).

При каждом k обозначим через Жн множество ра циональных интервалов длины, меньшей чем 2~n~k~l. Очевидно, все множества Жи перечислимы. Построим

314

СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ

[ГЛ. 8

алгорифм v, перерабатывающий слова в Ч0 в натураль ные числа так, что разные слова переводятся в разные натуральные числа, и обозначим через Ж множество слов вида Р, v(P) (где - Р е Ч0) таких, что


	Р, v (Р) е		21 (Р,	v (Р)) & 21 (Р,	v (Р)) <= J?v ( Р ) .
Нетрудно		убедиться		(ср. теоремы	9—10 § 3 гл. 1),
что множество Ж перечислимо. Ясно					также	((1)), что
для	любой	регулярной		последовательности		рациональ
ных	интервалов Ф
(2)		£ФЗ, v(E03)'e^r.
Следовательно,			Ж бесконечно и		можно	построить

арифметически полный алгорифм у, перечисляющий без повторений Ж. Построим алгорифм £1 так, что

(3)	Q ( 0 ^ « ( Y ( 0 ) -
Очевидно, Q — последовательность рациональных ин
тервалов.
Пусть	Y I . Y2 — такие алгорифмы, что

Y (0 =*= Yi (О. Y2 (0- Тогда Y2 — ПНЧ, причем при i-ф j

				Y2 (0 ^ Y2 (/)•
Используя			это обстоятельство,			получаем		оценку
k			k		оо
21 Q(/) к 22-n-yiH)-1 < 22 - " - ' - 1								=	2 " \
i=0			( = 0		1 = 0
Остается			показать,		что последовательность					Й уни
версальна.		Пусть		Ф — регулярная			последовательность.
Ввиду	(2) при некотором /
(4)			Y ( 0 - £ 0 > 3 > v ( W ) -
Тогда	((1),	( 3 ) - ( 4 ) )
			й ( / ) ~ Ф ( у ( £ Ф З ) +			п + 1),
что и требовалось.
Т е о р е м а			2	( З а с л а в с к и й ,			Ц е й т и н			[1]—[2],
К р а й з е л ,		Л а к о м б			[1]). Для	любого п			осуществи
мо 2~п-ограниченное				интервальное			покрытие			конструк
тивной	прямой.

СУЩЕСТВОВАНИЕ	СИНГУЛЯРНЫХ ПОКРЫТИЙ	3 15
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Пусть Q — универсальная	по

следовательность, построенная согласно теореме 1. По

строим	алгорифм Я так, чтобы			для любого Р в Ч
	Я (Р, п) ~ £ Г (Р, п)			у	D+	(Р, п)
(см. § 2 гл. 3).			п				х	D-(x,n),
Поскольку		для любого			и	КДЧ
D+(x,n)	— рациональные числа,			причем
D' (х,	n)<x<D+	(х, п),	D+	(х,	п) - D~		(х, п) <	2'п,

то при любом х кх является регулярной последователь ностью рациональных интервалов такой, что при всех /

х ^ к х (г).

Ввиду универсальности Q для каждого х можно най ти тх, 1Х так, что

Я* (тх) т= Q (/*)•

Следовательно,

Q(lx),

чем

и заканчивается

доказательство.

С л е д с т в и е

Для

всякого

промежутка

любого

п осуществимо

2~п-ограниченное

интервальное

покрытие

этого

промежутка.

Для

всякого

невырожденного

про

С л е д с т в и е

межутка

осуществимо сингулярное

интервальное

по

крытие

этого

промежутка.

Т е о р е м а

3. Для

любого

п осуществимо

2~п-ограни

ченное

сегментное

дизъюнктное

покрытие

конструктив

ной

прямой.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

Q — 2_ п -ограниченная

универсальная

последовательность рациональных

интер

валов. Применим к Q лемму 2 § 3 гл. 5 и обозначим

получившийся алгорифм через Ф. В

силу

утверждений

1) — 3)

5) этой

леммы

Ф является

2~п -ограниченной

последовательностью

попарно

дизъюнктных

рациональ

ных интервалов. Обозначим концы интервала Ф(п) че рез г„ и sn. Согласно утверждению 4) леммы 2 § 3 гл. 5 для каждого КДЧ х можно найти пх и гпх так, что

§п* — Гтх

316

СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ

[ГЛ. 8

(5)

гПх

< х <

s m x .

Следовательно,

качестве

искомого

покрытия

можно

взять такой алгорифм

Ф, что

<D(rt)=Fr„ Д s„.

Т е о р е м а

Для

любого

невырожденного

рацио

нального

сегмента

г As

любого

можно

построить

2~п-ограниченное

точное

сегментное

дизъюнктное

покры

тие этого

сегмента.

Ф — покрытие

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

конструк

тивной

прямой,

построенное

в доказательстве

предыду

щей

теоремы. Согласно

утверждению

( 5 ) можно

найти

t'i, h

так,

что

ги

st,

{гп,

sn,

как и

в доказательстве теоремы 3, обозначают

концы сегмента Ф ( п ) ) .

Не теряя общности, можно считать, что

(6)

2~п

s -

г.

Тогда

st,

ги.

Пусть

3?—

множество

натуральных

чисел

такое, что

g — st^rt

si < r i 2 .

Множество 3?, очевидно, разрешимо. Ввиду (6) 3? бесконечно. Следовательно, можно построить арифмети

чески полный алгорифм X, перечисляющий без повторе ний 3?.

Искомое покрытие Ч*" задаем теперь как алгорифм, удовлетворяющий условиям

W ( 0 ) ^ r A s u ,

W ( l ) ^ n , A s ,

Чг (п + 2)=гФ(А (л)).

§ 1]	СУЩЕСТВОВАНИЕ		СИНГУЛЯРНЫХ ПОКРЫТИЙ				317
	Несложную	проверку		(с	использованием		заме
чания 1) того, что W обладает требуемыми свойствами,
предоставляем		читателю.
	З а м е ч а н и е 1. Из		доказательства			теоремы	3 и ут
верждения 5)		леммы 2	§	3 гл.	5 легко	усматривается,

что покрытие Ф обладает следующим свойством смеж

ности:	при	каждом	п	можно	найти ti\,	п% так,	что
Snx = rn	и	s,jj=r„a	(где	rh, sft	обозначают	левый и	пра

вый концы Ф(/г)). Аналогичным свойством обладает и покрытие сегмента г A s , построенное в доказатель стве теоремы 4, с тем очевидным ограничением, что при отыскании сегмента v F(t), примыкающего к данному

сегменту	^(п)	слева	(справа),	требуется,	чтобы
гф^¥(п)	(соответственно		s ^W(n)).	Можно	показать

(мы не останавливаемся на этом), что свойством смеж ности обладают любые рациональные сегментные дизъ

юнктные	покрытия		конструктивной	прямой (рациональ
ного сегмента).			Для любого	промежутка	положи
С л е д с т в и е		3.
тельной	длины	осуществимы как		интервальные,	так и

сегментные сингулярные покрытия этого промежутка.

Теорема 2 приводит к несколько парадоксальному выводу, что вся конструктивная прямая имеет меру О*). Следующая теорема позволяет выделить класс покры тий, с помощью которых можно ввести понятие множе ства КДЧ конструктивной меры 0, свободное от этого

недостатка.		Пусть х X У — произвольный			положи
Т е о р е м а	5.	Пусть х X У — произвольный			положи
тельный промежуток			(х <С у) и Ф — сингулярное		покры
тие (сегментное		или	интервальное)	этого промежутка.
00
Тогда ряд 2	I Ф (О I		шпеке ров * * ) .

*) Эта парадоксальность не снимается в полной мере замеча нием, что конструктивная прямая счетна, поскольку покрытие, полу чаемое согласно теореме 2, перечислимо, чего нельзя сказать о кон

структивной	прямой	(§ 4 гл. 3).
**) См. определение			4 § 3	гл. 3.	Другими словами,			последова-
п
тельность ^	\| Ф (г) [ (которая,			очевидно,		монотонна	и	ограничена)
не фундаментальна		и,	следовательно,		не	сходится	ни	к какому
КДЧ.

318

СИНГУЛЯРНЫЕ

ПОКРЫТИЯ

[ГЛ. 8

Докажем

более

сильное

предложение

( З а с л а в

с к и й , Ц е й т и н

[1]—[2],

К р а й з е л , Л а к о м б

[1]).

Л е м м а

Пусть

Ф — г-ограниченная

последова

тельность

сегментов,

х А у — сегмент,

причем

г < у — х

и ряд

оо

(7)

2|Ф<01

сходится.

Тогда можно

найти КДЧ z из х А

у, не

принад

лежащее

ни

одному

сегменту

ф(п).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Не

теряя

общности,

можно

считать, что

Ф — последовательность

рациональных

ин

тервалов.

Для

сокращения

обозначений

качестве

х А у возьмем сегмент О Л

При условиях теоремы для любого рационального

сегмента

г As

ряд

оо

(8)

2 | г Д з П Ф ( 0 1

мажорируется сходящимся рядом (7) и, следовательно, сходится. Построим алгорифм у, перерабатывающий вся

кий	сегмент	г A s	в сумму ряда	(8).	Ясно, что
(9)		у(0 А 1 ) < е < \| 0		А	1 \|.
	Поделим	0 Д 1	пополам и обозначим через			аи а2 по
лучившиеся		сегменты. Поскольку
		у ( 0 Д 1 ) = у ( а , ) + у ( Ы
то	((9)) не	могут	одновременно	выполняться		неравен
ства

Следовательно, мы можем (ср. лемму 5 § 1 гл. 4) указать один из этих сегментов, скажем а1 ( так, что

§ 1]

СУЩЕСТВОВАНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ПОКРЫТИЙ

319

Продолжая этот процесс, получим вложенную по следовательность сегментов % такую, что

|9t ( n ) | < 2 _ n ,

у ( Я ( л ) ) < | Я ( п ) | .

По теореме о вложенных сегментах (§ 2 гл. 3) най дем общую точку х последовательности 91. Если при некотором i

		i e	Ф(/),
то при некотором /, очевидно,
Но тогда	И ( / ) с Ф ( 0 .
Но тогда
	у{Щ1))>\Ш			I.
что невозможно.
Заметим,	что лемму	1 нельзя		усилить, положив	е —
= у — х. Из	теоремы	4.5	работы З а с л а в с к о г о		[4]

усматривается построение точного дизъюнктного сег

ментного		покрытия			4я	сегмента		0 Д 1	такого,		что ряд
оо
2IЧ	(О	I сходится к 1.
1=0						Покрытие			назовем		правиль-
О п р е д е л е н и е					9.			Ф
			оо
ным,	если	ряд	2	I Ф (О I сходится.
С л е д с т в и е				4.	Никакое		сингулярное			покрытие не
может быть			правильным.
Это утверждение является простой перефразировкой
теоремы		5.			Никакое		ограниченное				покрытие
С л е д с т в и е				5.
конструктивной			прямой			не может быть				правильным*).
Использование				правильных			покрытий			позволяет опре

делить множество КДЧ конструктивной меры нуль как множество, допускающее при любом п 2~"-ограниченное правильное интервальное покрытие. Целесообразность этого определения подчеркивается тем, что, с одной стороны,*) ПокрытиеникакойФ мневырожденныназовем ограниченным,й промежутокесли при ннекотояв ляетсяром ономножеством-ограничено. меры нуль, а с другой стороны,

320

СИНГУЛЯРНЫЕ

ПОКРЫТИЯ

[ГЛ. 8

всякое

перечислимое

множество

имеет меру нуль. Можно

также

показать,

что

объединение любой (конструктив

ной)

последовательности

множеств

меры

нуль

также

имеет

меру нуль * ) .

Будем

говорить,

что система

• О п р е д е л е н и е

10.

промежутков

накрывает

промежуток

х X У,

если

не

возможно

г еЕ х X У такое,

что

гфТ.

Из

леммы

1 получаем

(через

\Т\

обозначается

сум

ма длим всех промежутков

системы Т)

С л е д с т в и е

Пусть х%у

— промежуток,

Т —

система

промежутков,

причем

\Т\<.у

— х.

Тогда

Т не

накрывает

х\у.

Это следствие (которое нетрудно доказать и

непо

средственно) вместе со следствием 3 позволяет

полу

чить

примеры

покрытий,

из

которых

нельзя

выбрать

конечные

подпокрытия, и,

таким

образом,

показать,

что для конструктивного континуума неверна теорема Бореля.


С л е д с т в и е		7.	Пусть х А у — невырожденный					сег
мент. Тогда	осуществимо			интервальное	покрытие			Ф это
го сегмента	такое,		что	никакая система			интервалов
Ф ( 0 ) * Ф ( 1 ) *	... *Ф(л) не			накрывает	х А	у.
4. Из теоремы		5	вытекает, очевидно,			теорема		1 § 3

гл. 3, утверждающая существование шпекеровых после довательностей. Использование точных сегментных дизюнктных покрытий позволяет значительно усилить этот результат.


О п р е д е л е н и е 11.			Будем	говорить,			что	последо
вательность рациональных			чисел	(ПРЧ)		у эффективно не
сходится,	если	осуществимы		алгорифмы			cti,	а 2 типа
СЖ)-+Ж)	такие,	что при	любом х		и	i ^	а 2 (х)
	у{1)фх-2-аАх)		v x +		2" a ' { х ) .

(Таким образом, для каждого х можно найти его ра циональную окрестность и номер так, что члены у с но мерами, большими данного, не попадают в выбранную окрестность х.)

*) Вопросы	конструктивной теории	меры и	интеграла Лебега
рассмотрены в	работе Ш а н и н а [6]	и цикле	работ Д е м у т а

Ш Ч 1 6 ] .


§ 1]	СУЩЕСТВОВАНИЕ			СИНГУЛЯРНЫХ ПОКРЫТИЙ				321
Т е о р е м а		6*).	Можно		построить		ПРЧ у так, что
при любом п
1) 0 < у ( л ) < у ( я + 1 ) < 1;
2)	Y эффективно		не	сходится		(и, следовательно,		яв
ляется	шпекеровой).					Ф — точное сегментное
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Пусть
дизъюнктное		покрытие		сегмента		0 А 1	(сегмент	Ф(п)
обозначается		ниже	через rnAsn).			При	каждом п	рас

смотрим интервалы, остающиеся после выбрасывания из 0 V 1 сегментов Ф(0), Ф(п), и обозначим через t„ самый левый из концов этих интервалов. Пользуясь ра

циональностью	покрытия Ф, можно построить алгорифм
у такой, что	Y (л) ^ tn.
	Y (л) ^ tn.
Очевидно,	Y — ПРЧ, удовлетворяющая утверждению

1) теоремы. Наметим доказательство утверждения 2),

Найдем П\ и п2 такие, что
(10)	0 е Ф ( 4
(11)	1 е Ф ( 4
Найдем	далее 1\, 12 так, чтобы
	\|Ф(Я1)1 >		2 - Л
	3
	I Ф (rh)	I	^
	3	^	'

Пусть х —- произвольное КДЧ . Поскольку 0 < s«, < <Гп2< 1, мы можем указать верный член дизъюнкции

( , < ! £ . ) v f t < , < , - l ± £ u ) v

v ( i _ l ^ a U < , )

(ср. теорему 21 § 3 гл. 2).

2 • s
Если х<—д-^-,	то	при n ^ / Z j +	l , очевидно,
у{п)фх-		2 _ / l V * +	2 ~ \

*) По существу, этот результат содержится в доказательстве теоремы 4.3 работы З а с л а в с к о г о [4].

11 Б. А. Кушнер

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 4532 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
29.10.20235.79 Mб30Куцый П.Ф. Повелители молний.pdf
#
25.10.202312.79 Mб47Кучко А.С. Аэрофотография. Основы и метрология.pdf
#
25.10.202318.43 Mб84Кушманов И.В. Электронные приборы учеб. пособие.pdf
#
27.10.202319.55 Mб27Кушнарев Д.М. Использование энергии взрыва в строительстве.pdf
#
19.10.20232.48 Mб142Кушнарев, Ю. М. Авторулевой Печора учебное пособие для студентов судоводительского факультета.pdf
#
22.10.202314.87 Mб65Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf
#
24.10.202311.94 Mб59Кушнерев Н.Т. Программирование для ЭВМ Минск-32.pdf
#
25.10.202312.78 Mб46Кушнирская М.Ц. Крашение древесины в производстве мебели.pdf
#
27.10.202320 Mб21Кэтермоул К.В. Принципы импульсно-кодовой модуляции.pdf
#
23.10.20234.75 Mб137Лабинский Ю.В. Корабельные ядерные реакторы учеб. пособие.pdf
#
23.10.20238.6 Mб13Лабозин П.Г. Качество крупнопанельного домостроения.pdf