Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

14.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 4535 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

342

СИНГУЛЯРНЫЕ

ПОКРЫТИЯ

[ГЛ. 8

(запись

Md (f, F, ф, у)),

если

при

любом

слове

Р^Ч0

выполняются

условия

алгорифм

уР—

функция;

если

П!Ф(Р),

то уР

совпадает

с f на ОД 1;

если

!Ф(Р)

Ф заканчивает

работу

над Р

точно

за k

шагов,

то уР

совпадает

на

О Д

1 с функцией

Ри.

Следующая лемма является, по существу, некоторым

вариантом теоремы

о склеивании.

Л е м м а

Пусть функция

последовательность

функций

таковы,

что при

любых

п и k ^

п всюду

на

Ф(£)

f(x)

Fn(x).

Тогда

для любого

алгорифма

Ф можно построить

ал

горифм

у так,

что выполняется

Md (/, F, ф,

у).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначим через

щ, а2

харак

теристические алгорифмы покрытия^Ф (определение 2 § 1) и рассмотрим алгорифмы аи а2, а такие, что

al(x)^ai ((f(x)),

а2 (х) ~ <х2 (ф (х)),

а (х) ~ max (а, (х), а2 (х)).

По данному алгорифму Ф построим алгорифм V так,

что при любом Р

Ч0

Очевидно, у перерабатывает всякое слово Р, х в КДЧ. Пусть ~] !S) (Р). Тогда при любом х

[В] (Р, а (*))=£ Л.

Следовательно.

у(Р, д:)~/(ф(х))

и всюду на О Д 1

		ТЕОРЕМЫ НЕВОЗМОЖНОСТИ						АЛГОРИФМОВ		343
										343
Пусть		\D(P).	Тогда			IV(Р) и Ф заканчивает				работу
над Р	точно за		V(P)		шагов. Если			а ( х ) <	V (Р),	то
				\Ъ](Р,а(х))^Л,
и так	как	а, (х),	а2(х)		^а(х)		и
то
		у (Я, x)~f(<f(x))					=	F(V(P),<p(x)).
В	случае, когда			a(x)^V			(Р),
			у(Р,		x)~F(V(P),			q>(*)).
Таким		образом,		при всяком х
			у(Р,		x) =		F(V{P),v{x)),
что при х е О А			1 дает
			у(Р,		x) =		F(V(P),	х).
Осталось показать, что при любом Р									ур	является
функцией. Пусть х = у и
			у(Р,			х)>у(Р,		у).

Тогда из доказанного выше получаем, что одновре менно выполняется "1 ~| !£) (Р) и "1!£>(Я)> что невоз можно. Следовательно,

Аналогично,		Y (Р,	х)				У)-
Аналогично,			х)>у(Р,				у).
			х)>у(Р,				у).
Следовательно,		у(Р,			< у (Л
		Y (Р,	х) =			у (Р,	у),
что и требовалось.		Заметим,				что	при любом Р		ур	(х) =
=	YP(°) П РИ х < 0	и YP(^) =				Y P ( 0	П Р И	х^1.
	Нам понадобятся некоторые вспомогательные по
строения.
	Построим последовательность D положительных ра
циональных дроблений			сегмента О Л 1 такую,						что
		я ф (я)) < 2""
и	рациональные числа		rh		st	( O ^ t ' ^ n )		входят	в	D{n).
(Алгорифм я введен в			§	1 гл. 7.)

344 СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ [ГЛ. 8

Обозначим

Ъ{П)

=Ftn,0*

. ..*•//»,

(где 0 =

г„, о <

tn,

1 <

• • • <

ft„

= 1 и все /„, , — рацио

нальные

числа).

п и

Построим

алгорифм

так,

что

при

любом

0 < / < £ „ -

О,

если

сегмент

г„,, Д / „ ,< + 1

входит

в ка

D, (п, /) =?=

кой-нибудь из сегментов Ф(0),

Ф(«);

противном

случае.

Пусть

Q — тот

же

самый

алгорифм,

что и

§ 2

(см. рис. 17).

Обозначим через ф алгорифм в алфавите Ча со сле

дующим

свойством: невозможен

алгорифм

91 над Ч0 та

кой, что при любом Р <= Ч0

!И (Я) s

!$(/>).

Т е о р е м а

Невозможен

алгорифм,

перерабаты

вающий

запись

всякой

полигональной,

ограниченной

числом 1 функции

f такой, что

O - J f .

в натуральное

число,

являющееся

О-индикатором

инте

грируемости

этой

функции

на

О Л 1

(см. определение 1

§ 3 гл. 7).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначим

на время

доказа

тельства

tn,tA

' " • » + 2 ' « ' ' + 1

через

ап,{,

in,,

+ b.t+r

{

ч е р е з

t n

, i + t n

A +

~ t

n A

через

сп,и

tn,i

' * ' { t

n ' i +

r t n

' l

)

через

dnil.

ТЕОРЕМЫ

НЕВОЗМОЖНОСТИ

АЛГОРИФМОВ

345

Построим алгорифм F так, что

(1)

F (я, х) =

(я,

0 • (Qe „. , W -

& я > ,

(*)).

Очевидно, Р является последовательностью функций,

причем

на каждом

сегменте tn< г- Д

tfn>

i + 1

(2)

Fn (х) =

(п,

i) • (Qan

(х)

йьп

. (JC)).

Следовательно,

(3)

К(с*,)=1.

Fn(dn,i)

Из

(1) — (2) получаем,

что Рп

— полигональная функ

ция, ограниченная

числом

1 и обращающаяся

в 0 на

сег

ментах Ф(0),

Ф(п).

При

этом, очевидно,

0 -

/ 4 .

Пусть f — функция,

тождественно

равная

0 на

всей

оси. Применяя к /,

F и §

лемму

1, получаем

алгорифм

у такой, что выполняется

(4)

Md(/, F,

£>, у).

Предположим теперь, что алгорифм, невозможность которого утверждается теоремой, построен. Обозначим этот алгорифм через о. Построим далее алгорифм oi та кой, что

(5)	a1(P)a5=or(EYp3).
	Пусть алгорифм о2 таков, что для любого Р в Ч0
(6)	\о2(Р)^Р=£Л.

Построим алгорифмы % так, чтобы для любого слова Р в Ч0 выполнялось

(7)	ЩР)^оЛШР,<*ЛР))),
и покажем,	что
(8)	1 Я ( Р ) ^ - \| ! $ ( Р ) .

Действительно, если ~1!ф(Р), то при любом п [ $ ] ( Я , я ) # Л .

346	СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ		[ГЛ. 8
	Далее согласно (4) всюду на ОД 1
	М) = /() = о.
Поэтому lei(P) и oi(P)—натуральное		число. Следова
тельно,
и	((6)) выполняется !21(Р).
	Пусть теперь !21(Р). Предположим, что \$>(Р), и
обозначим через k число шагов, затрачиваемое			алгориф
мом § на слово Р. Согласно (4) всюду на 0 Д 1

УР (Х) = Fk (х),

и, следовательно, уР является полигональной, ограничен ной числом 1 функцией с Р-интегралом, равным 0. По этому ((5)) \о\(Р) и о\(Р) —О-индикатор интегрируе мости ^ на 0 А 1. Необходимо

(9)	k > а, (Р),

так как в противном случае [$)(Р, < т , ( Р ) ) - Л

и, следовательно ((6)), ~]\%(Р), что противоречит усло вию.

Построим интегральные суммы Si, S2 функции Ph на 0 Д 1 такие, что

•Si =5=8/3»	DW)>	Cn,0Cn,\	. . .	*С„,ьп-1,
•S2= = = 8/3.		dn,odn,i	. . .	*dn,kn-\.

Ввиду (3) и -^-ограниченности покрытия Ф получаем *)

(Ю)	a(s 2 ) - a(s, ) = 2 . ( i - i i < D ( Q i ) > 1.

Вместе с тем, поскольку а{ (Р) — О-индикатор интегри руемости Fk на 0 Д 1 и выполняется (9), должно быть

\l(S2)-l(Sl)\< 1,

*) Алгорифм i введен в § 1 гл. 7,

ТЕОРЕМЫ НЕВОЗМОЖНОСТИ АЛГОРИФМОВ				347
что противоречит		(10). Следовательно, из !31(Я)		следует
~~\\ф(Р) и эквивалентность (8) доказана.
Однако	алгорифм 91, удовлетворяющий		(8),	невоз
можен. Теорема		доказана.
Заметим,	что	полученная нами оценка	(10)	связана

свыбором у-ограниченного покрытия Ф. Выбирая

е-ограниченное покрытие при достаточно малом е, мож но показать, что вместо 1 (см. определение 0-индика- тора) в теореме 1 могло бы фигурировать любое поло жительное КДЧ, меньшее двух.

Отметим два очевидных следствия теоремы 1.

С л е д с т в и е			1.	Невозможен		алгорифм,		перерабаты
вающий	запись		всякой		ограниченной		числом	1, полиго
нальной	на	0 А 1		функции такой, что 0 является					ее
R-интегралом		на	O A 1,		в запись	регулятора		интегрируе
мости этой функции				на 0 А 1.
С л е д с т в и е			2.	Невозможен		алгорифм,		перерабаты
вающий	запись		всякой		интегрируемой		по	Риману	на
0 А 1 функции		в запись			регулятора	интегрируемости			этой
функции	на 0 А 1.

Теперь мы рассмотрим задачу вычисления с некото рой наперед фиксированной точностью интеграла про извольной интегрируемой функции по значениям самой функции (располагая записью данной функции, мы мо жем вычислять любые ее значения). Невозможность эф фективного решения этой задачи уже в классе полиго нальных, наперед ограниченных функций утверждается

следующей теоремой.
Т е о р е м а		2. Невозможен		алгорифм о,		перерабаты
вающий	запись	всякой	неотрицательной,			ограниченной
числом	1, полигональной		на 0 А 1 функции			f в КДЧ та
кое, что для любого z,			если	z=	f, то \z	— cr(c73)l<
					о

*) Вместо -yg- в этой теореме могло бы фигурировать любое

КДЧ, меньшее ~ (ср. с замечанием, сделанным после доказа тельства теоремы 1).

348	СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ			[ГЛ. 8
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Обозначим на		время доказа
тельства	сегмент t n i i A t n	t i + i	через an>i.	Построим алго
рифм F так, чтобы при любых п и х
	F (я, х) = 2 A		(п, /) • Q (а„,ь	х).

1=0

Нетрудно проверить, что

(11)F является последовательностью функций, при чем каждая функция Fn полигональна и обра

	щается в 0 на сегментах Ф(0)	Ф ( " ) ,
(12)	при любом п

1 - ^ | Ф ( 0 1 ) = / ^ «

1=0	I	о
		1
и, следовательно, если	z =	оJ Fn, то

(13)функция Fn неотрицательна и ограничена едини цей.

Пользуясь леммой 1, построим для F, функции f, тождественно равной 0, и алгорифма ф такой алго рифм у, что имеет место

(14)	Md (f, F, ф, у).

Предположим теперь, что алгорифм а, невозмож ность которого утверждается теоремой, построен. По строим алгорифм о\ так, чтобы для любого слова Р в Ч0

(15)	0 , ( Р ) ~ а ( В р З ) .

Нетрудно далее (используя, например, алгорифм Рз) построить алгорифм а2 , применимый к любому КДЧ и такой, что

(16)	если	о2{х)=?А,	то	х<-^г,
(17)	если	о2{х)Фг\,	то	х > ~ .

ТЕОРЕМЫ НЕВОЗМОЖНОСТИ АЛГОРИФМОВ

349

Пусть ст3 — алгорифм, удовлетворяющий для любого слова Р в Ч0 условию

(18)		!а3 (Р)=нР== Л .
Построим		алгорифм	91 так,			чтобы
(19)				ад^стзМмя))),
и докажем,		что
(20)		!21(Р)= - ]!ф(Р) .
Пусть	~\\§(Р). Тогда			((14))		всюду на 0 Л 1
(21)		yP(x)	=		f(x)	=	0.
Следовательно,
(22)		0 =				уР.
					о		а , ( Р ) - К Д Ч , причем
Ввиду	(15), (21) — (22)			!ог,(Р) и			а , ( Р ) - К Д Ч , причем
Ввиду	(15), (21) — (22)				J

lor, ( Я ) 1 < т ^ - Следовательно ((16) —(17)),

^ ( < т , ( Я ) ) = Л

и ((18))

!2ЦР).

Пусть теперь !21(Р). Предположим, что !ф(Р) и ф заканчивает работу над Р точно за k шагов. Тогда всюду на О Д 1

			yp(x)	=	Fk(x)
и	поэтому ((11) —(13)) \аг{Р),				причем, ввиду	(12),
	Следовательно		((16) —(17)),
			^ ( а , (Р))=#Л
и	~1 !2t (Р), что противоречит				условию. Следовательно,
из	!21(Р)	следует	~]\$(Р)	и	эквивалентность	(20)	пол
ностью		доказана.	Алгорифм		21, удовлетворяющий		(20),
однако,		невозможен. Теорема			доказана.

350	СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ	[ГЛ. 8
Эту теорему	интересно сопоставить с теоремой	1 § 1

гл. 7, показывающей, что интеграл любой интегрируемой функции можно сколь угодно точно эффективно вычис лять, используя в качестве исходных данных интеграль ные шифры функций, т. е. включая в число исходных

данных, кроме

самой

функции, ее регулятор

интегрируе

мости.

3. Невозможен

алгорифм,

перерабаты

С л е д с т в и е

вающий

запись

всякой

полигональной

на

0 Л

ограни

ченной

числом

1 функции

в КДЧ,

являющееся

интегра

лом Римана

этой функции

на ОД 1.

С л е д с т в и е

4. Невозможен

алгорифм,

перерабаты

вающий

запись

всякой

R-интегрируемой

на 0 Д

ограни

ченной

числом

1 функции

в КДЧ, являющееся

интегра

лом Римана

этой функции

на ОД 1.

Поскольку

всякий

полигональный

интеграл

(опреде

ление

б §

является интегралом

Римана,

получаем

С л е д с т в и е

5. Невозможен

алгорифм,

перерабаты

вающий

запись

всякой

полигональной

на

0 Д

функции

в определяющее

дробление

этой функции

(см. определе

ние 6 § 1 гл. 5).

Кроме того,

из каждой

из теорем

1—2

вытекает тео

рема И. Д. Заславского о невозможности алгорифма, пе рерабатывающего запись всякой равномерно непрерыв

ной на ОД 1 функции в запись регулятора							равномерной
непрерывности		этой		функции	( З а с л а в с к и й			[4;	тео
рема	5.6]).
2. Остановимся теперь на вопросе распознавания ин
тегрируемости		функций.
Т е о р е м а		3.	Невозможен		алгорифм,		применимый
к записи функции			тогда и только тогда,			когда эта функ
ция интегрируема			по	Риману	на ОД 1.
Т е о р е м а		4.	Невозможен		алгорифм,	применимый			к
записи	функции	тогда и только тогда, когда					эта	функция
неинтегрируема		по Риману на			ОД 1.
Разумеется,		эти		теоремы	остаются	в силе		для	лю

бого сегмента положительной длины. В приводимых ниже доказательствах теорем 3—4 через /6 обозначается неинтегрируемая по Риману функция, построенная в до казательстве теоремы 8 § 2. Функция f6 является склей кой последовательности Н (стр. 323).

§ 3]

ТЕОРЕМЫ

НЕВОЗМОЖНОСТИ

АЛГОРИФМОВ

351

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы

Строим

алго

рифм F так, чтобы

F(n,

*) =

Ы * ) -

2 я ( * , * ) .

1=0

Рп

Очевидно, при любом

алгорифм

является

функ

цией,

обращающейся

нуль

на

сегментах

Ф(0), . . .

Ф(п) .

Кроме

того,

Рп

неинтегрируема

по

Риману

на О Д

1 (поскольку / 6

неинтегрируема, а все В\

интегри

руемы на ОД 1).

Пусть f — функция,

тождественно

равная

нулю. По

строим

по

лемме

1 алгорифм

так,

что выполняется

Md (/, F, Ф, у).

Пусть алгорифм, невозможность которого утвер ждается, построен. Обозначим его через U и построим алгорифм О так, что

U(P)~U(£yP3).

Тогда, очевидно,

Ш(Р)^1\Ь(Р),

что невозможно.			т е о р е м ы		4. Построим	алго
Д о к а з а т е л ь с т в о
рифм F так, чтобы			п
	F(n,				х).
			* ) = 2 Я ( / ,
			1=0
При	всяком п, i ^	п	и х ен O(i)
	F(n,	x) = H(i,		x)=*U(x).
Следовательно, можно построить алгорифм у так, что
		Md(/ 6 , F,		у).
Пусть алгорифм, невозможность которого утвер
ждается	теоремой,_ построен и			обозначен через U,		По
строим	алгорифм U так, что				•
Тогда		U(P)c*U(£yP3).
		_

1С/(Р)^"1 !£(/>),

что невозможно.

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 4535 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
29.10.20235.79 Mб30Куцый П.Ф. Повелители молний.pdf
#
25.10.202312.79 Mб47Кучко А.С. Аэрофотография. Основы и метрология.pdf
#
25.10.202318.43 Mб84Кушманов И.В. Электронные приборы учеб. пособие.pdf
#
27.10.202319.55 Mб27Кушнарев Д.М. Использование энергии взрыва в строительстве.pdf
#
19.10.20232.48 Mб142Кушнарев, Ю. М. Авторулевой Печора учебное пособие для студентов судоводительского факультета.pdf
#
22.10.202314.87 Mб65Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf
#
24.10.202311.94 Mб59Кушнерев Н.Т. Программирование для ЭВМ Минск-32.pdf
#
25.10.202312.78 Mб46Кушнирская М.Ц. Крашение древесины в производстве мебели.pdf
#
27.10.202320 Mб21Кэтермоул К.В. Принципы импульсно-кодовой модуляции.pdf
#
23.10.20234.75 Mб137Лабинский Ю.В. Корабельные ядерные реакторы учеб. пособие.pdf
#
23.10.20238.6 Mб13Лабозин П.Г. Качество крупнопанельного домостроения.pdf