Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

14.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 4533 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

322

СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ

[ГЛ. 8

Аналогично, если

1 - - § - • ! Ф(л2 ) К * .

то

		y(n)^x	— 2'hVx			+ 2~1'
при я ^ я 2 +		1 . Остался		случай
В	этом случае	найдем	я 3 , я 4		такие, что
			s«8	= =	fn,
и			ТПз	^	X ^	S„4 .
			ТПз	^	X ^	S„4 .
Имеются три возможности:				1 ) я 3		= Я ь	п4Фп2;	2)	п3фпи
я 4	— я 2 ; 3 ) я 3	Пь /г4	# я 2	(/г3 =		я ь	я 4 = я 2	не может

выполняться ввиду дизъюнктности Ф). Пусть, напри

мер, п3	ф я ь	я 4 Ф п2		(первые		два	случая		рассматри
ваются	аналогично). Согласно					замечанию			1 п. 2 можно
найти « 5 и «в так, что
Тогда			< ГПз < X < Sn, <
		Гпь					Sne.
Обозначим через k			такое натуральное					число, что
				\| Ф ( п 5 ) \| > 2 - ' « ,
				\| Ф ( « 6 ) 1 > 2 - \
Тогда при я ^		max (я3 , я 4 , я 5 , я6 )
		у (я) £ х - 2			" ' r V * + 2 ~			\
чем и заканчивается				доказательство			теоремы.
Очевидно,		построенная			только что монотонная ПРЧ
у обладает «понижающим»					алгорифмом б таким, что 6
есть алгорифм		типа		{ЗУ т* Ж),		и если для всех я
то для всех я				Y (я) <		х,

Y ( n ) < x - 2 - e w

(см. З а с л а в с к и й [ 4 ; теорема 4 . 3 ] ) ,

КФ С НЕОБЫЧНЫМИ СВОЙСТВАМИ			323
Вполне аналогично теореме 6 доказывается			следую
щее утверждение	(которое интересно	сравнить	с тео
ремой 2 § 2 гл. 3	и с теоремой 8 §	2 гл. 4):	можно

построить последовательность систем рациональных сег

ментов УР	такую, что:	1) xY(n	- j -	l ) s W(n)	при	любом п;
2) осуществим алгорифм а типа				[3)-*Ж)	такой,		что
для всякого х и i^a(x)		x^W(i).		Таким	образом,		не
возможно	КДЧ, принадлежащее			всем системам			Win).
(В качестве W можно		взять	(в	обозначениях		доказа

тельства теоремы 6) последовательность систем сегмен

тов, получающуюся выбрасыванием		из 0 V 1 сегментов
Ф(0),	Ф(п) и заменой каждого	оставшегося интер

вала сегментом с теми же концами.) Этот результат впервые получен другим методом З а с л а в с к и м [4] (от метим, что для последовательности построенной мето дом Заславского, последовательность суммарных длин

сегментов систем			Ч^я)		сходится		(конструктивно)			к 0).
§ 2. Примеры конструктивных функций
с необычными свойствами
1. В этом параграфе через Ф обозначается									некоторое
точное	сегментное			дизъюнктное рациональное					покрытие
0 Д 1 ,	причем	концы сегмента Ф(п)						обозначаются		соот
ветственно через			гп	и	sn.	Будем	считать, что		О е Ф ( 0 )
и 1 Е Ф ( 1 ) .
								(/= tptx)
								х
						Рис. 16.
Через ф обозначается						функция	(рис: 16)
а через Q и Н — такие					алгорифмы,			что
Q ( u A t ) ,		х)	~
	Н (п,	х)		Q (Ф (л), х).

11*

324	СИНГУЛЯРНЫЕ	ПОКРЫТИЯ		[ГЛ. 8
Очевидно,	при любых и < v	и	любом п	алгорифмы
Й а Д „ и Нп	являются функциями		с графиками,	представ

ленными на рис. 17—18.

Рис.

17.

Рис.

18.

2. О п р е д е л е н и е

Будем

говорить,

что

последо

вательность

функций

согласована

покрытием

Ф,

если

при

любых

таких,

что sm — гп,

выполняется

F{m,

sm)

F(n,

rn).

О п р е д е л е н и е

Пусть

F —

последовательность

функций.

Функцию

будем

называть склейкой

по

покрытию

Ф, если

при

любом

всюду

на

Ф(п)

f(x)

F(n,

х).

теорема

( З а с л а в с к и й ,

Ц е й т и н

[2])

позволяет

«склеивать»

некоторые

последовательности

функций.

Пусть

Т е о р е м а

( т е о р е м а

с к л е и в а н и и ) .

последовательность

функций

согласована

покры

тием

Ф.

Тогда

можно

построить склейку

по

покры

тию Ф.

« 2

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

ось

— характеристиче

ские

алгорифмы покрытия

Ф. При

любом

х е О Д 1

Sa,

(х)

Га,

(х).

Обозначим

на

время

доказательства

через

пх

пгх

на

туральные

числа

cti(ф(л:))

и а2 (ф(л;)). При

любом х

(1)

snt

rmx

КФ С НЕОБЫЧНЫМИ СВОЙСТВАМИ

325

(2)

ГПх

< ф

S m

x .

Построим

такой

алгорифм

/, что

/ (х) си

Fnx

(min (ф (х),

Snx))+Fmx

(max

(ф (х),

Гтх))—РПх

(s„J,

и покажем, что / является

искомой функцией.

Очевид

но, / перерабатывает любое КДЧ в КДЧ.

Предположим

теперь, что я ЕЕ Ф(*)> Т. е.

(3)

г,

Тогда

<р(х) =

(х)

РПх

(min [х,

snx))

Fmjc

(max (х,

fmJ)

— Fnx

(s„x ).

Согласно

(2)

(4)

r n x ^ x ^ s m x .

Поскольку

Ф — дизъюнктное покрытие,

то

( ( 3 ) — (4))

возможны

случаи:

l=Ftix;

б)

/ =т= т х

;

в)

S/ = rr t ;

Г)

ri =

Smx.

В случае а) х < !snx=fmx и, следовательно, min (х,

s » J =

л:,

max(x,

r m j f ) = = r m j r .

Поэтому

Отсюда,

поскольку

последовательность

согласо

вана

с Ф и выполняется

(1), получаем

f(x) =

Ft(x).

Аналогично,

f(x)=Pt(x)

в случае б). Если

выполняется

в),

то

из

х ^

гПх

получаем

х =

st.

Следова

тельно,

+ Fmx

- Fnx {snx)

f (х) =

К х

(st)

{rmx)

= £ % ( s , ) =

^(s,)

Случай г) рассматривается совершенно аналогично.

Таким

образом,

при

любых / и х, если

^ е Ф ( 1 ) , то

f{x) = Fl(x).

Осталось

показать, что

является

функ

цией.

Пусть

х =

у.

Тогда

ч(х) =

ч>(у)

ф ( х ) < = 0 Д 1 .

326

СИНГУЛЯРНЫЕ

ПОКРЫТИЯ

[ГЛ. 8

Если f(x)>f(y),

то по только что доказанному

невоз

можно т,

при

котором

ф ( х ) е Ф ( т ) ,

что противоречит

принадлежности

ф(х)

сегменту

0 Д 1 .

Следовательно,

f(x)^f(y).

Точно

так

же

получаем

f(x)^f(y).

Таким

образом, f (х)

—

f (у). Теорема

доказана.

Отметим,

что

построенная

нами

склейка

такова,

что f(x) =

/(0)

при К

и f{x)

= /(1)

при х

1. Мы

будем считать, что этим свойством обладают все исполь зуемые ниже склейки. Сформулируем два частных слу

чая теоремы

о склеивании.

С л е д с т в и е

Пусть

F — последовательность

функ

ций

такая,

что

при

m ^

совпадает

Рп на

сегментах

Ф (0),

. . . ,

Ф (п).

Тогда

можно

построить

функцию,

являющуюся

склейкой

по

покрытию

Ф.

С л е д с т в и е

Пусть

—

последовательность

функций

такая,

что

/ ^ = 0

на

сегментах

Ф(0), . . .

Ф ( и — 1) и

F(n,

x)=^Fl{i,

х).

Тогда

осуществима

склейка

по

покрытию

Ф.

Следствие 2 можно также переформулировать в виде

утверждения

о сходимости

на

всей

оси ряда

Я ( п ,

ф(*)),

сумма которого и является склейкой F. При этом на каждом сегменте Ф(к)

£ Р(п,	Ф ( Х ) ) = £ Я (л, х).
п = 0	п=0

В связи с результатами следующего пункта суще ственно иметь в виду, что всякая конструктивная функ ция непрерывна (гл. 5 и 9). Впрочем, из доказательства теоремы 1 можно усмотреть, что если эта теорема при меняется к последовательности функций F, для кото рой мы располагаем таким алгорифмом 53, что 23„ яв ляется регулятором непрерывности Рп, то, исходя из 23, можно построить регулятор непрерывности склейки по следовательности F. Поэтому непрерывность строящихся

КФ С НЕОБЫЧНЫМИ СЁОЙСТВАМИ

357

в этом параграфе функций может быть доказана непо

средственно,		без привлечения			общей теоремы непре
рывности.
3. Примеры конструктивных функций, даваемые при
водимыми ниже теоремами 2—4 и 6, были							построены
(несколько		другими,	чем	у нас, методами)			З а с л а в
с к и м	[1]—[2], [4]. Результаты,				аналогичные		теореме 3
и 6, были получены также				Л а к о м б о м		[2], [4] и Ш п е-
к е р о м	[2]	(теорема	6).	У с п е н с к и м		[1]	была до

казана теорема, аналогичная теореме 3, в случае бэров-

ского

пространства.

Т е о р е м а 2 (пример неограниченной

на единичном

сегменте функции). Можно построить

функцию

fo и

по

следовательность

рациональных

чисел

р таким

образом,

что при

любом

I Р ( / ) < = 0 Д 1

и / 0 (Р(/)) =

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Построим

последовательность

функций F так, что

Очевидно,

F(n,

х) — п • Н(п, х).

Искомую

функцию /о строим

как склейку последова

тельности F, ПРЧ р определяем

посредством

P (n) =

l 2 ± ± L .

О п р е д е л е н и е

3. Будем

говорить,

что функция

эффективно

не

равномерно

непрерывна

на

сегменте

хАу

(х<.у),

если

осуществимы

ПРЧ р ь р 2

и рацио

нальное

е >

О такие,

что для

любого

р,(я),

р2 (я)е=хДг/,

1 Р . ( " ) - Р 2 ( л ) 1 < 2 ~ "

1 / ( М л ) ) - / ( Р » ( я ) ) 1 > е .

Неограниченная функция, построенная согласно пре дыдущей теореме, не может быть, очевидно, равномерно непрерывной на 0 Д 1 (равномерно непрерывные функ ции ограничены). Более того, нетрудно показать (ср. доказательство теоремы 3), что эта функция эффектив но не равномерно непрерывна на 0 Д 1 . Этот результат усиливается следующей теоремой.

328

СИНГУЛЯРНЫЕ

ПОКРЫТИЯ

[ГЛ. 8

Т е о р е м а

(пример

ограниченной

эффективно

не

равномерно непрерывной функции). Можно

построить

функцию

такую, что

f 1 (х)

1 при

любом

х;

осуществимы

ПРЧ

р ь

р2

такие, что при

любом

Pi (л),

р 2

( я ) е О Д 1 ,

I Pi (я) — р2 (я) I <

2~п

I Л (Pi С О ) - М М * ) )

1 = 1 .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Построим

последовательность

сегментов Ч? так, что при любом п

(я) s

Ф (п),

I ¥

(я) | <

2"".

Рассмотрим

последовательность

функций

Т7 такую,

что

F{n,

x)~Q(W(n),

х).

В качестве f\ можно, очевидно, взять склейку F по

покрытию

Ф.

З а м е ч а н и е

Нетрудно показать,

что

последова

тельность длин сегментов покрытия Ф сходится к 0. По этому в качестве fi мы могли бы также взять склейку

последовательности	Я.
З а м е ч а н и е 2.	Если покрытие Ф таково, что ряд
	оо

2|Ф(01

сходится к 1, то fi

i=Q

интегрируема по Риману на ОД I .

Т е о р е м а

(пример

ограниченной

функции,

не

имеющей

на 0 Д 1

точной

верхней грани). Можно

по

строить

функцию

такую,

что

всюду

на 0 Д

1 0

^ Ы * ) <

1 и

невозможно

КДЧ,

являющееся

точной

верхней

гранью

на

0 Д

1 * ) .

у— шпекерова

ПРЧ,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

причем

0 <

у(п)<

*) В	связи с	этой	теоремой	заметим, что М и х а л и н ц е м [5]
построен	пример	бесконечно		дифференцируемой	немонотонной
функции,	не имеющей		локальных	экстремумов.

§ 2]	КФ С НЕОБЫЧНЫМИ СВОЙСТВАМИ				329
Функцию	\ч строим	как	склейку	последовательно-
сти F:	F(n, х) ~	у(п)	• Н(п,	х).

Очевидно, на каждом сегменте Ф(п)

0 < M * X v ( « ) ,

откуда при любом х е О Д 1 получаем 0 ^ / 2 ( * ) < !• Далее при каждом п

Если бы существовало КДЧ, являющееся точной

верхней гранью	/2 на О Д	1, то у сходилась бы к этому
КДЧ, что невозможно.
Совершенно	аналогично	можно построить функцию,

не имеющую на О Д 1 ни точной верхней, ни точной ниж ней грани. Заметим также, что если в качестве у взять шпекерову ПРЧ, допускающую понижающий алгорифм

(см. § 1), то для / 2 можно построить			алгорифм,	пере
рабатывающий	всякую	верхнюю грань / 2 на 0		Д 1 в
меньшую верхнюю грань.
Т е о р е м а	5 (пример	ограниченной	функции,	имею

щей точную верхнюю грань, но не достигающей ее).

Можно	построить		функцию		/з так, что всюду	на	О Д 1
О ^ /з (х) <		1 и осуществима			последовательность		р	ра
циональных		чисел	из О Д	1 такая, что /з(Р(я)) = 1 — 2 - п .
(Таким	образом,		1 является		точной верхней	гранью		f3
на О А	1.)				качестве f3 можно
Д о к а з а т е л ь с т в о .				В			взять
склейку	последовательности				F такой, что

прерывна на ОД 1. Ценою некоторого усложнения дока зательства теорему 5 можно доказать в классе равно

мерно	непрерывных	функций.
Т е о р е м а 6		(пример	равномерно		непрерывной
функции, не достигающей на			О Д 1 своей		точной верх
ней грани). Можно		построить	функцию	/4	так, что
1)	f4 равномерно	непрерывна на О Д		1;
2)	0 < М * ) < 1 на О Д 1;

330	СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ						[ГЛ. 8
3) осуществима ПРЧ		р такая,	что при		любом		п
и	Р (га) е= 0 Д 1

	МР(л))> 1 - 2 - " .
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Воспользуемся			изящной		кон
струкцией Л а к о м б а		[4]. Пусть	W	есть		-ограни
ченное	рациональное	интервальное		покрытие			0 Д 1 .

Рис. 19.

Обозначим через а„, Ьп концы интервала Ч'(га) и рас смотрим последовательность функций F такую, что (рис. 19)

F(n,	х) = 1 — Q {ап А Ьп, х).
Очевидно,
(5)	0<F(ra, х ) < 1
и при х<
(6)	F(n,x)<l.

Рассмотрим функциональный ряд

2^ 2 г . - < - 1

В силу (5) этот ряд равномерно сходится, и, следо вательно, можно построить равномерно непрерывную функцию fit являющуюся его суммой.

Функция f4 искомая. Действительно, поскольку каж дый х из ОД 1 принадлежит некоторому интервалу^(Z),

КФ С НЕОБЫЧНЫМИ СВОЙСТВАМИ

331

то ((5) —(6)) на О А 1 0 < / 4 ( х ) < 1 .

Далее при каждом п можно найти (последователь

ность	у	ограничена!)	рациональное	число	/„ так, что
для i sc;	п
Тогда
	h (Q > 21 2 " ' - 1		= 1 - 2 - " - ' > 1 -		2~п,
		{=0
что и требуется.
В связи		с доказанной	теоремой интересно		вернуться
к результатам Лакомба,			упомянутым	в п. 3 § 2 гл. 5
(см. также		Л и ф ш и ц [4]). Эти результаты			проясняют

характер «патологии» функции /4 , показывая, что f4

(точнее,	продолжающий	ее оператор над псевдочисла
ми— см.	п. 3 § 2 гл. 5)	достигает своей верхней грани

на непустом замкнутом множестве псевдочисел, не имеющем изолированных точек.

Нетрудно убедиться, что неравномерно непрерывная функция ft, построенная в доказательстве теоремы 3, локально равномерно непрерывна, т. е. для каждого х можно указать некоторую его окрестность, в которой ft равномерно непрерывна. Пример ограниченной функ

ции, не обладающей этим свойством, дается								следующей
теоремой		( З а с л а в с к и й ,			Ц е й т и н [2]),			доказатель
ство	которой		мы	опускаем.
Т е о р е м а			7. Можно построить				функцию	f$ так, что
1) на		всей	оси	О sg: fs (х)	sg;	1;
2)	fs	эффективно неравномерно					непрерывна		на лю
бом	невырожденном			сегменте,		включенном		в	0 А 1 .

В работе автора [3] показано, что функция, удовлет воряющая теореме 7, может быть интегрирумой по Риману на 0 А 1 . Отметим также, что если предыдущие теоремы сохраняются для класса бесконечно дифферен

цируемых		функций*),	то функция	из теоремы 7 не
	*) Вообще говоря, свойства гладкости не очень				приближают
конструктивные функции к			классическим	непрерывным	функциям.
В	работе автора [2] построен пример неограниченной,				непрерывной
в	замкнутом	единичном круге, аналитической внутри него конструк-

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 4533 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
29.10.20235.79 Mб30Куцый П.Ф. Повелители молний.pdf
#
25.10.202312.79 Mб47Кучко А.С. Аэрофотография. Основы и метрология.pdf
#
25.10.202318.43 Mб84Кушманов И.В. Электронные приборы учеб. пособие.pdf
#
27.10.202319.55 Mб27Кушнарев Д.М. Использование энергии взрыва в строительстве.pdf
#
19.10.20232.48 Mб142Кушнарев, Ю. М. Авторулевой Печора учебное пособие для студентов судоводительского факультета.pdf
#
22.10.202314.87 Mб65Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf
#
24.10.202311.94 Mб59Кушнерев Н.Т. Программирование для ЭВМ Минск-32.pdf
#
25.10.202312.78 Mб46Кушнирская М.Ц. Крашение древесины в производстве мебели.pdf
#
27.10.202320 Mб21Кэтермоул К.В. Принципы импульсно-кодовой модуляции.pdf
#
23.10.20234.75 Mб137Лабинский Ю.В. Корабельные ядерные реакторы учеб. пособие.pdf
#
23.10.20238.6 Mб13Лабозин П.Г. Качество крупнопанельного домостроения.pdf