Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

14.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 4539 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

382

КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

[ГЛ. 9

и все множества Ж п правильные (теорема 1), то мно жество Ж правильное. Поэтому достаточно доказать, что для любого X <= М

(2)

! б ( X ) s X e

Ж .

Действительно,

пусть

!б(Х).

Тогда

Ь(Х),

l\(6(Х)\

l\ (б (X))

— натуральные числа. Обозначим

последние два

числа

соответственно

через

пх

п2.

Очевидно,

[91] (я,,

п2)

Л ,

т. е.

91 заканчивает

работу

над

словом

пи

не

более

чем за

п2

шагов. Поэтому

Ш(пи

X),

откуда,

ввиду (1),

получаем

Следовательно,

€==

Жrtf

Предположим

теперь,

что

Ж .

Если

1\8(Х),

при всех i

[91](4(0,

it (0) ф

Л ,

откуда,

очевидно,

следует,

что

при каждом

11% (п,

X).

Таким образом, X не принадлежит ни одному из мно

жеств

Ж п , что невозможно.

Поэтому

выполняется

11\Ь(Х).

Следовательно,

\Ь(Х),

чем

заканчивается

доказа

тельство

эквивалентности

(2).

Теорема

доказана.

Теорема 3 обобщает теорему о перечислимости объ

единения последовательности и пересечения конечного

числа перечислимых множеств, которая получается из

теоремы 3, если в качестве М взять пространство нату

ральных

чисел.

5. Алгорифм

назовем

алгориф-

О п р е д е л е н и е

мическим

оператором,

действующим

из

КМП

Мх в

КМП

М2

или,

короче,

алгорифмическим

оператором

типа

Мх

-7+М2,

если

§2]		СОГЛАСОВАННЫЕ МНОЖЕСТВА. ОПЕРАТОРЫ					383
1)	W	является	алгорифмом		типа	(М\-г> Ж%),	т. е.
перерабатывает всякий				элемент	Ж\, к	которому он	при
меним,	в	элемент	Ж2;
2)	для	любых	X и	Y из М Ь	если	lip(X) и X =	Y, то

гф (У) и г|>(П = !>(*).

В этом параграфе, за исключением особо оговари

ваемых

мест,

все

рассматриваемые

алгорифмические

операторы

считаются

операторами типа

M I T * M 2 . В

этой

связи

упоминание

о Mi и М 2

, равно

как

прилагательное

«алгорифмический»,

часто

опускается.

О п р е д е л е н и е

Будем

говорить,

что

алгориф

мический

оператор

W определен

(не

определен)

в точке

X e J U i если

{^(Х)

(соответственно

~ W ( X ) ) .

Будем

говорить,

что множество

Ж <=М{

является

областью

определения

оператора

у¥,

если

для

любого

Хиз

X<=X

\ib (X).

Назовем

оператор

всюду

определенным,

если

он определен

в каждой

точке КМП

Мх.

5—6

следует

Непосредственно

из определений

2—3,

Т е о р е м а

4. 1)

Всякий

алгорифмический

оператор

является

согласованным

алгорифмом.

Если

множество

является

областью

определе

ния какого-нибудь

алгорифмического

оператора,

то

Ж—

согласованное

множество.

Обратно,

если

М 2

содержит

хотя

бы

один

элемент

Z, то

любое

согласованное

множество

(точек

Мх)

яв

ляется областью определения некоторого алгорифмиче

ского	оператора			(типа		M I T > M 2 ) .		Действительно,			если
алгорифм		21	согласует			множество		Ж^Жи	то	алгорифм
W, перерабатывающий в Z всякое слово, к которому он
применим, и такой, что при любом слове Р
					lW(P)^m(P),
является		искомым			алгорифмический оператором.						Та
ким образом,			имеет		место		М2 содержит
Т е о р е м а			5.	Если		КМП			хотя бы		один
элемент,		то множество				Ж s	Ж\	согласовано		тогда и
только	тогда,		когда		оно	является		областью		определения
некоторого алгорифмического							оператора.

384

КОНСТРУКТИВНЫЕ

МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

[ГЛ. 9

Обозначим через

Я 0

подпространство

пространства

натуральных

чисел Н,

индуцированное

одноэлементным

множеством

{0}.

Множество

Ж Е

Л\

согласовано

С л е д с т в и е

тогда

и только

тогда,

когда

оно

является

областью

определения

алгорифмического

оператора

типа М\-т*Н0.

Теорема 5 и следствие

1 устанавливают

тесную

связь

между алгорифмическими операторами и согласован ными множествами, позволяющую формулировать ре зультаты о согласованных множествах в терминах опе

раторов

и наоборот.

Ясно,

что

конструктивные

функции

одной

перемен

ной

являются

алгорифмическими

операторами

типа

Е, т*Ей

конструктивные

функции

переменных

(п >

могут рассматриваться как операторы

любого

из трех типов: Еп

—> Е\,

Е\

-Г* Ей

Е2п

Е\.

О п р е д е л е н и е -7.

Алгорифмические

операторы

типа В т * Я

(где

В — бэровское

пространство,

Н — про

странство натуральных

чисел)

будем

называть

эффек

тивными

функционалами.

Эффективные функционалы есть, очевидно, алгориф

мы,

перерабатывающие

те

записи

последовательностей

натуральных

чисел (ПНЧ),

которым

они

применимы,

в натуральные числа; при этом совпадающие ПНЧ пе реводятся в равные натуральные числа.

Наряду с эффективными функционалами в смысле определения 7 естественно рассматривать вычислимые функционалы более общего рода, областью согласован ности которых является множество записей алгорифмов типа (Ж^*Ж)*). (Переход от ПНЧ к таким алгориф мам вполне аналогичен переходу от общерекурсивных функций к частично рекурсивным.) Более точно, вычис лимый функционал задается алгорифмом f, перерабаты

вающим запись всякого алгорифма типа (Ж-т>Ж),					к ко
торой он применим, в		натуральное число,		причем	если
*) Легко видеть, что на этом множестве нельзя ввести кон
структивную	метрику, согласованную		с совпадением алгорифмов
как функций	типа (Эё'^Ш).	Точнее	говоря, если	обозначить че
рез Т0 множество записей		алгорифмов типа		то	невоз
можен алгорифм р такой, что список {Го, р} является КМП и

Р (£YI3, £Y*3) = 0 ss у " (Yi (") ^ Y2 («))•

§ 2]

СОГЛАСОВАННЫЕ МНОЖЕСТВА. ОПЕРАТОРЫ

385

при любом п

Y, (я) ~ Y2 (л),

то

Такие вычислимые функционалы с точностью до тех нических деталей представляют собой частный случай эффективных операций, введенных и исчерпывающим

образом	изученных		в	работе		М а й х и л л а и		Ш е -
п е р д с о н а		[1].
Наиболее существенные свойства эффективных функ
ционалов (или вполне аналогичных им объектов)								были
установлены		в работах		К р а й з е л а ,			Л а к о м б а ,	Ш ё н -
ф и л д а	[1]—[2], Ц е й т и н а				[3]—[5],		Ф р и д б е р г а [1].
Некоторые из результатов этих						работ приведены		ниже.
2. В	этом	пункте	будет		доказано		естественное	обоб

щение известной теоремы Маркова о неразрывности кон

структивных функций	( М а р к о в [3], [5]; доказатель
ство для случая КМП	впервые опубликовано в работе

С л и с е н к о [3]). Хотя теорема неразрывности и вытекает из доказываемых в п. 5 более сильных результатов, мы предпочитаем привести отдельное доказательство, тем

более, что это	доказательство, во-первых, приложимо
к значительно	более широкому, чем алгоритмические

операторы, классу алгорифмов, во-вторых, не опирается на принцип Маркова и, в-третьих, благодаря своей прозрачности способствует фиксации используемых в таких ситуациях идей.

Пусть 21 — алгорифм,

X — точка КМП

М,.

О п р е д е л е н и е

Будем

говорить,

что 91

является

алгорифмом

типа ( М 1 - > М 2 ) в

точке X,

если

при

любом

Y е

М{

таком, что Y =

выполняется

!9l (F),

91 (Y) е

М2

и %(Y)

%(X).

м2

Будем

говорить,

что

алгорифм

О п р е д е л е н и е

91 имеет конструктивный

разрыв типа

(М\ —*М2)

в точ

ке

если

91 является

алгорифмом

типа

(Mi -> М2)

этой точке

и осуществимы

последовательность

точек

и рациональное

число

г >

0 такие,

что при

любом

ке

91 является

алгорифмом

типа

(Мх—*iH2)

6 т о ч ~

р(п);

13 В. А. Кушнер

386

КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

[ГЛ. 9

2)РЛХ, Р ( « ) ) < 2 - " ;

3)р 2 ( а д , « ( Р ( я ) ) ) > г « ) .

(Напомним,	что р ь	р2 — метрические алгорифмы про
странств М{,	М2.)	алгорифм 21 (фигурирующий в опре
В случае, когда		алгорифм 21 (фигурирующий в опре

делении 9) есть алгоритмический оператор, можно ска зать, что этот оператор определен в точке X и во всех

точках	Р(п),	причем всегда p2 (9l (X), 21 (Р(п))) ^			г.
Т е о р е м а		6 (теорема неразрывности). Пусть			М\ —
слабо	полное,	М2	— произвольное КМП.	Никакой	алго
рифм	не может		иметь конструктивного	разрыва	типа

(Af,- >Af2 ).

Доказательству этой теоремы предпошлем следую

щую лемму

(ср. § 1 гл. 4).

Л е м м а

Пусть

21 — алгорифм,

X е

Ми

р — по

следовательность

точек Ми

причем

при

любом

(3)

р, (Я, р ( п ) ) < 2-".

Тогда

можно

построить

алгорифм

у такой,

что

для

любого

слова

(в

фиксированном

нами

алфавите

А)

выполняется

если

~]№(Р),

то \у(Р),

у(Р)сгМ1

у(Р)

Х;

л».

если

!2ЦР)

заканчивает

работу

над

точно

за k

шагов,

то \у{Р),

у{Р)^М1

y(P) —

${k-\-\).

ж,

у1,

у2,

у3

Д о к а з а т е л ь с т в о . Построим

алгорифмы

так,

что

У ( Р ) ~ ц / ( [ 2 1 ] ( Р , i)=*=

Л);

р ( « + 1 ) ,

если

[91](Р, я ) # Л ,

р ( у 1 И + 1 ) ,

если

[2Х](Р,я) =

Л ;

*) Приводимая ниже теорема неразрывности почти точно так же может быть доказана и при более общем понятии конструктив ного разрыва, связанном с отказом от требования Я (Y) — Ж (X)

в определении 8. Заметим также, что условие 2) определения 9 (ре-

	СОГЛАСОВАННЫЕ МНОЖЕСТВА.	ОПЕРАТОРЫ	387
Пусть Lim — алгорифм слабого предельного			перехода
в М\	(определение 7 § 1). Строим	искомый алгорифм у
так,	чтобы

Y ( P ) ~ L i m ( y 3 ( P ) ) .

Если П!91(Р), то при любом п
Поэтому	[91] (Р, п) =			А.
	Y 2 (P ,		п)~$(п+1).

Из (3) тогда	получаем,		что у2р		есть регулярная по
следовательность точек, сходящаяся к X. Следователь
но, !Lim(y3 (P)) и Lim (у3		(Р)) =		X,	что и требуется.
Пусть теперь	191 (Р) и 91 заканчивает					работу над Р
точно за k шагов. Тогда
	( 8 ( л + 1 )		при		0 < п < 6 ,
Y { F ' H ) '	1 p(jfe+	1)	при		k<n.
Следовательно ((3)), ур является регулярной после
довательностью.	Кроме	того,		очевидно,		у2р сходится
к р (&--[- 1). Отсюда так же, как и выше,						получаем, что
\|у(Р), v ( P ) e « i	и Y (P ) =		p ( f e + l ) .

м1

Теперь нетрудно доказать теорему неразрывности.

Обозначим через $ алгорифм со следующим						свойством:
невозможен		алгорифм 2) (над алфавитом			А)	такой, что
для любого слова			Р (в А)
				т(р)*а-]19(р).
Пусть Mi — слабо полное КМП и алгорифм 91 имеет
конструктивный			разрыв типа (Mi -> М2 ) в			точке X.
Пусть	далее	В и		г — соответствующие	последователь
ность	точек	Mi	и	рациональное число	(см. определе

ние 9). Применим к р и X лемму 1 и обозначим че рез у алгорифм, построенный согласно этой лемме.


гулярная сходимость в к X) можно						было бы заменить			требованием
(конструктивной)		сходимости			6 к X	(именно	так определяется			кон
структивный	разрыв		в	работе	М а р к о в а		[5]): при		наличии	кон
структивного	разрыва		в	этом	более	широком		смысле	имеет	место
и конструктивный		разрыв в смысле определения						9.

13*

388	КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9
Построим теперь алгорифм (S так, что

< Ц Р ) ~ О ( г - р 2 ( В Д , 0 Ц у ( Р ) ) ) .

(Напомним, что алгорифм G применим к положитель

ным и только положительным КДЧ.)

Пусть

~~|!&(Р). Тогда у(Р) = Х.

Следовательно,

и поэтому

p2 (9l(Z),9t(Y(P))) = 0,

ЩР).

Если

!•§> (Р), то при некотором

у{Р) — $ [k) и, сле-

довательно,

м1

р2(%{Х),Щ(Р)))>г,

откуда

следует

1 ! 6 ( Р ) .

Поэтому если !(S(P), то ~1!ф(Р).

Таким образом, при любом Р

\&(P)=s~ll${P).

Это, однако, невозможно. Теорема

доказана.

С л е д с т в и е

Пусть

Mi — слабо полное

КМП,

М2 — произвольное

КМП.

Никакой

алгорифмический

оператор

типа

Mi ~? М2

не

может

иметь

конструктив

ного

разрыва.

Никакая

С л е д с т в и е

(теорема

А. А. Маркова).

конструктивная

функция

не

может

иметь

конструктив

ного

разрыва.

Это

утверждение

получается

из

следствия

2, если

в качестве Mi и М2

взять пространство КДЧ.

3. Значительная часть наших

дальнейших результа

тов

(в

частности, теорема

непрерывности)

будет полу

чаться

помощью

одного

общего

принципа,

который

мы,

следуя

терминологии

Ц е й т и н а

[9],

назовем

«принципом захвата».

Пусть по-прежнему фиксирован

некоторый

алфавит

А (содержащий

буквы

0 и

| ) , и пусть Ж— перечисли

мое

множество слов в этом

алфавите, дополнение Ж ко-

		СОГЛАСОВАННЫЕ МНОЖЕСТВА.			ОПЕРАТОРЫ	389
торого	до	множества	всех слов	в	А неперечислимо * ) .
Пусть,	далее^ Жх — перечислимое			множество (слов		в Л)
такое,	что	Ж<=Ж\.	Тогда можно найти слово Р,			при
надлежащее ЖПЖх			(принцип захвата). Другими			сло

вами, всякое перечислимое множество, накрывающее


дополнение				множества			Ж, «за
хватывает»				и	некоторый			эле
мент	Ж,		причем соответствую
щий элемент может быть эф
фективно найден (рис. 21).
Доказательство						высказан
ного	утверждения					почти		оче
видно.		Действительно,					множе
ство	Ж[\Ж\				как	пересечение			Рис. 21. Заштриховано пе
перечислимых					множеств			пере	речислимое	множество
числимо.			Построим			стройный			Жх	( I s ! ,	) .
алгорифм				у>	перечисляющий
ЖГ\Ж\.		Если П1у(0), то					множество ЖС\Ж\			пусто	и, сле
довательно, Ж\ совпадает								с Ж,	что невозможно из-за не

перечислимости Ж. Поэтому выполняется ~~П!у(0), от

куда	по	принципу Маркова получаем	!у(0). Очевидно,
у(0) е	Ж Л Ж и т. е. является искомым		общим элемен
том Ж и		Жх.

Интересной методической особенностью принципа захвата является то, что он позволяет использовать не возможность алгорифма (именно, алгорифма, перечис ляющего Ж) для построения некоторого конструктив ного объекта.

Сделаем некоторые пояснения в связи с особенно


стями применения метода захвата в							этой		главе**).
Пусть	ЗУ — некоторое			множество		слов	в	алфавите			А
и £Ф — какое-нибудь				свойство	элементов			этого		множе
ства. Свойство s& назовем потенциально								перечислимым
на множестве 3?, если можно указать								перечислимое
свойство		(множество)		s4-' слов в		алфавите			А,	выпол
няющееся для тех и только тех элементов 2,										которые
обладают			свойством	s4-. Например,			свойство			точек
*)	Ясно,		что Ж неперечислимо тогда			и только		тогда,		когда	Ж
не является			разрешимым множеством.
**) Мы рекомендуем вернуться к этим пояснениям после озна
комления		с	доказательством теоремы		7 и	сепарационнои				теорему.

390	КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА		[ГЛ.8
конструктивного метрического		пространства отличаться
(в	смысле метрики) от данной	его точки является	по

тенциально перечислимым. Это обстоятельство и воз


можность		(ср. лемму 1)			в случае	слабо полных КМП
сводить принадлежность					(непринадлежность)				слов пе
речислимому			множеству		к различию (эквивалентности)
точек	КМП		весьма	существенны		при	создании			ситуа
ций для применения				принципа захвата.
Метод		захвата		применяется		нами	по	следующим
двум	схемам.								КМП М,
а)	Пусть		2 — некоторое множество				точек
si- — потенциальное				перечислимое		свойство		точек		2 , и

мы хотим найти элемент 2 , обладающим свойством зФ.


Пусть s4-'— перечислимое					множество		слов, пересечение
которого	с 2 состоит			из тех и только			тех элементов 9?,
которые обладают			свойством si-. Предположим, что нам
удалось	построить		алгорифм у так, что (Ж — перечис
лимое множество			с неперечислимым				дополнением)
(4)	если	Ре=Ж,		то	\у(Р)	и	у{Р)е=&,
(5)	если	P e l ,		то	\у(Р)	и	у(Р)е=а'.

Обозначим через 3? л множество, задаваемое условием

(6)P e ^ a | Y ( P ) 4 Y ( P ) e r f ' .


Очевидно, 2л			перечислимо			и ((5.)) Ж s 2 Л			. Следова
тельно,	можно		указать		Q е	Ж(]2л-		Ввиду		(4)	и (6)
у (Q) е 2	и у (Q) обладает свойством si.							Схему а) можно
проследить в доказательстве						теоремы		7 (а также			в тео
реме § 3 о выборе перечислимого							покрытия).
Более тонкой является схема б), применяемая											в се-
парационной		теореме.								КМП М
б) Пусть		2\	— некоторое			множество точек
и X — точка		М.	Скажем,		что точка X			перечислимо от
делима	от 2\,		если	существует			перечислимое			множе
ство 31 такое, что всякая					точка, эквивалентная					X,	при
надлежит 31, а лк}бая точка						из 2\	не принадлежит 31.
(Напомним,		что 2\		получается из 2\				присоединением
всех точек, эквивалентных					в М точках 2\.)				Пусть 2 2 —
некоторое множество-шаров						М, и мы хотим			найти шар

8 2]	СОГЛАСОВАННЫЕ МНОЖЕСТВА.	ОПЕРАТОРЫ	391
из 2*	не пересекающийся с S V ) .	Предположим,	что
нам удалось построить алгорифмы уи		у2 со следующими
свойствами

(7)Yi перерабатывает всякое слово из множества Ж

в шар из 3tV,

(8)Y2 перерабатывает всякое слово из Ж в точку М, эквивалентную X;

(9)если Р е 1 и шар Yi (Р) пересекается с & и то у2 перерабатывает Р в точку М, принадлежащую

Пусть Ж — перечислимое множество, отделяющее X

от

2£\. Рассмотрим множество

такое,

что

P e ^ , s ! Y 2 ( P ) & ( Y 2 ( P ) e | ) .

Очевидно,

3iXl

перечислимо

((8)) Ж s & S x . Сле

довательно, можно найти

слово

Q, общее

множествам

&<ev Согласно

(9)

шар

у\(0)

не

пересека

ется

с S\,

что

требует

ся

(рис.

22).

j{.

Главную

трудность

при

проведении

этой

схе

мы

составляет,

конечно,

построение

алгорифмов

и,

особенности,

у2.

Ясно,

что

это

построение

Рис. 22.

Заштриховано

перечис

выглядело

бы

более

ре

лимое множество

91 а .

альным, если бы мы рас

полагали

алгорифмом,

находящим

по каждому

шару из

9?2,

пересекающемуся

с 2?и

точку,

общую

2?\

и этому

шару. Условие существования такого алгорифма, напоми нающее аксиому выбора, входит в число посылок сепарационной теоремы и в значительной степени обусловливает требования сепарабельности в теореме непрерывности. Условие сепарабельности множества 3?\ делает свойство

пересекаемости	произвольного		шара с 3?\ потенциаль
но перечислимым		(на множестве всех шаров), что обес
печивает существование искомого «алгорифма				выбора».
*) Например,	при	доказательстве	непрерывности	конструктив
ной функции / в нуле		нужно (при данном фиксированном п) найти

окрестность нуля,	не	пересекающуюся с множеством тех х, для
которых \{(х) и \| /	( * ) —	/(0) \| > 2 - " .

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 4539 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
29.10.20235.79 Mб30Куцый П.Ф. Повелители молний.pdf
#
25.10.202312.79 Mб47Кучко А.С. Аэрофотография. Основы и метрология.pdf
#
25.10.202318.43 Mб84Кушманов И.В. Электронные приборы учеб. пособие.pdf
#
27.10.202319.55 Mб27Кушнарев Д.М. Использование энергии взрыва в строительстве.pdf
#
19.10.20232.48 Mб142Кушнарев, Ю. М. Авторулевой Печора учебное пособие для студентов судоводительского факультета.pdf
#
22.10.202314.87 Mб65Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf
#
24.10.202311.94 Mб59Кушнерев Н.Т. Программирование для ЭВМ Минск-32.pdf
#
25.10.202312.78 Mб46Кушнирская М.Ц. Крашение древесины в производстве мебели.pdf
#
27.10.202320 Mб21Кэтермоул К.В. Принципы импульсно-кодовой модуляции.pdf
#
23.10.20234.75 Mб137Лабинский Ю.В. Корабельные ядерные реакторы учеб. пособие.pdf
#
23.10.20238.6 Mб13Лабозин П.Г. Качество крупнопанельного домостроения.pdf