Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

14.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 4537 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

362

КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

[ГЛ. 9


(т.	е.	тождественный	алгорифм			является	регулятором
сходимости \|3 к X).					р назовем сходящейся,
	5)	Последовательность						если
она	сходится к некоторой			точке		Х е Ж
	Ясно, что из регулярной сходимости р к X следует
сходимость р к X и что				если р — регулярная последова
тельность, сходящаяся			к X,		то р регулярно		сходится	к X.
	Нетрудно доказать, что свойство быть пределом
данной		последовательности			инвариантно		относительно

эквивалентности в М и что предел определяется един

ственным		(с	точностью	до	эквивалентности в		М)	обра
зом; другими			словами,	выполняется
Т е о р е м а			2. Пусть	р — последовательность			точек		М,
1 Ё Д	F e		l .		и X = У, то р сходится
1)	Если	Р сходится		к X	и X = У, то р сходится			к	Y.
						м
2)	£слы р сходится			к X	и	р сходится к Y, то X =			Y.
								м
Мы, как			правило,	вместо		произвольных	фундамен

тальных и сходящихся последовательностей будем рас сматривать регулярные и регулярно сходящиеся после довательности. Ограничение такими последовательностя ми соответствует фиксации тождественного регулятора фундаментальности и сходимости и позволяет несколько упростить изложение. Вместе с тем оно не является

очень	существенным,	так как,	с	одной стороны, нас
не будут интересовать		регуляторы		фундаментальности
(или	сходимости) каких-либо		конкретных последова

тельностей, а с другой, по любой фундаментальной по следовательности, располагая ее регулятором фундамен тальности, можно построить ее регулярную подпоследо вательность, причем если исходная последовательность сходится к некоторой точке, то построенная подпоследо вательность регулярно сходится к той же точке. Послед нее обстоятельство позволяет переходить от алгориф мов, определенным образом работающих на записях регулярных последовательностей, к аналогичным алго рифмам, использующим в качестве исходных данных пары: фундаментальные последовательности вместе с их регуляторами фундаментальности. После сказанного чи тателя не удивит принимаемое нами несколько узкое на первый взгляд определение алгорифма предельного пе рехода.


	ОПРЕДЕЛЕНИЯ,				ПРИМЕРЫ. ПОПОЛНЕНИЕ КМП						363
О п р е д е л е н и е				7.	1)	Алгорифм	а	назовем		алгориф
мом слабого		предельного				перехода	в	М,	если	он	пере
рабатывает		запись		любой		регулярной		сходящейся			после
довательности			точек М в			точку М, к		которой		сходится
эта	последовательность.
2)	Алгорифм		а назовем			алгорифмом		предельного			пе
рехода	в КМП		М, если		он перерабатывает				запись		всякой

регулярной	последовательности	точек М	в	точку М,
к которой	сходится эта последовательность.
Вводимые ниже слабо полные КМП впервые рас
сматривались М о с к о в а к и с о м		[1] (здесь	и в	дальней

шем мы отвлекаемся от несущественных технических различий между КМП и изучаемыми Московакисом ре

курсивными метрическими

пространствами). О р е в к о в

[5] называет слабо полные КМП

L-правильными.

О п р е д е л е н н е е .

КМП

назовем

слабо

полным,

если для него можно построить

алгорифм

слабого

пре

дельного

перехода.

КМП

назовем

полным,

если

для

него

можно

по

строить алгорифм

предельного

перехода.

Таким

образом,

полном

КМП

все

регулярные

(а следовательно, и все фундаментальные)

последова

тельности сходятся,

что, вообще

говоря,

не

имеет

места

в случае слабо полных

КМП.

Вполне очевидны следующие две теоремы.

Т е о р е м а

3. Всякое

полное КМП слабо

полно.

Т е о р е м а

Всякое

правильное

подпространство

слабо

полного

КМП

слабо

полно.

О п р е д е л е н и е

Слово

вида

Х*п

(Х**п),

где

X — точка КМП

(3), п — натуральное

число,

будем

на

зывать

шаром

(замкнутым

шаром)

пространства

М.

Точку

назовем

центром

шара

Х*п

( Х * * п ) ,

а число 2~п

— его

радиусом;

М будем

Про

точку

Y пространства

говорить,

что

она принадлежит

шару

Х*п

(Х#*п),

если

р(Х,

2 _ п

(соответственно р(Х,

2 _ п ) .

Будем

говорить,

что шар

(замкнутый

или

нет) S

вложен

(замкнутый

или

нет) шар

если

всякая

точка

F e A l , принадлежащая

принадлежит

S\.

Для обозначения принадлежности точки Y шару S и

включения

шара

в Si мы

будем

использовать

запись

Y <=S

и S s S j .


364	КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА									[ГЛ. 9
Из	теоремы 1 очевидным					образом		следует,	что мно
жество точек, принадлежащих данному шару									(замкну
тому шару), является			правильным.
О п р е д е л е н и е			10.	1)	Пусть Ж\,			Ж2— два		множе
ства точек		КМП (3).	Будем		говорить,			что Ж\	плотно в
Ж2, если осуществим			алгорифм			а	такой, что для			любого
шара	S с центром в		Ж2	!а(5) ,			cc(S)<=Jfi и		a ( 5 ) e S .
2)	Будем	говорить,	что множество Ж\ плотно в КМП
М, если Ж\		плотно в носителе				М.

3)Подпространство М{ КМП М будем называть

плотным

в А1, если

носитель

М\ плотен в М.

Нам будет особенно интересен случай, когда данное

множество

имеет

перечислимое

плотное

подмножество.

О п р е д е л е н и е

11.1)

Множество

Ж\ точек КМП М

назовем

сепарабельным

этом

КМП,

если

можно

ука

зать перечислимое

множество

Ж%<=,Ж\,

плотное

Ж\.

КМП

М назовем

сепарабельным,

если

осуществи

мо перечислимое

множество

элементов

М, плотное

в М.

Более

подробно

определение

можно

высказать

так:

Множество Ж\

назовем

се

О п р е д е л е н и е

11'. 1)

парабельным

в М, если

можно

построить

алгорифмы

и р так, что а

перечисляет

некоторое

подмножество

Ж\,

Р перерабатывает

всякий

шар S

с центром

в Ж\ в нату

ральное

число

так, что ! a ( p ( S ) )

и a(P(S)) E S .

КМП

М назовем

сепарабельным,

если

можно

по

строить алгорифмы

а к

р так, что а

перечисляет

неко

торое

подмножество

носителя

М,

перерабатывает

всякий

шар

в натуральное

число

так, что Ia(P(S)) и

a(p (S))€=S.

Отметим, что если множество Ж\ содержит хотя

бы

один элемент, то алгорифм а в условии

определе

ния 1Г можно, не теряя общности, считать

арифмети

чески

полным

(т. е. применимым

к любому

натураль

ному

числу).

Аналогичное замечание можно сделать и по поводу

условия

определения 11'.

Мх =

О п р е д е л е н и е

12. Будем

говорить, что КМП

= {Ж\, р\} изометрично

КМП

М2 =

{Ж2, р2 }, если

можно

построить

алгорифмы

а ь

соответственно

типов

(Ж\ -*Ж2)

и (Ж2-*Ж\)

так, что при

любых

Xlt

Х2

е All и У ^

А12

выполняется

§ 1]	ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ. ПОПОЛНЕНИЕ КМП			365
а)	Pl(Xh Х2) =	р2(а1(Х1),	щ(Х2));
б)	а, (6, (Y)) =	Y.

м2

Очевидно, отношение изометричности КМП рефлек сивно (каждое пространство изометрично самому себе). Нетрудно также показать, что это отношение симмет рично и транзитивно. В самом деле, пусть М\ изометрич

но М2. Тогда для любых

Yu K 2

e A f 2 и I

PI (PI (Y,),

p, (Y2)) =

p2 (a, (p, (Y,)),

щ (P, ( У 2

) ) ) =

{Yu

Y2)

p, (p, (a, (X)), X) = p2

(a, (P, (a, (X))),

щ (X))

= р2(щ

(X), a, (X)) =

т. e. p,(a,(J0) = Z. Полученные

равенства

доказывают,

что M2 изометрично Мх. Пусть М{ изометрично М2, М2

изометрично М3, причем

изометрия от М1

к М2

осуще

ствляется

алгорифмами

щ, р(, а от

М2

к М3

—- алго

рифмами а2 , р2. Построим алгорифмы аз, Рз так, что при

любом

слове Р

а3(Р)~а2(щ(Р)),

Рз(Р)~Р,(Р2 (Р)).

Тогда при любых Х1г

Z 2

e M ,

и Z e M 3

имеем

Pi(Xt,

^ 2 ) =

p2 (aI (Z1 ),

cti№)) = p3 (a2 (a, (*,)), а2(щ(Х2)))

Рз(аз№) . Оз№)),

p2 (a,(pI (P 2 (Z))),

p 2

( Z ) ) =

Следовательно,

p3 (a2 (a1 (p1

( p 2 ( Z ) ) ) ) , a 2 ( p 2 ( Z ) ) ) = 0,

P3 (a3(P3 (2)),a2 (p2 (Z))) =

отсюда ввиду того, что

a2 (p2 ( Z ) ) = Z ,

м3

получаем

р 8 ( а з ( Р з № Z) = 0.


366	КОНСТРУКТИВНЫЕ		МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9
Таким образом,		а3 (р3 (Z)) — Z,		чем и	заканчивается
доказательство изометричности Mi пространству М3 .
О п р е д е л е н и е		13.	КМП М\	назовем	пополнением
КМП	М, если Мх полно		и можно	указать	подпростран

ство М 2 Е М[, изометричное М и плотное в Mi,

Одним из важных фактов теории метрических про странств является возможность построить для каждого пространства его пополнение. В следующем пункте бу дет приведен (доказательство теоремы 5) некоторый стандартный способ построения пополнения, по существу аналогичный способу введения конструктивных действи тельных чисел, использованному нами в гл. 2 (этот спо соб в свою очередь имел источником канторовский ме тод введения действительных чисел).


3.	Т е о р е м а 5. Для каждого КМП можно					построить
его	пополнение.
Нам		потребуется	одна	простая
Л е м м а 1. Пусть			М =	{Ж, р} — КМП,	ось	— регу
лярные		последовательности		точек М и	последователь

ность КДЧ			(ПДЧ)		р такова,		что
			р(л) =		р(а, (я +		1), а2(п+		1)).
Тогда		ПДЧ	р фундаментальна,				причем		алгорифм	Id та
кой,	что Id(«)=Frt,				является регулятором				фундаменталь
ности р.											п.
Д о к а з а т е л ь с т в о .						Фиксируем			произвольное
Пусть		1и 12~^п.		Обозначим			для	краткости		(/, - f 1),
а , ( / 2	+	1) через		р,,	р2 и	а2 (/,	+ 1), а 2 ( / 2		+ 1) через qu		q2.
По аксиоме			треугольника
Р ih) — Р (k) =				Р (Pi> Яд — Р (Р2, Я2) <
	<Р(Pi> Pi) +				Р (<7i> Рг) — Р(Р2 . <7а)<
		<р(Ри	Рд +		Р (<7г. Рг) +		Р (Яи <7г) — Р (Рг, Я%) =
			=	р(Ри	Р2) +	р(Яи Я2) <		2 - " - 1 + 2 " я - '		=	ТЛ-

Итак, при U, l2~^z п

PCi) Р (/ 2 )< 2 — п

Аналогично,

Р ( / , ) < 2 —п

ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ. ПОПОЛНЕНИЕ КМП	367
Поэтому
I P ( / I ) - P ( / 2 ) I < 2 - " ,
что и требовалось.
Перейдем к доказательству теоремы 5.
Пусть М = [Ж, р} — КМП. Обозначим через Ж\	мно

жество слов в алфавите А, являющихся записями регу


лярных	последовательностей				точек		М.	Это	множество
и будет	носителем		строящегося пространства.
Примем		следующее		обозначение:				если Р — запись
алгорифма, то {Р)			обозначает		этот		алгорифм. Построим
алгорифм		91 так,	что для любых			двух		элементов Ри Рг
множества		Ж\
	% (Л, Р2,		п) ~	р «Р,> (я +		1), (Р2 > (я +			1))

(при построении такого алгорифма удобно использовать

универсальный алгорифм).
Очевидно, при Pi, Р2^.Ж\		алгорифм	91/>,,Р г *) яв
ляется последовательностью		КДЧ, причем в силу лем
мы 1	алгорифм Id является	регулятором	фундаменталь
ности	этой последовательности. Пусть lim — алгорифм,

построенный согласно теореме о полноте КДЧ (§ 2 гл. 3). Построим алгорифм pi так, что для любых Pi, Р2<^Ж\

P l ( P „ P 2 ) ~ l i r n ( £ 2 l P , , P S , Е Id 3)-

Алгорифм pi является, очевидно, алгорифмом типа [Ж2-*2D). Покажем, что он удовлетворяет аксиомам метрического пространства (условия 1)—2) определе ния 1). Очевидно,

				р ( Р 1 , Р 1 ) =		0.
Далее	при любом я и Р ь				Р 2 , Рг е Ж\		((Л>>
Переходя		здесь к		«Л>	(Я), (Р3)	(")) + Р			(Я), (Р3> («)).
P ((Pi)	(").	</>2> («)) < Р
			пределу по я,			получаем
		p 1 ( P „ P 2 ) < p 1			( P „ P 3 )	+ Pi(P2 , Р3 ),
т. е. аксиому треугольника. Итак, М\ =								{Ж\,р\} — кон
структивное метрическое					пространство. Покажем, что M i

*) Точнее говоря, перевод этого алгорифма в алфавит Ча.

368

КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

[ГЛ. 9

является пополнением М. Построим алгорифм F так,

чтобы для любого слова		Р	и любого п выполнялось
	F(P,n)=^P.
Очевидно, если	Д	то	Рх — регулярная последо

вательность точек М. Обозначим через Жч множество

слов	вида		£/^3. где Х^Ж.		Очевидно,		Ж2<=ЖХ,		и	по
этому	М2		= {Жч, Pi} — подпространство				М ь	Обозначим
на время доказательства Рх (где X е= Ж)							через {X}. Изо-
метричность пространств М и М2 очевидным									образом
следует		из	равенства
(4)			Р , ( £ № } 3 .	£ №}3) =		Р ( * „ * 2	) >
которое		выполняется		при	всех Хх,	Х2^М,		Далее,		для

любой регулярной последовательности а точек М при любом п и т > п т 1

p ( a ( n + 1), а ( т ) ) < 2 " " ' . Следовательно, при т ^ п -4- 1

р ( { а ( я + l)}(m), a ( m ) ) < 2 - " - ' . Переходя здесь к пределу по /л, получим, что

(5)	Р , ( £ {	а ( л + 1)}3, £ а З )	< 2 - " - '	<2~\
откуда	следует,	что М2 плотно в	Мх.

Осталось доказать полноту пространства Мх. Это до казательство вполне аналогично доказательству теоремы

о полноте	КДЧ (§ 2 гл. 3).
Построим алгорифм		33	так, чтобы для любой регуляр
ной последовательности 8			точек Mi выполнялось
(6)	33 (£93, п)~	(6 (п+ 1)>(я + 2)

(8 перерабатывает всякое п в запись регулярной после довательности точек М).

Алгорифм Lim строим так, чтобы

(7)	и т ( £ 8 3 ) ^ £ 2 3 £ е в З .
Покажем,	что Lim является	алгорифмом	предельного
	ж,
перехода	в пространстве Мх.	Фиксируем	произвольную

§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ. ПОПОЛНЕНИЕ КМП 369

регулярную последовательность 9 точек М{ и для крат кости обозначим


	<8(n))(m)	через Хп, т ,
( )	Е{(6(л)>(т)}3	через Qn,m.
В обозначениях (8) формула			(6) примет вид
(9)		^ х п + и п + 2 .
Выполним	некоторую оценку. Пусть т, п, / ь / 2 — про
извольные числа, причем т^п.			Согласно (5)

P,(Q„./L.E(«))<2-1',

P . ( Q M , V E H < 2 " ' '

Следовательно,

P. (Qn,Qm. l) < P. (Q„. V 9 (»)) + P. (Qm. V 6 (")) <

<	Pi (Qn, v 0	( " ) ) + P. (Qm,e		(«)) +	Pi (6 («). в И ) <
					< 2"'" + 2~'2 + 2~\
Отсюда, ввиду		(4), получаем при m ^			п
(10)	р (Хп, h , Хт, I,) <		2_ / ' + 2"/2 + 2_".
		«		п
Следовательно, при				п
Р	гг+2>	т + г ) <	2	+2	+2	=2
Поэтому ((9)) 33^63 — регулярная					последовательность

точек М и Lim (£03) е М,. Обозначим Lim(£03) через Р

М,		ЛГ,
и покажем, что 0 сходится	(в	к Р.
Фиксируем произвольное	п. Согласно		(8) и (10) при
любом
Р ((о (л)> (/+1), <р> а + D ) = р (хп,г + 1 , хг + 2 , ,+ 3 ) <
		<2~'~1	+ 2~/~3 + 2~',•

Переходя здесь к пределу по /, получим

р1 (0(«),/5 )<2Л

что и требовалось,

370	КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА		[ГЛ. 9
	В связи	с упомянутой перед формулировкой теоремы
аналогией		с КДЧ заметим, что пополнение М	можно

было бы определить и с помощью носителя, элементами
которого являются слова		вида		ЕаЗ * ЕРЗ > г Де а	— после
довательность	точек М,	а	В — ее регулятор		фундамен
тальности.
4. Вернемся	к примерам		КМП а) — е), рассмотренным
в п. 1. Все эти пространства				полны и сепарабельны.

В самом деле, для пространства Н высказанное утвер ждение очевидно, для Е\ оно следует из теоремы о пол ноте системы КДЧ и из плотности на конструктивной прямой множества рациональных чисел. Из полноты и сепарабельности Е\ без труда выводятся одноименные

свойстза пространств Еп, Еп, Е2Л. Наконец, при доказа тельстве полноты и сепарабельности пространства С следует воспользоваться теоремой о равномерной непре рывности предела равномерно сходящейся последова тельности равномерно непрерывных функций и аппрокси мируемостью равномерно непрерывных функций полиго нальными функциями с рациональными определяющими дроблениями и рациональными значениями в точках этих дроблений. (Исходными данными при построении таких аппроксимаций служат равномерные шифры.)

Остановимся несколько подробнее на доказательстве

полноты и сепарабельности бэровского пространства	В.
Пусть Т =г п 0 * . . . *tih — кортеж натуральных чисел.	Бу

дем говорить, что ПНЧ а представляет этот кортеж, если a(t') =:= tii при ! < А и a(i) =?= nh при i k. Нетрудно по строить алгорифм % так, что для любого кортежа Т алгорифм 91т есть ПНЧ, представляющая Т. Пусть те перь арифметически полный алгорифм В перечисляет множество всех кортежей натуральных чисел. Построим алгорифм S3 так, что

и покажем, что S3 перечисляет плотное подмножество В. В самом деле, при любом п В(«)— кортеж натуральных

чисел, Щ(П\ — представляющая его ПНЧ. Следовательно, S3(rt)eB. Пусть a — произвольная ПНЧ. Фиксируем произвольное / и найдем m так, что

В (тп) т= a (0) * . . . * a (/),

ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ. ПОПОЛНЕНИЕ КМП

371

Тогда при i г£1 /

и, следовательно,		Щ	(т) (0 = a (i)
и, следовательно,
	р ( « ( т ) , Е а З ) < 2 _ / * ) .
Таким образом, КМП В сепарабельно.
Построим	алгорифм		Lim' так, чтобы для любой по-
				в
следовательности у		точек В и любого п
	Lim 1	( E Y 3 . " ) ^ ( Y ( " ) > (")•
	в
(Напомним,	что если		Р — запись		алгорифма,	то	(Р)
означает этот алгорифм.)
Построим	алгорифм		Lim так, чтобы
				В
	L i m ( E v 3 ) ^ E L i m ^ B ,
	В			в
и покажем,	что этот		алгорифм		является алгорифмом
предельного	перехода в В.						В.
Пусть у — регулярная				последовательность		точек	В.
Тогда при любом п у(п)				есть запись ПНЧ, причем			при
m ^ п	9(у(п),			у(т))<2-п.
	9(у(п),			у(т))<2-п.

Отсюда следует, что при и ^ п и / < п

{y(n))(i)^(y(m))(i).

Следовательно, при i <; п

< Y ( 0 X 0 - < Y ( " ) X 0 -

П О Э Т О М У при i г£Г П

L i m «(EY3.0- < Y («)X0

p(Lim(gY 3). Y ( « ) ) < 2 - " ,

что и требуется.

*) Здесь р — метрический алгорифм бэровского пространства.

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 4537 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
29.10.20235.79 Mб30Куцый П.Ф. Повелители молний.pdf
#
25.10.202312.79 Mб47Кучко А.С. Аэрофотография. Основы и метрология.pdf
#
25.10.202318.43 Mб84Кушманов И.В. Электронные приборы учеб. пособие.pdf
#
27.10.202319.55 Mб27Кушнарев Д.М. Использование энергии взрыва в строительстве.pdf
#
19.10.20232.48 Mб142Кушнарев, Ю. М. Авторулевой Печора учебное пособие для студентов судоводительского факультета.pdf
#
22.10.202314.87 Mб65Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf
#
24.10.202311.94 Mб59Кушнерев Н.Т. Программирование для ЭВМ Минск-32.pdf
#
25.10.202312.78 Mб46Кушнирская М.Ц. Крашение древесины в производстве мебели.pdf
#
27.10.202320 Mб21Кэтермоул К.В. Принципы импульсно-кодовой модуляции.pdf
#
23.10.20234.75 Mб137Лабинский Ю.В. Корабельные ядерные реакторы учеб. пособие.pdf
#
23.10.20238.6 Mб13Лабозин П.Г. Качество крупнопанельного домостроения.pdf