книги из ГПНТБ / Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу

Г Л А В А 9

КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

Основной целью данной главы является доказатель­ ство теорем непрерывности. Использование понятия кон­ структивного метрического пространства позволяет при­ дать естественную общность как этим теоремам, так и ряду результатов о конструктивных действительных чис­ лах и функциях, полученных в предыдущих главах. Имея в виду сформулированную только что цель, мы уделяем сравнительно мало места «пересказу» традиционной тео­ рии метрических пространств. На содержание этой главы сильное влияние оказали две выдающиеся работы: Ц е й -

у Московакиса, тогда как применяемый в доказатель­ ствах метод («метод захвата») почерпнут из работ Цей­ тина. (Таким образом, некоторые результаты Москова­ киса (например, «сепарационная теорема») доказы­

дятся конструктивные нормированные и гильбертовы пространства*). Рассматриваемые М о с к о в а к и с о м [1] рекурсивные метрические пространства вполне ана­ логичны КМП с точки зрения излагаемых нами резуль­

строена конструктивными средствами теория локально выпуклых топологических пространств (в частности, мультинормируемых про­ странств). Наконец, вопросы рекурсивной общей топологии рассмот­

12 6. Л . Кушнер

в § 1 (исключение составляют результаты п. 5 о совер­ шенных КМП), а употребление его в §§ 2—3 связано в основном с использованием метода захвата. Таким об­ разом, основные результаты данной главы — теоремы не­ прерывности— существенно опираются на принцип Маркова.

В этой главе будет широко использоваться сокращен­ ная запись суждений. Сделаем в связи с этим некоторые пояснения. Как правило, формулируемые суждения имеют вид

(1)Пусть М — конструктивное метрическое простран­

нии s&.

В суждениях вида (1) — (2) пространство М предпо­ лагается произвольно фиксированным. Суждение вида

(1) понимается как утверждение, что можно построить

утверждение возможности построения алгорифма, пе­ рерабатывающего всякое слово вида Е Ч ^ - Х в запись искомого алгорифма, или (что эквивалентно) как утвер­ ждение о возможности построения такого алгорифма %, что для любого оператора W и слова X алгорифм Й^з.-х (это обозначение поясняется ниже) находится в требуе­ мом отношении с ¥ и I .

С целью избежать частых отвлекающих упоминаний об алфавитах, мы будем считать, что фиксирован неко­ торый алфавит А, в котором и рассматриваются все ме­ трические пространства. Нам удобно считать, что А не

ГЛ. 9] КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

содержит букв «,» и «*» (эти буквы используются для образования систем слов в Л) и что алфавит Ч\ (основ­ ной алфавит предыдущих глав) включен в А. Алфавит A U {, *} обозначается через А,. Наконец, через At мы обозначаем некоторое двухбуквенное расширение А\.

В соответствии со сказанным, при отсутствии других указаний все упоминаемые слова считаются словами в А, а алгорифмы — нормальными алгорифмами в алфавите А\.

Напомним также одно важное обозначение. Пусть 21 — алгорифм (над алфавитом А) и Р ^ А\. Тогда че­ рез 21р обозначается построенный некоторым фиксиро­ ванным образом (см. п. 11 § 1 гл. 1) алгорифм в алфа­ вите Л? такой, что при любом Q е= А\ имеет место

mP(Q)^m(pQ),

и если !2t(PQ) и 21 (PQ) — слово в алфавите Аи то

%Р (Q)=F 21 (PQ).

Так же, как в предыдущих главах, если Р оканчи­ вается запятой, то мы опускаем в обозначении 21Р эту запятую, так что вместо 2tp,, пишется 91р,. Точный смысл используемых обозначений во всех таких случаях легко усматривается из контекста.

2 3 ( Р ) г * £ а д .

12*

валентные ей точки М.)

Важным частным случаем правильных множеств яв­ ляются вводимые в следующем параграфе согласован­ ные множества. Приведем некоторые примеры конструк­ тивных метрических пространств*). (Число подобных

Множество Ж вместе с р образует КМП, которое мы бу­ дем обозначать через Н.

б) Пространство конструктивных действительных чи­ сел Ei. Носителем этого КМП является множество 3) всех КДЧ, а метрическим алгорифмом — алгорифм р та­ кой, что

р (х, у) =F \х — у |.

Очевидно, Н — подпространство (не являющееся пра­ вильным) Ei. КМП Ei мы будем иногда называть кон­

*) Мы не будем в дальнейшем различать КМП с равными

идругое, однако, невозможно, поскольку р (£а,3, £а2 3) =

=2~к. Следовательно,

р ( К З . Eaa3)<p(£ai3. М ) + р(£а2 3, £а3 3),

что и требовалось.

Ясно, что две ПНЧ тем ближе друг к другу в бэровском пространстве, чем больше начальный отрезок зна­ чений аргумента, на котором они совпадают. В частно­ сти, эквивалентность двух ПНЧ как элементов бэровского пространства означает их совпадение при всех значениях аргумента.

2. Введем теперь некоторые понятия, связанные с предельным переходом и сепарабельностью КМП. Че­

9(Х,£(п))^2-п