Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

14.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 4542 43 44 45 > Следующая >>>

412

КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

[ГЛ. 8

Ц е й т и н у [5], назовем операторами Клини * ) . Ясно, что от опера тора Клини нетрудно перейти к совпадающему с ним (на вычислимых функциях) оператору Маркова: оракул может быть заменен уни версальным алгорифмом, который, получив запись исходного алго рифма, выдает требуемые в процессе вычисления значения исход ной функции. Соединение этого универсального алгорифма с описа нием самого оператора позволит построить алгорифм, который по записи исходной функции и п выдает значение результирующей функции в точке п (если оно определено). От этого алгорифма легко перейти к алгорифму, переводящему запись алгорифма вы числения исходной функции в запись алгорифма, вычисляющего ре

зультирующую			функцию. Обратный переход		от	оператора	Маркова
к	оператору	Клини, напротив,		отнюдь не очевиден: в самом деле,
в	то время	как	оператор Клини	использует	при	вычислении	данного

значения результата лишь конечное число значений исходной функ ции, оператор Маркова использует для той же цели характеристику исходной функции в целом (именно, предписание вычисляющего ее алгорифма). Вместе с тем для многих конкретных марковских опе

раторов такой		переход возможен—например, вычисление суммы
двух	К Д Ч (определенное нами посредством		некоторого	оператора
типа	Маркова)	может быть реализовано	посредством	оператора

Клини: для того чтобы найти рациональное приближение к резуль тату с точностью до 2 - п , вовсе не нужно знать исходные числа с любой степенью точности, достаточно иметь рациональные при ближения к ним с точностью до 2 - " - 1 . Оказывается, теорему 3 можно в определенном смысле трактовать как утверждение о про должимости марковских операторов из некоторого достаточно ши рокого класса до операторов" клиниевского типа.

Действительно, всякая точка X сепарабельного					КМП	может
быть	некоторым	стандартным образом	представлена		сходящейся
к ней последовательностью элементов плотного множества;						члены
этой	последовательности можно рассматривать			как	приближения
к X,	а само слово X трактовать как код		алгорифма, вычисляющего
соответствующую		X последовательность.	В свете	сказанного		есте

ственно считать, что рассматриваемые в теореме 3 операторы имеют марковский характер. Теорема 3 позволяет определить клиниевский

процесс

вычисления приближений фигурирующего в ней

опера

тора

использующий

не саму точку

лишь

приближения

к ней. Этот процесс для данной точки X и точности 2~т

можно

коротко описать так: пользуясь приближениями к X, ищем /, при

котором

\о(т, I) и X принадлежит шару

о(т,

I);

случае

нахож

дения

такого / х(т,1)

считаем приближением

W(X)

с точностью

2 _ т

(в смысле метрики

М 2

) . Если ^ ( J ) ,

то

соответствующее

дей-

*) Ясно, что клиниевский характер носят, например, тожде

ственный оператор и оператор наименьшего

числа:

( Ф )

(я) а« ф (л),

((£Н*Сi—Q

5 31	ВЫБОР	ПЕРЕЧИСЛИМОГО		ПОКРЫТИЯ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ		413
ствительно найдется*).			Вместе	с тем	описанный процесс	может
дать	результат	и при X,	на котором		Ч/ не определен. Возникает

естественный вопрос об усилении теоремы 3, при котором эта воз можность была бы исключена. Из результатов следующего пункта следует, что такое усиление невозможно. В самом деле, при каж дом фиксированном т описанный нами процесс будет завершаться нахождением требуемого / для любого X, принадлежащего какому-

нибудь из шаров a(m,k). Другими	словами,	область	определения
этого процесса будет лакомбовым множеством		(объединением ша
ров, перечисляемых алгорифмом бт).	Вместе	с тем в	следующем

пункте будут приведены примеры алгорифмических операторов (дей ствующих из полных сепарабельных пространств), области опре деления которых, во-первых, непусты и, во-вторых, не содержат ни одного шара.

3. Следствие 4 п. 4 § 2 показывает, что если алго рифмический оператор определен в некоторой точке X

слабо	полного	КМП,	то в любой последовательности
точек,	(конструктивно)		сходящейся к	X, сколь угодно
далеко	имеются	точки	определенности	этого оператора.

В большинстве реально встречающихся случаев оказы

вается, что, сверх того, существует	шар с центром в
точке X, на котором всюду определен	рассматриваемый

оператор. В частности, таким свойством обладают все элементарные конструктивные функции и функции, по лучаемые из них с помощью арифметических операций и суперпозиций. Построение алгорифмических операто ров, не обладающих этим свойством, требует достаточно тонких конструкций. Первые примеры такого рода — примеры эффективных функционалов, области опреде ления которых не являются открытыми множествами — построены Ф р и д б е р го м [1] и А. А. Мучником **) (ре зультат Мучника, не опубликованный автором, воспро изведен в работе Ц е й т и н а [8], там же указано, что Мучник доказал аналогичную теорему и для конструк

тивных	функций).
Мы будем следовать общей конструкции, принад
лежащей		М о с к о в а к и с у [1] и	позволяющей	получить
*)	Очевидно, если Ч / — эффективный функционал,			\W(X) и
т = 1,	то	находимое нами приближение	совпадает с Ч/(Х). Таким

образом, мы получаем клиниевский функционал, являющийся про должением исходного.

**) И тот и другой автор имели в виду получение примера эф фективного функционала, не совпадающего (на общерекурсивных функциях) ни с каким частично рекурсивным оператором.

414 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9

единообразным способом интересующие нас примеры как для бэровского пространства, так и для конструк тивной прямой.

Пусть 33 — тот			же	самый алгорифм, что и в п. 3 § 2,
т. е. при любом алгорифме 21 (в алфавите А")							и любом
слове	Q (в алфавите			А)
(25)			23(Е213, Q ) ~ 2 l (Q) .
Для	произвольного слова Р в алфавите					^ 0 =	{0]} обо
значим через		{Р)	алгорифм 33р. В		силу	(25),	если	Р==
= £213, т 0 П Р И		любом		Q
			<P)(Q)~2I(Q).
Обозначим		через		3Su такие множества слов в				алфа
вите	^о, что
(26)	P e J j S		VI	((!<Р> (0) & «Р> (0 е		Ж))
			<<fe
(где	Ж — множество			натуральных	чисел).
Пусть М — сепарабельное КМП					с метрическим			алго

рифмом р и алгорифм р перечисляет плотное подмноже

ство М.	Обозначим через Ж\	такие множества слов
в Ч0, что
(27)	Р е М Й ( Р е а д &	V/(!р(<Р)(/))).

Для Р е= Ж\ мы будем использовать следующее со кращение:

(28)через {Р\ (при г'</г) обозначается Р((Р)(/)).

Очевидно,		{P}i	есть	элемент КМП М.
Введем в		рассмотрение множества			Жk	слов	в Ч0
такие,	что
(29) Р^мк={Р^Ж\)&				Vij {i < / <k ZD р({Р}г , {Р}/) <			2 - ' ) .
Из	(25) — (29)		легко	усматривается,	что	все множе

ства Жь. перечислимы. Обозначим через Жао пересече ние множеств Жь, т. е.

(30) Р ^ Ж ^ Vk (Р е Жк).

Ясно, что Р принадлежит Жх в том и только в том случае, когда: 1) ( Р ) есть последовательность нату-.

§ 3] ВЫБОР ПЕРЕЧИСЛИМОГО ПОКРЫТИЯ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

415

ральных чисел; 2) алгорифм р применим к любому на

туральному числу	{Р)(п)\	3)	последовательность точек
КМП М $ЦР)(п))	регулярна.
Пользуясь сепарабельностью М, нетрудно построить
алгорифм, отображающий		М в	Действительно, так

как р перечисляет плотное подмножество М, можно по

строить алгорифм		сс, перерабатывающий всякий			шар
Х*п (где	X e J H )	в	натуральное число	так,	что
!р(а(Х*п))	и fi(a(X*n))		е= Х*п. Построим	алгорифмы

Fl,	F2 так, что для любого X ЕЕ М		И п
	F4X,	п)сха{Х*п+	1),
{ )	F2{X,	n)~fi{F4X,	п)).

Ясно, что Fx — последовательность натуральных чи сел, a Fx. — регулярная последовательность точек М (сходящаяся к X). Поэтому алгорифм F такой, что

F{X) =	iFlxl,
перерабатывает всякий X е	М в некоторый	элемент
Введем отношение ^ следующим образом		(см. (28)):
(32) PrQ^(PezJ{k)&(Qz=J(k)&(p({P}k,		{ Q } f t ) < 2 - f t + 1 ) .

Нетрудно видеть, что все отношения ^ перечислимы; другими словами, можно построить 'алгорифм % так, что для любых слов Р и Q в Ч0 и любого k

	№(k,	Р,		Q)^P~Q.
Пусть	v — алгорифм,		перерабатывающий слова в
алфавите	Ч0 в натуральные числа, причем разные слова
в разные	натуральные	числа. Фиксируем				произвольное
Хо её М и алгорифм g типа			(Ж -> Ж)		такой,	что
(33)	g(n+l)>g(n)			+	3.

Введем для краткости следующие обозначения:

(34)при ХбнЛ! через X обозначается F(X);

(35)при любом слове Р в Ч0 через пР обозначается натуральное число g(v(P)) .

416	КОНСТРУКТИВНЫЕ			МЕТРИЧЕСКИЕ		ПРОСТРАНСТВА		[ГЛ.9
	Рассмотрим множества Ш\ слов					в ^о,	определяемые
индуктивно следующим				образом ((32), (33) — (35));
(36)	Р е Й 0	=	Р	= 1 0 ,
(37)	Р е Жп+{	=	3Q ((Q s		Я„) & (Q ~		Р)).

Перечислимость отношений ^ позволяет без особого труда доказать, что все множества 524 перечислимы. Следовательно, перечислимо их объединение, т. е. такое множество Я , что

Обозначим теперь через 2? множество элементов М та кое, что для А ' е М


Установим некоторые свойства множества 3?.
Л е м м а 1. Х0				G E 3.
Для	доказательства					достаточно		заметить, что			Х0 е=
Л е м м а		2.	Ясли		X GE Л1, то X ен .#со				и «А>« л/обол* я
Эта лемма непосредственно усматривается из опре
делений	алгорифмов				а, 6,		F\ F и	(34).	Из	леммы	2 и
(32) немедленно				вытекает
Л е м м а		3.	Если		I e M ,		Y <=М	и X =	Y,	то при	лю-
бом п	X-^Y.		i? — согласованное					множество.
Л е м м а		4.
Действительно, ввиду перечислимости Я можно по
строить	алгорифм			81	так,	что

! E ' ( P ) s P e £

Построим алгорифм 0 таким образом, что для любого X

8 (X) ~ 0! (X).

Тогда при любом X GE М

	\в{Х)^Х(=3
и для	окончания доказательства достаточно показать,
что 3	— правильное множество.

§ 3]

ВЫБОР

ПЕРЕЧИСЛИМОГО

ПОКРЫТИЯ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

417

Пусть

Х е ? .

Тогда

при

некотором

X е 5?п-

На

основании

леммы

3 из

Y = X

вытекает

тогда

f Е Й В + | ,

т. е. У е ^ ,

что

требуется.

Л е м м а

Пополнение

множества

(в

простран

стве М)

эффективно

открыто.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

алгорифм

та

кой, что при любом

1 е М

y(X)~g(v(X)).

Очевидно,

при

X е

\у(Х)

у(Х)—натуральное

чис

ло.

Покажем,

что

если

Хф2,

то

все

точки

шара

Х*у(Х)

не

принадлежат

2 .

Действительно,

пусть

F e

e X « v ( X ) . Тогда

((35))

р(Х, К ) < 2 - г ^ < Т

) ) =

2 ~ Х

Предположим,

что

F e S " .

Тогда

при

некотором п

е й

Согласно лемме 2 при любом i

p([X}h

Х)<2'1-\

p({Y}h

П < 2 " ' " ' .

Следовательно,

р № ,

{Yh)<2~nx+2-1.

Полагая

i =

tij,

получим

P ({*}„_, { 7 } „ _ ) < 2 " ^ + I ,

т. e.

((32))

X~Y.

Отсюда

согласно

(37)

получаем

Д: е=ЯЯ + 1 > .

что,

ввиду X ф 2 ,

невозможно.

О п р е д е л е н и е

1) Точку

назовем

предель

ной

точкой

множества М\

точек

М,

если

невозможен

шар

центром

точке

не

содержащий

точек

Л\,

14 Б. А. Кушнер

418	КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА				[ГЛ. 9
2) Множество		Ж\ назовем	замкнутым, если	оно	содер
жит все	свои	предельные	точки.
Обращаем внимание читателя на отличие этого опре
деления	от определений		алгорифмической	предельной

точки и алгорифмически замкнутого множества. Ясно, что алгорифмическая предельная точка является пре дельной точкой и что замкнутое множество алгорифми чески замкнуто. Обратные утверждения, как будет по

казано ниже, можно опровергнуть на примере.

Л е м м а

Множество

замкнуто.

Действительно,

пусть

А' — предельная

точка

Предположим,

что X ф 2 .

Тогда по

лемме

5 найдется

шар с центром в точке X,

не содержащий точек 2 .

Это,

однако,

невозможно.

Следовательно,

выполняется

~]~\(Х

2),

что,

ввиду

согласованности

2 ,

дает

1 е

<=2.

Для

каждого

PsS ? можно

построить

це

Л е м м а

почку

Р0,

..,

попарно

различных

элементов

так,

что Ро~

Х0,

Ph =т= Р и

Pk-i

„ Т ~ • • • Р\п^

rk—\

Действительно, непосредственно из определения мно жества 91 ((36) — (37)) усматривается возможность по строения цепочки

Остается устранить	в этой	цепочке повторения.	Пусть
i ^ / — наименьшее	число,	при котором Qt =?= Q;.	Тогда

отбрасывая члены цепочки с номерами, большими i, по


лучим	цепочку, начинающуюся		с	Р = F Qlt	в	которую Р
входит точно один раз. Пусть эта цепочка					имеет		вид
Найдем	наименьшее	i^im—	1,	при	котором			Qft~
=?=Qm-\- Выбрасывая		все члены		с номерами			k	та
кими, что i<kKm—		1 (если	i = m—1,		то	ничего		не

выбрасывается), получим цепочку, содержащую свои последниедва члена точно один раз. Действуя таким образом и дальше, получим требуемую цепочку.

§ 3]

ВЫБОР

ПЕРЕЧИСЛИМОГО

ПОКРЫТИЯ.

НЕПРЕРЫВНОСТЬ

419

Выполним теперь некоторую оценку, показывающую,

что множество 9? достаточно

«редко».

Для упрощения изложения нам будет удобно счи

тать, что алгорифм

v и фиксированный

элемент

Х0 вы

браны так, что v(^o)=^0.

Для любого слова

Р в

алфа

вите

число v(P) будем

называть номером

этого

сло

ва.

(Различные слова

имеют

различные

номера.)

Л е м м а

8. Пусть Q0,

...,

Qlk — список

всех

элемен

тов 31 с номерами,

не

большими

Тогда

для

любого

Х<^2£

при

некотором

принад

лежит

шару

с центром

в точке {Qi}sik)

радиуса

2~8{к)+3

(см. (28)-(29)).

Х0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Можно

считать, что Q0 =

Пусть

I G S " . Тогда 1 е й . Возможны

случаи:

а) Номер X не больше k. Тогда при некотором

i^lk

X==Qi.

Полагая в лемме 2 n = g(k),

получим

р(Шв <*>, Х ) < 2 - в № , - , < 2 - в № ) + \

что

и требуется.

б) Номер X больше k.

Тогда,

пользуясь

леммой 7,

мы

сможем

найти

Qi(i^lk)

и элементы

Ри

из

31 так, что номера

всех Р, больше k, все слова X, Р ь .. .

Ps,

Qi попарно различны и

X—• р.—,

- — -

.—• о, *\

r i

r s - i

Так

как пр

> g(k)

Qt, то Q{ е= Жп

следо-

вательно, Qt е Же

Применяя

аксиому

треугольника,

получим

р ({*>,(*>,

{Qi}g(k)X

< р ( W e W, {X)nsr)

+ Р (ШпГ

+ Р ({Р,Ц,,

{Рх}Яр)

Р ({P.}„P i ,

{Р2}Пр)

( И )

(I)

Р ( { ^ 4 e _ i . { ^ } » P

)

+ Р ({Я.Цв ,

Ш « Р в )

Р ( Ш » Р Я .

№ * } * < * > ) .

*) Разумеется, возможен также случай, когда

написанная

це

почка состоит лишь из X и Qt.

14*

420	КОНСТРУКТИВНЫЕ	МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА	[ГЛ. 9
Так	как я г > g(k), то	((31), (34))

(38)p((X}gik), {Х}п-)<2~8(к).

Аналогично из Qi^Mn

и пр >g(k)

следует

(39)

P(W'4,»

{Qi}gw)<2~eik)'

При оценке суммы Si членов группы (I) мы вос пользуемся следующим очевидным неравенством: если

P^Jtmaxd.l), ТО

Р ({Ph,

{P}j) <

2 ~ m i n ( '' П

< 2~l

2~'.

Следовательно,

9({Pi)nr

{ Р , Ц ) < 2 " ^

2""^

и при

2 ^

i ^

Р ([Pi)nPl_x,

{Pi)nPi)

< 2 " " p ' - i

2 ~ \

Следовательно,

сумма

членов

группы

(I) оцени

вается

так:

Sj <

2-я*~

+ 2-2 2~Ч = 2~'(v

2 • S

2"* (v

Поскольку

все

числа

v(X),

v(P<)

( t ^ s )

попарно

раз

личны

и больше

то

Si<2-

2 -

' .

(ft+i)

Сумма

Si г группы

членов (II) аналогично

оценится

(ср. (32))

суммой

оо

- * « ) + 1

2 .

2~8{С)<2.

2"' .

t=k+l

i=k+l

i=g(k+l)

Собирая

сделанные

оценки,

получим

((33))

Р {{X}g

<*>,

{Qt}g

2 " g ( f c ) + 2 - g

<*> +

4 •

со

2 - ' <

^ 2 _ g

-f- 4 - 2 - g

= 2 - g

- f 2~g

( A + 1 ) + 3

< 2 _ f i

< f t ) + 2

§ 3]

ВЫБОР

ПЕРЕЧИСЛИМОГО

ПОКРЫТИЯ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

421

Поскольку,

с другой

стороны,

то

9({X}g(k),

X ) < 2 - 8 i

k ) - l < 2 - 8 i k )

+ 2

р(Х,

{Qi}g(k))<2-Sik)+3,

что и требуется.

Пусть

h —

последовательность

О п р е д е л е н и е

натуральных

чисел,

М — КМП.

Будем

говорить,

что М

нигде

не

редко

по отношению

к h,

если

никакой шар

ра

диуса

2~п

пространстве

не

может

быть

покрыт

n - f 1 шарами

радиуса

2-h^+3*).

О п р е д е л е н и е

Множество

точек

данного

КМП

назовем

нигде

не плотным

{в

этом КМП),

если

оно

не

содержит

ни одного

шара.

Ясно, что эффективно нигде не плотное

множество

(определение 15 § 1) нигде не

плотно. Обратное

утвер

ждение неверно даже для замкнутых множеств.

Из леммы 8 получается

Л е м м а 9. Пусть М нигде

не редко

по отношению

к g.

Тогда

множество 3? нигде

не

плотно в

М.

Возьмем теперь в качестве g такой алгорифм, что при

любом п

g(n)~3-(n

(очевидно,

gin-fl)

= g(n)

+ 3).

Нетрудно

видеть,

что

как пространство КДЧ, так и бэровское пространство ни где не редки по отношению к g. В самом деле, если шар

радиуса 2~п	в Е\	(т. е. интервал		длины 2~п+1)		можно
было бы покрыть п -f-1 шарами				Ех	радиуса	2_ g <")+3 =
__ 2-з-п-3) т о	оказалось		бы
	2~п+{	< ( я +	1) • 2 - 3 " - 2	<	2~2п~\

что невозможно. Далее, любой шар бэровского простран ства не может быть накрыт никаким числом шаров мень шего радиуса**). Это вытекает из того простого обстоя тельства, что если б, бо, .. •, бй — последовательности натуральных чисел и п — произвольное число, то

*) Множества Жо, . . . , Жг покрывают множество Ж, если для любого J f e X не может не существовать при котором ХеЖ{.

**) Напомним, что нами введены и рассматриваются лишь шары с радиусами вида 2~п.

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 4542 43 44 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
29.10.20235.79 Mб30Куцый П.Ф. Повелители молний.pdf
#
25.10.202312.79 Mб47Кучко А.С. Аэрофотография. Основы и метрология.pdf
#
25.10.202318.43 Mб84Кушманов И.В. Электронные приборы учеб. пособие.pdf
#
27.10.202319.55 Mб27Кушнарев Д.М. Использование энергии взрыва в строительстве.pdf
#
19.10.20232.48 Mб142Кушнарев, Ю. М. Авторулевой Печора учебное пособие для студентов судоводительского факультета.pdf
#
22.10.202314.87 Mб65Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf
#
24.10.202311.94 Mб59Кушнерев Н.Т. Программирование для ЭВМ Минск-32.pdf
#
25.10.202312.78 Mб46Кушнирская М.Ц. Крашение древесины в производстве мебели.pdf
#
27.10.202320 Mб21Кэтермоул К.В. Принципы импульсно-кодовой модуляции.pdf
#
23.10.20234.75 Mб137Лабинский Ю.В. Корабельные ядерные реакторы учеб. пособие.pdf
#
23.10.20238.6 Mб13Лабозин П.Г. Качество крупнопанельного домостроения.pdf