книги из ГПНТБ / Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу

402

КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ

ПРОСТРАНСТВА

[ГЛ. g

натурального

п

Р,

п,

Q ) ~ G ( 2 - ' t - I - p 2

( T ( P ) ) W(Q))),

%2(т,

Р,

п,

Q)~G(p2(4{P),

^ ( Q ) ) - 2 - " - ' ) .

H n ( m ,

Р, n)~sep(P,

б ^ з . р . п З ) ,

где

sep

— алгорифм, построенный по теореме 8.

Фиксируем

произвольный

алгорифмический

опера­

тор

V

типа

М{ т* М2,

точку X е= Мх,

в

которой

опре­

делен 4f , и натуральное

п.

Обозначим

для краткости

через Т

слово

£ 4 ^ . X,

п.

Пусть 5£'т и ^'/—множества

точек Мх,

определяемые

условиями

У <= 2?'т =

'Д1

(Г, У),

:

Е

Я

=

!212(Г, У).

Ясно, что

K s S ' r

(У s

i??)

тогда

и

только

тогда,

когда \XY{Y)

и

р2

1 Р ( У ) ) < 2 - № - 1

(соответственно р2 (Чг

(J),

^(У)) > 2 - " -

1 ) .

Кроме

того,

Z е

i ^ f . Нетрудно

также

убедиться, что

множества 3?'т

и 9?т согласованные,

причем 21г и Щ—их

согласующие

алгорифмы. Тогда

по

теореме 9 алгорифм Щ просле­

живает множество ST.

Поскольку 9?т П %'т= 0 и X е

5 г ,

для

X,

^ г , 21г,

выполняются

все

условия

се-

тывает

слово Е^З, :Х,

п в шар с центром в

точке X,

внутри

которого нет

точек множества 2?т*

Следова-

§ 3] ВЫБОР

ПЕРЕЧИСЛИМОГО ПОКРЫТИЯ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

4Q3

тельно, если

\W(Y)

и У е Н п

X, п), то

Y ф. 9'т-

Отсюда р2 (W (X), У (У)) <

2~л-х

< 2~п, что и требовалось.

С л е д с т в и е

13.

Всякая

конструктивная

функция

непрерывна

(ср. § 2 гл. 5).

С л е д с т в и е

14.

Всякий

эффективный

функционал

непрерывен.

Остановимся несколько подробнее на следствии 14.

Пусть

W — эффективный

функционал, т. е. алгорифми-

ческий

оператор

из

бэровского пространства в

про­

странство натуральных

р ,

р (()

=

—

такая

ПНЧ,

чисел.

Пусть

р,

что !Ч^(EPi3) - Тогда можно указать

такое

натуральное

N, что для любой ПНЧ

2 если

2

Pi(0

при

i^N

и ^(ЕРгЗ), то X F(EP,3)^1 F(EP2 3).

Таким

образом,

основной теоремы работы Ц е й т и н а [5].

О п р е д е л е н и е

1. Пусть Mi — КМП и 9?<=Mi.

Ал­

горифм а будем называть эффективным

покрытием

мно­

жества

9?, если он

перерабатывает всякий

элемент

9?

в шар,

содержащий

этот элемент.

О п р е д е л е н и е

2. Будем

говорить,

что из эффектив­

ного

покрытия а множества 9

можно

выбрать

перечис­

лимое покрытие множества 9, если осуществимы

алго­

рифмы

у и б такие, что

1)

у

перечисляет

некоторое

подмножество

Ж

множе­

ства

9;

i

3]

ВЫБОР

ПЕРЕЧИСЛИМОГО

ПОКРЫТИЯ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

4Q5

Построим

алгорифм у2

такой,

что

0)),

если

[Щ(Я,п)фА,

у 2

(

Р ' Q ' П ) ~

I

Р ( Y 1 (Р, V (Q), 0)),

если

[Щ (Q, я) =

Л

Из

(2) — (4)

получаем

(6)

если

Р е=

и Q — непредельное

слово,

то

у | Q

есть регулярная последовательность

точек М, схо­

дящаяся к

]°>{у1{Р, V(Q), 0)).

Пусть

Lim — алгорифм

слабого предельного

пере­

хода

в пространстве М. Построим алгорифмы

у3

и у4

так,

чтобы

(7)

У 3 ( Л Q ) ~ L i m ( E y | > Q 3 ) ,

(8)

у4

(Р, Q) ^

а (у3 (Р, Q)).

Пусть

Ро,

Р\,

Рп — список

слов

(в алфавите

А).

Назовем

этот

список

регулярным,

если

при любых

i г=Г

\G{2-l-9(Ph

Р,)).

ности упорядоченных списков точек КМП.)

Рассмотрим множество 9t (в алфавите А\)

слов

вида

Р, Q такое, что Р, Q GE 91 тогда и только тогда,

когда

(9)

Q — непредельное

слово;

(10)

при

i^V(Q)

!у2(Р,

Q,

/)

и

слова

у2 (^>

Q. 0),

Y2 (Р, Q,

1),

. •., Y 2 ( Л Q ,

V(Q))

образуют

регу­

лярный

список.

Нетрудно

убедиться,

что

(11)

если

слово

Р, Q

принадлежит 91,

то

! Y 3 ( P ,

Q) И

Y 3 ( P ,

QJeS' .

В

самом

деле, поскольку

Q—непредельное слово,

то

2

f

p(v'(P,

п. 0))

П Р И

K ^ ( Q ) ,

Y

(Р, Q> rt) — J

р ( Y i ( р >

т/ ( Q ) >

0

) )

п р и

n

^

т/ ( Q

) -

406

КОНСТРУКТИВНЫЕ

МЕТРИЧЕСКИЕ

ПРОСТРАНСТВА

[ГЛ. 9

Отсюда ((10))

получаем,

что

y p Q

является

регуляр­

ной последовательностью, сходящейся к р (у1

(Р,

V (Q), 0)).

Поэтому ((7))

\y3(P,Q)

и

уЦР,

Q) = ?>(yl(P,

V(Q),

0)).

Так как Р ( у ' ( Л

V(Q)> О й е ^

м

и SB — правильное

мно­

жество, то у3(Р,

Q) е

SB, что и

требуется.

Множество

5?

перечислимо,

поскольку

можно

'по­

вам в алфавите Аи

которые

принадлежат Ш. Построим

алгорифм

у5, перечисляющий

31, и алгорифм

у такой,

что

(12)

у(п)~уЦуЦп)).

Ввиду

(11) у перечисляет некоторое подмножество Ж

множества

SB'. Для

завершения доказательства

осталось

Построим

алгорифм

а так, что для любого шара S

в М и

XZEM

(13)

!or(S,

I ) s I e S .

(15)

62(P) =

Wp3-

Искомый алгорифм б строим так, что

(16)

д ( Я ) ~ уЦР,

б 2 (Я)).

Фиксируем

произвольное

Р ^2?

и

покажем,

что

1б(Р),

8(Р)ЕЕЖ

И

Р е а ( 8 ( Р ) ) .

Действительно,

имеет место

(17)

если

Q — предельное

слово,

то

!б'(Р, Q)

(см.

(5), ( 7 ) - ( 8 )

и (13)—(14));

(18)

б 2

(Р) — непредельное

слово

и

! б ! ( Л б 2 ( Я ) )

((17),

(15)

и лемма 2 §

2).

Ввиду

(18),

(6),

(9) —(10)

слово

Р,

б 2 (Р )

принад­

лежит

Отсюда согласно

(11)

получаем

1у3(Р,

82(Р)),

т. е.

((16))

16 (Р).

Тогда

по

определению у5

и

(12)

408

КОНСТРУКТИВНЫЕ

МЕТРИЧЕСКИЕ

ПРОСТРАНСТВА

[ГЛ.9

С л е д с т в и е

2.

В

слабо

полном

КМП

всякое

эф­

фективно

открытое

сепарабельное

множество

лаком-

бово.

В

слабо

полном

КМП

всякое

эф­

С л е д с т в и е

3.

фективно

открытое

сепарабельное

множество является

согласованным.

[1]). В

слабо

пол­

С л е д с т в и е

4

( М о с к о в а к и с

ном

сепарабельном

КМП

всякое

эффективно

открытое

согласованное

множество

является

лакомбовым.

Для

доказательства

следствия

2

достаточно

заме­

множества. Следствие

3 вытекает из следствия 2 и тео­

ремы

2. Следствие 4

вытекает из следствия 2 и лем­

мы 5

§ 2.

тывающий всякое КДЧ х в шар (в

пространстве КДЧ

Ei) с центром в точке х и радиусом,

меньшим 2 - " - Y ( * ) - 2 .

горифмы

р ь

р2 так," что Pi перечисляет

некоторое мно­

жество

КДЧ Ж, а

Рг перерабатывает

всякое КДЧ х в

натуральное

число,

причем всегда

!Pi(p2 (x))

и

х е

^ 0(Pi(P2(*)))• Поскольку, очевидно,

множество

Ж бес­

конечно,

то

pi можно заменить

арифметически

полным

алгорифмом

рз, перечисляющим

без

повторений

то

же

самое множество Ж. При любом k

k

k

оо

21 е (Рз (0) I < 2

2 - " - у ( Р з ( ' ) Ь 2 <

2

2 " 1 - ' - 2 = 2 ~ п - \

*=о

г=о

г=о

§ з] В Ы Б О Р П Е Р Е Ч И С Л И М О Г О П О К Р Ы Т И Й .

Н Е П Р Е Р Ы В Н О С Т Ь 409

рациональное покрытие конструктивной прямой (в смыс­

ле определений § 1 гл. 8).

Существование сингулярных покрытий показывает,

что теорема 1 не может быть усилена

до теоремы о воз­

покрытиях)

изучался

в

последнее время

Л и ф ш и-

ц е м

[4].

Можно

показать

(см. Н о г и н а [3] и К у ш н е р

[10]),

что ни одно из условий теоремы

1 не может быть опу­

щено (даже при сохранении остальных условий).

2.

Докажем теперь

основную

теорему работы

Ц е й -

т и н а [5], усиливающую теорему

непрерывности

§

2.

Т е о р е м а 3 (Г. С. Цейтин). Пусть Мх — слабо

пол­

ное

сепарабельное

КМП,

М2— произвольное

КМП

и

W — алгорифмический

а

оператор

типа М\-т*М2.

Можно

построить алгорифмы

и

% такие, что при

любых

m,

п

1)

если

\а{т,п),

то

о(ш,п)

— шар в

Мг

и

h(m,n);

2)

если

\x(m,n),

то x(m,ri)

Е ^ ;

.3)

если

\o(m,n),

X е= а(ш,п)

и

\W(X),

то

р2(Ч>(Х),

x(m,

п))<2-т;

4)

если

\W(X),

то осуществимо

k

такое,

что

\a(m,k)

и

X e o ( m , k). (Здесь р2

— метрический

алгорифм

М2.)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначим

через

2?

область

определения оператора Vf. Очевидно, ^

— согласован­

ное множество. По теореме непрерывности

(теорема

И

§

2),

построим алгорифм а так, что при

любых

m

и

(19)

если №(Х)

(т. е. X

£),

то

\a(m,

X), a(m,

X)-

шар с центром в точке

X,

причем

для

любого

У е = а ( т , X) такого,

что

\Ч (Y),

выполняется

410

КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

[ГЛ. 9

(21)

если

то

!у (т, X),

у(т,Х)^Жт

и

X е= а (т, у (т,

X)).

Искомые

алгорифмы

т

и а

строим

теперь так,

что

(22)

х{т,

п)~Ч?(х'(т,

я)),

(23)

а(т,

« ) ~ а ( я г ,

т'(/я, я)).

утверждение 2) из (20) и (22), утверждение 3)

из (19),

(20)

и (22) — (23). Наконец, утверждение 4)

вытекает

из

(21).

ная нами в § 2

гл.

5 усиленная теорема непрерывности

конструктивных

функций и теорема Крайзела — Лаком­

ба — Шёнфилда

—

Цейтина

( К р а й з е л , Л а к о м б,

Ш ё н ф и л д [1]—[2],

Ц е й т и н

[3]—{5]) о продолжимости

ремы 3 (ср. §

1 гл.

1 работы

Ц е й т и н а (5]) * ) .

Существуют

два

подхода

к определению вычислимых операто­

ров. Мы поясним

эти

подходы

на

примере операторов, аргументами

и значениями которых

являются

арифметические функции (т. е.

S3]

ВЫБОР

ПЕРЕЧИСЛИМОГО ПОКРЫТИЯ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ 4Ц

пример, записи

алгорифмов типа

(2@—*Ж). При этом на оператор

естественно

наложить требование

корректности, состоящее в дан­

ном

случае

в том, что если два входных предписания определяют

одну

и ту же функцию,

то получаемые по ним с помощью опера­

тора

предписания также

определяют вычисление одной и той же

структивные

функции. Следуя

Ц е й т и н у [5], назовем

операторы

описанного

типа

операторами

Маркова. При втором подходе

опера­

тор использует

не предписания

для вычисления аргументной

функ­

ции — такое

предписание может

быть неизвестным, — а

лишь зна­

функция вычислима в той степени, в какой умеет

вычислять исход­

ную функцию «оракул». Условие корректности в данном случае вы­

полнено автоматически, более того, если результирующая

функция

оказалась, например, определенной в 0, то при вычислении

ее зна­

чения были использованы лишь значения

исходной функции в не­

котором конечном

числе

точек, так что для любой

другой

функции,

совпадающей с исходной

в этих точках, результирующая

функция

примет в нуле то же самое

значение. В случае

операторов над

арифметическими

функциями

в качестве

общего

варианта

описан­

ного типа операторов естественно принять частично рекурсивные

операторы

в смысле

К л и н и

[4, § 63]*).

Аналогичный

характер

носят

вычислимые

функционалы

Г ж е г о р ч и к а [2] и

определяе­

мые

на их основе

вычислимые

действительные

функции.

(Вычисли­

мые

действительные

функции

такого типа

рассматриваются

также

К л а у а

[2],

[4].)

Операторы

описанного

типа мы,

следуя

*) Приведем определение частично рекурсивного оператора (от

одного

функционального

аргумента), следуя Л а х л а н у [2]. Назо­

вем

/-кортежем

пустое

слово

или кортеж

пар натуральных

чисел

Пусть ф — (частичная)

арифметическая

функция.

Скажем,

что ф

продолжает

кортеж (24), если ф(/1( )=/п(

(1 ^'t ^fe) . Будем

так­

же считать,

что любая

функция продолжает пустой

/-кортеж.

Про­

теж, назовем

0-кортежем. Пусть Ф — оператор (в

традиционном

смысле этого

слова), переводящий всякую арифметическую функ­

цию ф в арифметическую функцию Ф (ф). Назовем

Ф частично ре­

тежей

W так, что

при любой

функции ф и натуральных

<', /

ф ^ф) (j) = j тогда

и только

тогда,

когда

существует 0-кортеж

i*j*P

из W такой,

что ф продолжает

Р. С

топологической

трак­