книги из ГПНТБ / Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу

392

КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

[ГЛ. В

вался для

изучения

вычислимых операторов в работах

Ц е й т и н а

[4]—[5].

Близкий

метод был развит

также

К р а й з е л о м , Л а к о м б о м

и Ш ё н ф и л д о м

[1]—[2]

Построим

также алгорифмы (g и V такие, что

@(/>)~23(/>, Р),

V

(Р)~цп([Щ(Р,

п) =

Л) .

Очевидно,

\V(P)^№(P),

и

если

\V(P),

то (§, заканчивает

работу над

Р точно

за

V(P)

шагов.

10. Слово

Р

(в

алфавите

А)

на­

О п р е д е л е н и е

зовем предельным

(непредельным),

если

-}№(Р)

(соответственно

\0£(Р)).

Л е м м а

2. Если

алгорифм

91 в

алфавите

Л?

при­

меним

к

любому

предельному

слову,

то £913

есть

не­

предельное

слово,

к

которому

применим 91.

*) Конструкцию,

близкую к схеме применения метода

захвата

в теореме 7, можно

также найти в работе М а й х и л л а

и Ше -

п е р д с о н а [1].

СОГЛАСОВАННЫЕ

МНОЖЕСТВА. ОПЕРАТОРЫ

393

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предположим, что

£213—

что противоречит

условиям

леммы.

Следовательно, имеет

место

" П ! 8 ( £ Я З ,

Е«3),

откуда

по принципу Маркова

получаем

(П)

!33(Е«3.

Е913),

Из

(10) — (11)

получаем,

что

Е^З—непредельное

слово,

причем

Лемма

2

показывает,

что

множество

предельных

слов

неперечислимо

(в то

время как

множество

непре­

дельных слов, очевидно, перечислимо).

4.

Проиллюстрируем

применение

принципа

захвата

на

примере

следующего,

представляющего

самостоя­

тельный интерес

предложения

(ср. Ц е й т и н

[5;

лемма

§

1 гл. 3]).

Пусть

Mi

— слабо

полное

КМП,

Т е о р е м а

7.

52 —

согласованное

множество

точек

Ми

1 е й

и

р —

после­

довательность

точек

Ми

регулярно

сходящаяся

к X

(определение б § 1). Тогда

при

любом

m

можно

найти

натуральное

I

такое,

что

p ( / ) e i %

и

pi(p(/), X) <

2 _ г а .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

С помощью леммы

1 построим

алгорифм

у так, что

(12)

если

Р — предельное

слово, то

у{Р)

=

Х,

ж,

(13)

если

Р — непредельное

слово, то

y{P) =

HV{P)+l)

396

К О Н С Т Р У К Т И В Н Ы Е М Е Т Р И Ч Е С К И Е

П Р О С Т Р А Н С Т В А [ГЛ. 9

этому

шару*). Множество 2? назовем

прослеживаемым,

Т е о р е м а

8

(сепарационная

теорема;

М о с к о в а -

к и с

[1]). Пусть М\ — слабо

полное

КМП, 5?\ — согла­

сованное,

2?2 —

прослеживаемое

множество

точек

Ми

причем

2?х П 3?2 =

0 • Тогда

для

каждой

точки l e ^ i

можно

найти

шар

с

центром

в

точке

X,

не

со­

держащий

точек

множества

2?2

(рис.

23).

Точнее

говоря,

можно

построить

алгорифм

sep

так,

что

Рис.

23. 5?х

— согласо­

для

каждого

слова

вида

X, £9ti3»

ванное множество,

3?i—

£9t23 и любых

множеств точек 2?\,

дополнение 9?ъ

3?2—про­

9?2,

если

%х

согласует

2?х,

912

слеживаемое

множество

(.г

=<?,).

прослеживает

2?2,

3?\ Л 3?2 =

0

2

и I s f ,

то !sep(J,

E2li3, №3)

и

sep (X,^c:%S,

Е ^ г З ) —

шаР

с

Центром

в

точке

X,

имеющий

пустое

пересечение

с 2?2-

у такой,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Построим

алгорифм

что

при любых

словах

Р и Q

Очевидно,

у(Р,

Q)~P*V(Q).

(17)

при любом I G M ,

И непредельном слове Q [у (X, Q)

и у{Х,

Q) —ш а Р

с центром

в точке

X.

Пусть

Х^Ми

9?2 — множество

точек Мх.

Скажем,

что

непредельное слово Q сцеплено с

X и

3?2,

если

у(Х,

Я)[)2?2Ф0.

у1 так, что для любых

слов Р и

Построим

алгорифм

Q, любого

алгорифма %

и любого

натурального п

уЧР,

№3, Q, п)

Р,

если

[ ® ] ( Q , « ) # A ,

%(P*V{Q))>

если

[®](Q,

л ) = = Л .

(Алгорифм

© введен на стр. 392.)

*)

Мы говорим, что множество R пусто, и пишем R — 0 ,

если

~]ЗР

{Р е R). Множество R называется непустым Щф0),

если

неверно, что оно пусто.

СОГЛАСОВАННЫЕ МНОЖЕСТВА.

ОПЕРАТОРЫ

397

Пусть Lim — алгорифм слабого

предельного

пере­

хода в М,. Построим алгорифм у2

так, что

УЧХ,

£2t>3, Q ) s M ,

и

у2(Х,

£?t2 3,

Q) =

* .

л»,

и п

В

самом деле, при предельном Q для любого 212

УЧХ,

£2t2 3, Q,

« ) = F ^ .

Следовательно, у^ № 5

Q —регулярная

последователь­

ность

точек,

сходящаяся

к

X, откуда и следует (19).

(20)

Пусть

X е=

алгорифм

212

прослеживает

мно­

жество

i? 2

и Q — непредельное

слово,

сцеплен­

ное

с

X

и

5?2.

Тогда

!у2 (Х, £2t23> Q)

и

Y2 (X, £9t2 3,

Q J e ^

(см.

определение

17

§

1).

Действительно,

в

рассматриваемом

случае

шар

X * V (Q)

имеет непустое

пересечение

с 9?2.

Следова­

тельно

1%(X*V(Q))

и

%(X*V(Q))

есть

точка

шара

X*V(Q),

принадлежащая

3?2.

Поскольку

(

X

при

n<V(Q),

4{X>^>Q>n)^U2(X*V(Q))

при

n>V(Q),

?ад

о

является регулярной

последовательностью

то­

чек

Ми

сходящейся

к

Щ(Х*

V(Q)).

Отсюда

и

сле­

дует

(20).

Построим

теперь

алгорифм

91 так,

что для любых

алгорифмов

21,, 212

и

слов

Р,

Q

21 (Р,

£21,3,

№ 3 . Q ) ^ 2 l , ( Y

2 ( P ,

£2I23, Q)).

Пусть

1 е М „

21, согласует

множество

& ъ

212 про­

слеживает

множество

£2,

3?х

(]2'2=0,

Х<^.9?х.

Тогда

ЩХ,

£2t,3, £2l2 3, Q);

(22)

если

Q — непредельное

слово, сцепленное с X

и 2?2,

то

1\ЩХ,

£21,3,

£«2 3. Q);

(23)

£21х, £?г,з, №зЗ

есть непредельное слово, не сце­

пленное с J

и 9?2-

СОГЛАСОВАННЫЕ МНОЖЕСТВА. ОПЕРАТОРЫ

401

С л е д с т в и е

10.

Пусть

М\

— полное

совершенное

КМП

(см. определение

18 § 1), S — согласованное

мно­

жество точек Mi и Х е ^ . По всякому

перечислимому

множеству

2?i

точек

М

можно

найти

точку

из S,

не

принадлежащую

Si.

С л е д с т в и е

11. Пусть

М\ — полное

сепарабельное

совершенное

КМП.

По

всякому

непустому

согласован­

ному

множеству

9?

и

перечислимому

множеству

3?х

можно

найти

точку

3?,

не принадлежащую

Sti.

С л е д с т в и е

12. В

полном

совершенном

КМП

вся­

кое непустое

согласованное

множество

неперечислимо.

Заметим, что принятое нами понятие совершенного

КМП

(определение

18 § 1)

нельзя ослабить

без потери

казать непрерывность

алгорифмических

операторов.

Этот результат

вытекает

из

основной

теоремы работы

Ц е й т и н а [5]

(см. также

Ц е й т и н

[3]

и [4]; упо­

графе)

и был затем независимо найден

М о с к о в а к и -

с о м

[1]*).

Т е о р е м а

11

(теорема

Цейтина — Московакиса о

непрерывности

алгорифмических

операторов).

Пусть

Mi

— слабо

полное

сепарабельное

КМП, М2 — произ­

вольное КМП.

Можно построить

алгорифм Нп так, что

для

любого

алгорифмического

оператора

W

типа

Mi -т* М2 ,любых X,

F G J M I

и любого

п

имеет место

\)если \W(X),TO

\Hn(£W3,X,

п) и

Н п ( Е ^ З » X,

я)—

шар

с центром

в точке X;

2) если

[Ч?{Х),

V¥{Y) и Уе=Нп ( £ ¥ 3,

X,

п), то

р2

V{Y))<2-n.

*) В работах Г. С. Цейтина рассматриваются

не слабо полные,

а полные КМП. Вместе

с тем в приводимых там

доказательствах

фактически используется

лишь слабая полнота.