Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

14.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3738 / 4538 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

372	КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ; 9

Чтобы получить пример несепарабельного простран ства, достаточно рассмотреть подпространство Н, носи телем которого является неперечислимое множество. (Получающееся таким образом пространство, очевидно, полно.) В работе С л и с е н к о [4] построено КМП, кото рое не может быть подпространством никакого сепарабельного пространства. Выбрасывая из конструктивной прямой все КДЧ, равные 0, получаем пример слабо пол ного, но не полного КМП. Наконец, подпространство конструктивной прямой, носителем которого является множество всех рациональных чисел, дает пример КМП, не являющегося слабо полным*).

5. В этом пункте, как и раньше, через М обозна чается некоторое КМП с носителем Ж и метрическим

алгорифмом р.			14. Алгорифм			В назовем	регулярной
О п р е д е л е н и е
вложенной		последовательностью				замкнутых	шаров (про
странства		М), если	6	перерабатывает всякое				натураль
ное число		в замкнутый		шар	пространства М, причем				при
любом	п	радиус	шара		В (п)	меньше,	чем	2~п,	и
Р ( Я + 1 )	£=Р(П).
Характеристическим				свойством полных			метрических

пространств является следующее утверждение, которое можно рассматривать как обобщение теоремы о вложен

ных сегментах § 2 гл. 3.

Пусть

Т е о р е м а

(принцип

вложенных

шаров).

М — полное

КМП.

Тогда

можно построить

алгорифм

так, что, какова

бы

ни была

регулярная

вложенная

по

следовательность

замкнутых

шаров (КМП

М)

р,

имеет

место:

Ш(№)\

е ^ ;

Я(£РЗ)

21(ЕРЗ)

Р(п).

при

любом

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть алгорифм

Lim

является

алгорифмом предельного перехода КМП М. Нетрудно построить алгорифм у, перерабатывающий всякий зам кнутый шар в его центр. Используя теорему об универ сальном алгорифме, построим алгорифм 2I1 так, что

*) Множество рациональных чисел не следует путать с множе ством КДЧ, равных рациональным числам. (Определение рацио нальных чисел приведено в § 2 гл. 2.)

§ 1]

ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ. ПОПОЛНЕНИЕ КМП

373

для любого алгорифма р и натурального п

(И)a ' ( E P 3 , i ) ^ Y ( P ( * + i ) ) .

Для любой регулярной вложенной последовательно сти замкнутых шаров р алгорифм 9Црз является ре гулярной последовательностью точек М. Действительно, при любом т

						Y(P(m))ep(m) .
Поэтому		при tn ^ п -\- 1
					Y ( p ( m ) ) e p ( t t + 1)
и, следовательно,
		Р (Y (Р (л +				О)- Y (Р («)))		< 2 - " - 1	<	2 - \
что	( ( H ) )		и	требуется.
Построим				теперь		алгорифм	91 так, что
					5I(£P3)~Lim(££[P 3 3),
и покажем,			что 91 обладает нужными свойствами.
Фиксируем					произвольную		регулярную			вложенную
последовательность						замкнутых		шаров	р	и произволь
ное	п. Обозначим для краткости центр и радиус шара
$(k)	соответственно через Хи и 4- В этих									обозначениях
(11)	примет			вид
(12)					я 1 (£РЗ.
Поскольку			2%з — регулярная				последовательность, то
1Я(£РЗ) и 21(£РЗ)<=А1. Далее							((12)) при		любом т
(13)					p(9l(£P3), X m + I ) < 2 " m
и при т^п,					поскольку Xm+l		^	$(п),
(Н)						Р
Следовательно					((13) —(14)), при			т^п
(15)				Р(И(ЕРЗ),			+	2-"*.
Из	(15)	получаем
					Р(Я(£РЗ),

374 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9

Последнее означает, что 21(£РЗ)енр(л).

Теорема доказана.

Нетрудно показать, что, располагая алгорифмом 91, фигурирующим в теореме 6, можно построить алгорифм предельного перехода в М и тем самым доказать пол ноту этого пространства. Ясно также, что в теореме 6 могли бы вместо регулярных фигурировать любые вло женные последовательности замкнутых шаров, для ко


торых	соответствующие				последовательности			радиусов
(конструктивно)				сходятся	к	0.	При этом в качестве ис
ходных	данных		алгорифма			91 выступали бы		слова	вида
£РЗ>6аЗ> г Д е		Р	—	вложенная			последовательность		зам
кнутых	шаров,		а	а — регулятор сходимости				к 0	после
довательности		радиусов шаров					Р(гс).

Так же, как и обычно, можно показать существен ность условия сходимости к нулю радиусов шаров: в некоторых полных К.МП существуют вложенные последо вательности замкнутых шаров с пустым пересечением.

(Соответствующий		пример			можно найти		в книге	Г е л -
б а у м а и О л м с т е д а [1; стр. 201].)
Теорема 6 дополняется следующей теоремой един
ственности.		Пусть р — регулярная					вложенная		по
Т е о р е м а	7.	Пусть р — регулярная					вложенная		по
следовательность		шаров		КМП М и		Х\,	Х2— точки М,
принадлежащие	всем		шарам		р(п). Тогда		Xi—X2-
							м	п
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Фиксируем		произвольное		п	и
обозначим через Yn+i			центр		шара Р(я + 1). Тогда
и		p(Yn+u			Х1)^2-п~1
и
Поэтому		9 {Уп+и			Х2)^2-п-\
Поэтому		р{ХиХ2)^2-п.
		р{ХиХ2)^2-п.
Так как р(Хи	Х2)	^	0, то	отсюда следует			р(Х{, Х2)	=	0,
что и означает	Xi —		X2.

Принцип вложенных шаров позволяет обобщить ре зультаты § 4 гл. 3 о неперечислимости конструктивного континуума.


	О П Р Е Д Е Л Е Н И Я ,			П Р И М Е Р Ы . П О П О Л Н Е Н И Е				К М П		375
О п р е д е л е н и е				15. Множество Ж <= М					называется
эффективно		нигде	не	плотным		в	КМП М,	если		можно
построить алгорифм			со, перерабатывающий					всякий шар S
в шар	так, что co(5)sS,				и	для	любого	X е	М,	если
Xeco(S),		то хфЖ		(т. е.	co(S)		включен	в	дополне
ние Ж).
Введенное только что отношение между Ж и										со мы
будем	выражать записью Нпл(Ж,						со).
Прежде чем определить понятие множества первой
категории,		сделаем	некоторые			пояснения. Под			последо

вательностью множеств в алфавите А мы понимаем

двухпараметрическую	формулу Ж{1,Р), где i — перемен
ная для натуральных	чисел, а Р — переменная для слов

в алфавите А. Придавая i какое-нибудь значение п, мы получаем однопараметрическую формулу, т. е. множе ство слов в алфавите А * ) . Это множество мы называем п-м членом последовательности и обозначаем посред

ством

Ж п. Саму

последовательность Ж(1,Р)

мы

будем

иногда обозначать

посредством

{Жп}.

Множество

назовем

объединением

последователь

ности

множеств

{Жп},

если для

любого

слова

- ^

~11Э/г(Ре1п ).

О п р е д е л е н и е

16. Множество

3? <~ М назовем

мно

жеством

первой

категории

(в

М),

если

оно

получается

объединением

последовательности

эффективно

нигде

не

плотных

множеств,

т. е.

если

осуществима

последова

тельность множеств

{У^}

{где

все

Жп

включены

М)

и алгорифм

такие,

что 3?

является

объединением

{Жп}

и при любом

п выполняется

Иил(Жп,

уп).

3?,

Описанное

определении

отношение

между

{Жп}

и у мы

будем

выражать

записью

К а т ( 5 7 ,

{Жп},у).

Во многих случаях вместе с данным множеством

ока

зывается удобным рассматривать множество, получаю щееся из него присоединением всех точек, эквивалентных

*) Уточнение сказанного требует описания логико-математиче ского языка, в котором строятся соответствующие формулы (ср. примечание на стр. 356).

3 76 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9

в М точкам данного множества. Примем в связи с этим следующее

О п р е д е л е н и е			17. Пусть Ж\ — множество			точек М.
Обозначим	через	Ж\	множество	точек	М,	задаваемое
условием
	X е Лх	=	ЗУ ((У е= Ж,)	& (У =	X));
				м
Ж\ будем	называть	точечным образом Ж\.

Очевидно, точечный образ любого множества Ж\ есть правильное множество, причем Ж\<=,Жх- Точечный об


раз	правильного			множества	совпадает			с	ним	самим.
Ясно, что если точка X <= М не принадлежит									Ж\,	то она
отлична в смысле метрики М от всех								точек Жх,			т. е.
р(Х,	У) ф 0 при любом У е				Ж\.
Следующая теорема аналогична по формулировке и
доказательству			известной теореме			Бэра		(см., например,
К о л м о г о р о в ,			Ф о м и н [1; стр.			69]).
Т е о р е м а 8. Пусть М — полное						КМП,		Si — шар в М.
Для	всякого	множества первой категории						9? можно			най
ти точку X из Si,				не принадлежащую			ЗУ (и тем				более
не принадлежащую				9?).
Наметим доказательство этой теоремы. Пусть 9? —
множество		первой		категории,	являющееся объединением

последовательности эффективно нигде не плотных мно жеств {Жп}, и у — такой алгорифм, что выполняется Кат(2>, {Жп},у).

Исходя из у . нетрудно построить алгорифм уь пере

рабатывающий	всякое слово виЦа			п, S,	где	S — шар, в
замкнутый шар	радиуса,	меньшего		чем	2 _ п ,	вложенный
в S и не пересекающийся		с Жп-
Построим теперь алгорифм р так, что
	Р(0) ~	Yi (0,	Si),
	Р ( п + 1 ) ~ Y l ( " +		1, Р(я)).

Очевидно, р — регулярная вложенная последователь ность замкнутых шаров, причем каждый замкнутый шар р(л) не имеет общих точек с Жп- По теореме Q


§ 1]	ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ. ПОПОЛНЕНИЕ КМП						377
вложенных		шарах	найдем точку	X,	принадлежащую
всем шарам \|3(«). Тогда при любом				п ХфЖп		и потому
Хф&.	Так	как, кроме того, Х е \| 3 ( 0 )			и p ( 0 ) s 5 b		то
Из	приведенного		рассуждения	нетрудно		усмотреть,

что осуществим алгорифм % со следующим свойством:

если	алгорифм		у перерабатывает	всякое	слово		п, S
(где	5 —шар)	в	шар, причем y ( n , S ) £ S ,		то	для	лю
бого	шара Si	!21(£Y3> Si)> 51(£Y3>		S i ) e Su	и	если	для

некоторого множества & и последовательности множе

ства

{Жп}

выполняется

Кат (3?,

{Жп}, у),

то S U E Y B . S I ) ^

С л е д с т в и е

1. В полном

КМП

никакой

шар

не

яв

ляется множеством первой

категории.

С л е д с т в и е

Носитель

непустого

полного

КМП

не

является

(в

этом

КМП)

множеством

первой

катего

рии

*).

18. КМП

назовем

совершенным,

О п р е д е л е н и е

если

осуществим

алгорифм,

перерабатывающий

всякий

шар

данного

КМП

точку этого шара,

отличную

от его

центра.

Точку Х^М

назовем

изоли

О п р е д е л е н и е

19.

рованной,

если

можно

указать

шар с центром в точке

не содержащий

точек

М,

отличных

{в

смысле

мет

рики

М)

от X.

Очевидно, всякое совершенное пространство не имеет

изолированных

точек;

обратное

утверждение

(всякое

КМП без изолированных точек совершенно)

можно

опровергнуть

на

примере

уже

классе полных

КМП

(см.

К у ш н е р

[10]). Вместе с тем каждое

сепарабель-

ное КМП без изолированных точек совершенно.

Ясно,

что

все

точки

пространства натуральных

чи

сел Н изолированные. Таким образом, Н не является совершенным пространством (и для него не выпол няются формулируемые ниже следствия 3—6). Про странства Еп, Еп, Еп, С я В совершенны.

Поскольку каждое непустое перечислимое множество можно перечислить арифметически полным алгорифмом

*) Определением 1 не исключается случай, когда носитель дан ного КМП пуст. Пустое КМП, очевидно, полно и сепарабельно.

378

КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

[ГЛ. 9

и любое одноэлементное подмножество совершенного КМП эффективно нигде не плотно в этом КМП, то вы полняется

Л е м м а

2. В

совершенном

КМП

любое непустое

пе

речислимое

множество

является множеством

первой

ка

тегории * ) .

Пусть

М — полное

совершенное

С л е д с т в и е

КМП

и S — шар

в М. По любому

перечислимому

мно

жеству Ж s М можно

найти

точку

из

так,

что

ХфЖ

(и тем более

ХфЖ).

Действительно,

пусть S — шар

центром

точке У

и Ж — перечислимое

множество

точек

М.

Обозначим

через

Ж1 множество

Ж U {У}

(где

посредством

{У} обо

значено одноэлементное множество с единственным

элементом У). Множество Ж\ перечислимо

и непусто.

Следовательно

(лемма

2), Ж\

является

множеством

первой категории. Остается применить к S

и Ж\

тео

рему

Следствие 3 является обобщением теоремы об эф

фективной

несчетности

любого

интервала

конструктив

ной прямой

(теорема

1 § 4 гл.

3).

С л е д с т в и е

полном

совершенном

КМП

вся

кий

шар

является продуктивным

множеством

(ср.

сно

ску

на стр.

190).

полном

совершенном

КМП

ни

С л е д с т в и е

какой

шар

не

является перечислимым

множеством.

С л е д с т в и е

Носитель

любого

непустого

совер

шенного

КМП

есть

продуктивное

множество

(и,

следо

вательно,

не

является

перечислимым

множеством).

Вследующем параграфе полученные результаты бу дут распространены на любые непустые согласованные множества.

Взаключение данного пункта заметим, что анало гично тому, как это делается в традиционной теории

метрических		пространств, для	полных	КМП	может
быть	доказана теорема Банаха о		неподвижной		точке и
*)	Пустое	множество, конечно, тоже	является	множеством пер

вой категории. Несколько ограничительная на первый взгляд фор

мулировка леммы		2 связана с невозможностью эффективно отли
чать (исходя	из	перечисляющих алгорифмов) пустые перечисли
мые множества	от	непустых.

§2] СОГЛАСОВАННЫЕ МНОЖЕСТВА. ОПЕРАТОРЫ 379

получены обычные приложения этой теоремы к диф

ференциальным и интегральным

уравнениям (см.,

на

пример, К о л м о г о р о в ,

Ф о м и н

[1],

Л ю с т е р н и к ,

С о б о л е в

[1]).

2 .

Согласованные

множества.

Алгорифмические операторы.

Теорема непрерывности (первая формулировка)

этом

параграфе

через

М,

Mi,

М2

обозначаются

некоторые фиксированные КМП с носителями

Л,

Ми

Ж% и метрическими

алгорифмами

р, рь р2 .

говорить,

1. О п р е д е л е н и е

1. Пусть X G E M .

Будем

что алгорифм

% согласован

точке X, если для

любого

F e = M

такого,

что Y = X,

выполняется

!2l(J)==

!91(У).

Таким

образом,

алгорифма

дай

согласованность

ной

точке

означает,

что

этот

алгорифм

одновременно

применим или неприменим ко всем элементам М, сов


падающим	с данной		точкой в		смысле		метрики		М.
О п р е д е л е н и е			2.	Будем	говорить, что				алгорифм
Ш. согласован		на множестве Ж s				JI,	если	31	согласован
в каждой	точке Ж.		Алгорифм,		согласованный				на	всем
множестве	М,	будем	называть		согласованным				в	КМП
М или, короче,		просто		согласованным.
О п р е д е л е н и е			3.	Множество		Ж<=^М		назовем		со
гласованным*),		если	осуществим			согласованный				алго
рифм % такой,		что для		любого	X из М

Хе=Х^Ш{Х).

Про алгорифм % мы будем говорить, что он согла сует множество Ж; это обстоятельство будет также вы ражаться записью

Согл (Ж, %).

Согласованное множество полностью характери зуется своим согласующим алгорифмом. Поэтому в тех ситуациях, когда речь идет о построении согласованных множеств с тем или иным свойством, подразумевается построение соответствующего согласованного алгорифма.

*)	М о с к о в а к и с		[1]	использует	для аналогичного	понятия
термин	listable	set; в	близком смысле		употребляется также	иногда
термин	вполне	перечислимое		множество.

380	КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9

Обратно, если требуется построить по согласованному множеству какой-нибудь конструктивный объект, то в качестве исходных данных такого построения высту пает соответствующий согласованный алгорифм. Ана логичное замечание можно сделать и по поводу вво димых ниже последовательностей согласованных мно жеств.

В пространстве натуральных чисел Н согласованные множества совпадают, очевидно, с перечислимыми.

Непосредственно из				определения 3		получается
Т е о р е м а		1. Всякое		согласованное		множество			пра
вильно.
Простейшие примеры					согласованных	множеств			дает
Т е о р е м а		2.	1)	Пустое множество			и	носитель
КМП	— согласованные			множества;
2)	любой	шар	является		согласованным		множеством.
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Утверждение		1)	очевидно:

для пустого множества согласующим является алго рифм, не применимый ни к какому слову, носитель же пространства согласуется всюду применимым алгориф мом. Докажем утверждение 2). Поскольку (в силу ут верждения 3) теоремы 1 § 1) всякий шар является пра вильным множеством, достаточно построить такой ал горифм у, что для любого шара S и любого X GE М

\y(S,	I ) s Z e S .
Построим алгорифмы	Yi И у 2 так, что для любого шара
Х{*п

Y i ( * i

y2(Xl*n)=F2-n.

В § 3 гл. 2 приведен алгорифм G такой, что для лю бого КДЧ х

\G(X)E=X>0.

Искомый алгорифм у строим теперь так, чтобы для любого шара S и любого X *)

y(S, X) ~	G ( Y 2	(5) -	р (у, (5),		X)).
*) Для произвольных	слов	Р и	Q запись	Р — Q следует		пони
мать как сокращение более точной записи —				(Р,	Q), где	алго-

рифм вычитания КДЧ.

СОГЛАСОВАННЫЕ

МНОЖЕСТВА. ОПЕРАТОРЫ

38!

Очевидно, для

любого

шара

S^X^n

и I

!Y (S,

X) =

р(Xl t

X) <

2 " "

s l

5 ,

что и

требовалось.

Последовательность

множеств

О п р е д е л е н и е

{Жп} {У?п s Ж)

назовем

последовательностью

согласо

ванных

множеств,

если

осуществим

алгорифм

такой,

что при

любом

выполняется

С о г л ( Х п , $ п ) .

Т е о р е м а

Пересечение

любого

конечного

числа

согласованных

множеств

является

согласованным

множеством.

Объединение

последовательности

согласованных

множеств

является

согласованным

множеством.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть Ж\,

Ж%

Жп

— со

гласованные множества

и уь

Y" — и

согласующие

алгорифмы. Построим алгорифм у так, что

у(Р)с*У1(Р)у2(Р)

...

уп(Р).

Очевидно, для любого X е М

1у(Х)=в

1у,(Х)^

& ( 1 е 1 г ) .

Далее,

если

X = Y,

то X <= Ж{^У

Ж{

потому

!у(Х) =

!у(К).

Следовательно,

алгорифм

согласует

пересечение множеств Ж

Ж„.

Пусть теперь {Жп}

— последовательность

согласован

ных множеств,

Ж — ее

объединение,

91 — такой

алго

рифм, что при любом

(1)

Согл (Жп,

in).

Построим алгорифм

так,

что при

любом

слове

б ( Р ) ~ р л ( [ 2 1 ] ( / 2 ( Л Р, Ш

- Л )

(использованные здесь обозначения введены в §§

1 и

гл. 1).

Ж. Поскольку

Покажем, что б согласует множество

для любого X <= М

Х*=Ж=~\~}Зп{Х<=Жп)

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3738 / 4538 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
29.10.20235.79 Mб30Куцый П.Ф. Повелители молний.pdf
#
25.10.202312.79 Mб47Кучко А.С. Аэрофотография. Основы и метрология.pdf
#
25.10.202318.43 Mб84Кушманов И.В. Электронные приборы учеб. пособие.pdf
#
27.10.202319.55 Mб27Кушнарев Д.М. Использование энергии взрыва в строительстве.pdf
#
19.10.20232.48 Mб142Кушнарев, Ю. М. Авторулевой Печора учебное пособие для студентов судоводительского факультета.pdf
#
22.10.202314.87 Mб65Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf
#
24.10.202311.94 Mб59Кушнерев Н.Т. Программирование для ЭВМ Минск-32.pdf
#
25.10.202312.78 Mб46Кушнирская М.Ц. Крашение древесины в производстве мебели.pdf
#
27.10.202320 Mб21Кэтермоул К.В. Принципы импульсно-кодовой модуляции.pdf
#
23.10.20234.75 Mб137Лабинский Ю.В. Корабельные ядерные реакторы учеб. пособие.pdf
#
23.10.20238.6 Mб13Лабозин П.Г. Качество крупнопанельного домостроения.pdf